Hodnocení přesnosti měření a vytyčování Ing. Rudolf Urban, Ph.D. 2013 Přednáška z předmětu SGE – letní semestr

O měřeních a chybách obecně Opakuje-li se měření téže veličiny vícekrát, tak i při sebelepší pečlivosti jsou získávány obecně různé výsledky, neboť žádné měření nelze izolovat od rušivých vlivů. Omezováním chyb např. využitím přesnějšího přístroje lze snížit jejich vliv, a tak zvýšit přesnost měřeni. Rozdílnost výsledků měření vyplývá z fyzikální podstaty prostředí. Při měření a jeho zpracování je hledána nejspolehlivější hodnota výsledku měření, odhadována její přesnost a meze její spolehlivosti. Měřením či zpracováním měření NIKDY nezískáme skutečnou hodnotu veličiny, vždy se jedná o odhad. Výsledek každého měření je nevyhnutelně zatížen skutečnou chybou ε, která je souhrnem působení jednotlivých vlivů. X … skutečná hodnota veličiny, l … měřená hodnota

Chyby měření a jejich dělení Omyly a hrubé chyby (nesprávné úkony měřiče) „jedno měření = žádné měření“ lze je vyloučit nezávislým opakováním měření. nepatří mezi chyby nevyhnutelné a dále nebudou uvažovány Nevyhnutelné chyby systematické (ci) náhodné (δi). Systematické chyby (c) systematicky (soustavně) ovlivňují výsledky opakovaných měření lze nalézt (?) závislost na určité příčině konstantní (chybná délka pásma – stejná velikost a znaménko) Proměnlivé (teplota atmosféry – různá velikost i znaménko) Potlačení: Kalibrací a rektifikací přístrojů metodikou měření.

Náhodné chyby Náhodné chyby ( δ ) jednotlivě nemají zákonitosti ve větších souborech mají statistické zákonitosti normální rozdělení pravděpodobnosti (stejný druh chyb) Vlastnosti: Pravděpodobnost vzniku kladné či záporné chyby určité velikosti je stejná Malé chyby jsou pravděpodobnější (četnější) než velké Chyby nad určitou mez se nevyskytují (resp. Považujeme je za hrubé) Frekvenční křivka normálního rozdělení: Pravděpodobnost P, že měření bude zatíženo chybou o velikosti padnoucí do intervalu <A;B> je rovna ploše vyšrafované v grafu. (Gaussova křivka) Zápis N(E(x), σ2) značí normální rozdělení (N) o charakteristikách E(x) a σ2, kde E(x) je tzv. střední hodnota, zde ona neznámá skutečná hodnota měřené veličiny, σ2 je tzv. variance (kvadrát směrodatné odchylky).

Hodnoty pravděpodobnosti P pro interval mezi body A a B E(x) E(x) + s 34,1 E(x) - s 68,2 E(x) + 2s 47,7 E(x) - 2s 95,4 E(x) + 3s 49,9 E(x) - 3s 99,7 E(x) -  E(x) +  100,0

Chyby měření a jejich dělení, charakteristiky přesnosti Směrodatná odchylka σ (střední kvadratická chyba) Je to parametr popisující normální rozdělení Ve vztahu k měření je to charakteristika přesnosti Je vždy třeba jí interpretovat s ohledem na předchozí tabulku a uvědomit si, že v intervalu <-2σ,2σ> od měřené hodnoty se vyskytuje hledaná hodnota geometrického parametru s pravděpodobností 95 procent (pokud se jedná o normální rozdělení) Druhy směrodatných odchylek: Základní (z velkého souboru měření, kde počet měření je blízký nekonečnu) Výběrová (ze souboru menšího) Výpočet: ε je skutečná chyba měření (vliv nahodilých a systematických chyb) n je počet měření v je oprava měření od aritmetického průměru hodnoty (měření stejné přesnosti)

Zpracování měření Zpracování měření Stejná přesnost (pokud známe směrodatnou odchylku jednoho měření a bylo měřeno vícekrát, tak směrodatná odchylka průměrné hodnoty je dána jako podíl směrodatné odchylky měření a odmocniny z počtu měření – vše dle zákonu hromadění směrodatných odchylek) Různá přesnost ( pokud měření nemají stejnou přesnost a tato přesnost je známa, je nutno nejprve vypočítat hodnotu výsledku váženým průměrem, kde se váhy p jednotlivých měření určují jako podíl konstanty a kvadrátu směrodatné odchylky) Další postup při určení směrodatné odchylky je dle vzorce: (v je oprava měření od váženého průměru) Metoda nejmenších čtverců 1809 K. F. Gauss Metoda vyrovnání geodetických měření Suma kvadrátů oprav musí být minimální a tedy směrodatné odchylky jsou z předpisu výpočtu také minimalizovány. (nejlepší jednostranný odhad)

Příklad zpracování měření stejné přesnosti Délka byla měřena opakovaně 5x za stejných podmínek a stejnou metodou (= se stejnou přesností). Měřené hodnoty v m jsou: 5,628; 5,626; 5,627; 5,624; 5,628. Vypočtěte průměrnou délku, směrodatnou odchylku jednoho měření a směrodatnou odchylku průměru. (Uvažujeme, že měřené hodnoty jsou zatíženy jen náhodnými chybami.) i l / m v / m vv / m2 1 5,628 -0,0014 1,96E-06 2 5,626 0,0006 3,60E-07 3 5,627 -0,0004 1,60E-07 4 5,624 0,0026 6,76E-06 5 S 28,133 0,000 1,12E-05 = 5,6266 m; = 0,0017 m; = 0,00075 m

Příklad zpracování měření nestejné přesnosti Délka byla měřena opakovaně 5x různými metodami (s různou přesností). Měřené hodnoty jsou uvedeny se svými směrodatnými odchylkami v závorce (oboje v m): 5,628 (0,0030); 5,626 (0,0020); 5,627 (0,0025); 5,624 (0,0035); 5,628 (0,0025). Vypočtěte průměrnou délku a směrodatnou odchylku průměru. i l / m s / m p l . p v / m 1 5,628 0,0030 0,6944 3,908 -0,0013 2 5,626 0,0020 1,5625 8,791 0,0007 3 5,627 0,0025 1,0000 -0,0003 4 5,624 0,0035 0,5102 2,869 0,0027 5 S 4,767 26,823 Volba c = 0,00252 (aby váhy vycházely okolo 1) = 5,6267 m = 0,00062 m

Zákon hromadění směrodatných odchylek a skutečných chyb Mezní odchylka Určuje hranici, jakou “maximální“ odchylku měření může mít Koeficient spolehlivosti up (normovaná hodnota normálního rozdělení) Volí se podle významu prací up = 2 ~ 95% pravděpodobnost, že náhodná chyba nepřekročí up = 2,5 ~ 99% pravděpodobnost, že náhodná chyba nepřekročí up = 3 ~ 99,7% pravděpodobnost, že náhodná chyba nepřekročí Zákon hromadění směrodatných odchylek a skutečných chyb V mnoha případech nelze nebo není výhodné přímo měřit určovanou hodnotu, a tato se určuje zprostředkovaně. (výpočtem z jiných hodnot) Potřebujeme nejen vypočítat hledanou hodnotu, ale také její směrodatnou odchylku. Zákon hromadění směrodatných odchylek vychází ze zákona hromadění skutečných chyb, který je založen na totálním diferenciálu funkčního vztahu.

Zákon hromadění ve vzorcích Máme dán funkční vztah: Platí: Vzhledem k tomu, že skutečné chyby jsou oproti měřeným hodnotám velmi malé, lze rozvinout pravou stranu vztahu podle Taylorova rozvoje s omezením pouze na členy prvního řádu. Zákon hromadění skutečných chyb: Skutečné chyby měřených veličin zpravidla neznáme, ale známe jejich směrodatné odchylky. Zákon hromadění směrodatných odchylek:

Zákon hromadění směrodatných odchylek Zákon hromadění skutečných chyb platí za následujících podmínek: Jednotlivé měřené veličiny, a tedy i skutečné chyby, musí být nezávislé. Skutečné chyby mají náhodný charakter, jejich znaménko a velikost se řídí normálním rozdělením. Chyby jsou oproti měřeným hodnotám malé, parciální derivace musí zůstat prakticky konstantní, změní-li se měřené hodnoty o hodnotu chyb. Jednotlivé členy musí mít sejný fyzikální rozměr.

Zákon hromadění směrodatných odchylek - příklad Jsou známy dvě délky v obecném trojúhelníku a = 34,352 m a b = 28,311 m a jimi sevřený úhel  = 52,3452°. Délky byly obě změřeny se stejnou směrodatnou odchylkou s = 0,002 m a úhel  = 0,0045°. Určete směrodatnou odchylku plochy trojúhelníku. Funkční vztah: Skutečné chyby: Směrodatné odchylky: Pokud jsou směrodatné odchylky délek stejné, lze úpravou dostat: Po dosazení: P = 0,043 m2 , P = 384,983 m2.

Vybrané pojmy z geometrické přesnosti staveb Základní hodnota geometrického parametru (g.p.) Hodnota uvedená v projektové dokumentaci. Skutečná hodnota g.p. Hodnota ve skutečnosti. Mezní hodnoty g.p. Základní hodnota geometrického parametru ± mezní odchylka („horní“ a „dolní“). Skutečná odchylka Rozdíl mezi projektovanou a měřenou hodnotou. Mezní odchylka Největší přípustná odchylka pro výsledky měření (dle rozboru chyb). Přesnost kontrolního měření Odvíjí se od požadované přesnosti určení geometrického parametru. Tolerance Součet absolutních hodnot dolní a horní mezní stavební odchylky, rozdíl mezi horní a dolní mezní hodnotou geometrického parametru.

Vytyčovací odchylky ve výstavbě Vytyčovací odchylka Rozdíl mezi vytyčenou hodnotou a základní hodnotou parametru. Mezní vytyčovací odchylka Hodnota, která teoreticky může být překročena pouze se stanovenou (malou) pravděpodobností; při vytyčení být překročena nesmí. Požadovaná směrodatná odchylka Směrodatná odchylka, s jakou má být provedeno vytyčení.