Roman Kohut Ústav geoniky AV ČR, Ostrava Určení Youngova modulu E a Poissonova čísla ν geokompozitu pomocí matematického modelování Roman Kohut Ústav geoniky AV ČR, Ostrava

Úvod Při těžbě nerostných surovin a v podzemním stavitelství se setkáváme s potřebou zpevnění či jiného ovlivnění horninového masivu. Tento problém se řeší tlakovou injektáží za použití chemických injektážních medií na bázi polymerů (polyuretanová pryskyřice) Při injektážním procesu vznikají nové kompozitní geomateriály (zkráceně geokompozity), jejichž vlastnosti se výrazně liší od původní horniny. Cíl: stanovení přetvárných vlastností geokompozitů s využitím počítačové tomografie a matematického modelování.

Výzkum vlastností geokompozitních materiálů je realizován na vzorcích uhlí připravených v laboratořích. Příprava vzorků je velmi pracná. Uhlí se zabalí do folie, lehce podrtí, i s folií se umístí do nádoby s pískem, shora se zabetonuje, vzniklý poklop se navrtá a otvorem se natlačuje pryskyřice. Po ztuhnutí se vzniklý geokompozit nařeže diamantovou pilou na vzorky. Rozměry námi analyzovaného vzorku byly 67 x 69 x 72 mm.

Jedním z možných způsobů jak nedestruktivním způsobem studovat stavbu a chování geomateriálů je prozařování zkušebních těles rentgenovým zářením a snímání (skenování) obrazů jednotlivých zvolených řezů. Tento způsob pozorování umožňuje rentgenová (RTG) počítačová tomografie (CT). Ke skenování byl použit CT skener TOSCANER-23200 s rozlišením 0.292 mm ve směru x,y (512 x 512 pixelů) a s rozlišením 2 mm ve směru z (vzdálenost mezi sousedními snímanými řezy). Vyseparovaný obrázek pro vzorek (obr. vpravo) obsahuje 229x237 pixelů.

CT hodnota materiál E (MPa) ν Γ (g/cm3) -1000<x prázdný Skenováním vzorku získáme informaci o 36 řezech vzorku. Každému řezu odpovídá soubor číselných hodnot odpovídajících jednotlivým pixelům. Hodnoty leží v intervalu -1336 ≤ f(ix,iy) ≤ 1659. Podle těchto hodnot rozhodneme o rozložení materiálu v daném vzorku. V našem případě jsme uvažovali 4 materiály (viz tabulka). CT hodnota materiál E (MPa) ν Γ (g/cm3) -1000<x prázdný -1000<x<-717 PU_min 200 0.100 0.7 -717<x<-433 PU 500 0.175 1.5 -433<x>-150 PU_max 2100 0.250 2.0 -150<x uhlí 2600 0.320

Nyní máme informaci o rozložení materiálu ve vzorku Nyní máme informaci o rozložení materiálu ve vzorku. Vytvoříme pravoúhlou stejnoměrnou konečněprvkovou síť o rozměrech 230x238x37 uzlů, odpovídající šestistěny mají rozměr 0.292x0.292x2 mm, rozměry ve směru x, y odpovídají rozměru pixelu, rozměr ve směru z odpovídá rozlišení skeneru ve směru z. Geokompozit uvažujeme lineárně elastický a vzhledem k tomu, že jednotlivé materiály jsou rozmístěny náhodně, za izotropní.

Pro určení elastických parametrů geokompozitu řešíme metodou konečných prvků úlohu, která odpovídá zkoušce v triaxiálu. Okrajové podmínky představují nulová normálová posunutí na pěti stěnách oblasti (kvádru) a nenulové (konstantní) posunutí na šesté stěně. Řešíme 3 varianty, které se liší ve směru zadání nenulového posunutí. Definovaný problém vede k řešení odpovídající soustavy lineárních algebraických rovnic o 6076140 neznámých. Soustavu řešíme metodou sdružených gradientů s předpodmíněním daným aditivní dvou-úrovňovou Schwarzovou metodou s překrytím. Parelelní řešení na počítačí IBM xSeries 455 computer (symmetric multiprocessor) s 8 procesory trvá přibližně 7 minut.

Určení parametrů geokompozitu Pro homogenní materiál při výše uvedených okrajových podmínkách jsou smykové složky tenzoru napětí i tenzoru deformace nulové. Mezi normálovými složkami platí následující vztahy: (1)

Pro dané okrajové podmínky při nenulovém normálovém posunutí ve směru z jsou deformace εx a εY nulové. Vztah (1) se pak redukuje na vztahy: , . , (2) Po dosazení a úpravách dostáváme pro elastické konstanty následující vztahy: , , kde . ,

Pro určení elastických parametrů geokompozitu potřebujeme znát hodnoty σx , σy , σz a εx , εY , εz . Řešením konečněprvkového problému získáme hodnoty tenzorů napětí a defomace v jednotlivých elementech ( nel elementů). Pak spočítáme a a obdobně

směr nenul. posun. E (MPa) ν x 2367.82 0.286 y 1947.20 0.305 z 2318.21 průměrná hodnota 2228.25 0.293 vážený průměr 2382.90 0.300 mat. prázdný PU_min PU PU_max uhlí % 0.735 1.386 5.543 9.670 82.666 Výsledky ukazují, že geokompozit je měkčí ve směru y. Zdá se, že pro daný vzorek by šlo předpokládat elastické konstanty odpovídající příčně izotropnímu materiálu. Vzhledem k náhodnému rozmístění pryskyřice bereme hodnotu průměrnou ze všech 3 výpočtu. Vážený průměr je blízký hodnotám ve směru x a z.

Otázkou je, jak ovlivní velikost elastických konstant hustota sítě. síť 1: 230 x 238 x 37 síť 2: 115 x 119 x 37 síť 3: 58 x 60 x 37 síť 4: 29 x 30 x 37

mat. prázdný PU_min PU PU_max uhlí síť 1 0.735 1.386 5.543 9.670 82.666 síť 2 0.705 1.108 5.466 10.226 82.495 síť 3 0.600 0.855 4.870 11.545 82.131 síť 4 0.387 0.667 3.640 13.379 81.927 E průměr E váž. průměr ν průměr ν váž.průměr síť 1 2228.25 2382.90 0.293 0.300 síť 2 2241.18 2389.16 0.294 síť 3 2278.38 2403.91 0.296 0.301 síť 4 2345.69 2430.60 0.303 Při hrubší síti se zmenšuje podíl PU_min a PU, takže i hodnoty parametru E se zvětšují. Poissonovo číslo se mění minimálně.

Další otázkou je citlivost elastických konstant geokompozitu na malé změny vlastností jednotlivých složek (nenulové posunutí ve směru z ). + znamená zvětšení parametru o 10 %. Ehom νhom E, ν pův. 2369.73 0.2860 E1+ 2369.99 0.2862 ν 1+ 2369.68 E2+ 2373.14 ν 2+ 2369.56 E3+ 2393.27 0.2865 ν 3+ 2369.94 0.2883 E4+ 2578.63 0.2843 ν 4+ 2387.99 0.3119 Jak se dalo předpokládat, citlivost závisí na procentuálním zastoupení jednotlivých částí. Pouze změna E4 ovlivní významněji Ehom a změna ν4 zase νhom.

Další otázkou je, zda na základě znalostí vlastností geokompozitu a rozložení jednotlivých materiálu lze určit parametry jednotlivých složek. Je zřejmé, že problém určení všech parametrů není jednoznačně řešen. Protože homogenizované elastické konstanty vykazují významnější citlivost jen na parametry uhlí, budeme se snažit určit jen hodnoty parametrů E4 a ν4.. Problém nalezení těchto parametrů budeme řešit jako identifikační problém. K řešení použijeme Nelder-Meadovou simplexovou metodu. Jako cenový fukcionál, jehož minimum budeme hledat, zvolíme funkcionál , kde σhom je napětí spočítané pro homogenní materiál (geokompozit), σ je napětí spočítané pro nehomogenní materiál, kde materiály 1-3 jsou dány (původní hodnoty), parametry E4 a ν4 jsou postupně zpřesňovány během iterací Nelder-Meada.

E ν původní 2600.00 0.320 Nelder-Mead 2577.30 0.322 Z tabulky je patrné, že parametry E4 a ν4 určené Nelder-Meadem mají hodnoty velice blízké původním hodnotám, lze je tedy spolehlivě získat tímto postupem.

Obdobně se pokusíme najít parametry E3 a ν3 : původní 2100.00 0.250 Nelder-Mead 2166.93 0.229 Citlivost parametrů geokompozitu na materiálu 3 je menší, proto spočítané hodnoty se od původních liší více než v případě materiálu 4.

Závěr Rentgenová počítačová tomografie byla vynalezena v 70. letech minulého století a velmi rychle se stala nepostradatelnou součástí medicíny. Úspěch v medicíně podnítil v 80. letech výzkum a vývoj přístrojů CT pro industriální použití v materiálovém inženýrství. V posledních letech je metoda aplikována i v oblasti výzkumu geomateriálů. Matematické modelování umožňuje určit vlastnosti reálných geokompozitů i na vzorcích odebraných in situ bez nutnosti jejich tvarování. Kromě mechanického chování lze stejně studovat i změnu propustnosti materiálu a další charakteristiky.

Děkuji za pozornost!