Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_79 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:3.E/ třetí ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Komplexní čísla Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Binomická rovnice – odvození řešení Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje odvození obecného vztahu a znázornění kořenů binomické rovnice jako vrcholů pravidelných rovinných útvarů. Rozdíl řešení v oboru reálných a komplexních čísel. Klíčová slova:Binomická rovnice; Kořeny binomické rovnice; Grafické znázornění kořenů binomické rovnice Druh učebního materiálu:prezentace

Binomická rovnice

Binomickou rovnicí se nazývá rovnice tvaru:, kde postup řešení (nepište): 1)Uvědomíme si, že rovnice má n kořenů. 2)Separujeme n-tou mocninu proměnné x. 3)KČ a převedeme z AT na GT – včetně period funkcí sinus a kosinus. 4)Rovnici odmocníme – opakem n-té mocniny je n-tá odmocnina: a)na levé straně získáme hodnotu proměnné x, b)na pravé straně odmocníme KČ a pomocí Moivreovy věty.

rovnice má n kořenů a  C  a lze zapsat v AT osamostatníme x n, GT opakem n-té mocniny je n-tá odmocnina umocňujeme-li součin, umocňujeme každého z činitelů užijeme Moivreovu větu

Znázornění čísla x k v Gaussově rovině Pravidelným n-úhelníkem je pro n = 3: n = 4: n = 5: rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník,... Kořeny x 0, x 1, x 2,..., x n – 1 binomické rovnice leží pro n > 2 v Gaussově rovině ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice: se středem v počátku, s poloměrem.

x y 0 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 další kořeny

Porovnejte řešení rovnice: v oboru čísel reálných: R, v oboru čísel komplexních: C.

Řešení rovnice v R: rovnice má 3 kořeny Závěr: –Nalezli jsme pouze jeden ze tří kořenů dané rovnice, který je reálný. –Zbývající dva kořeny zřejmě nejsou reálné.

Řešení rovnice v C vzorec

 Vycházeli jsme z AT (zadání rovnice), tudíž výsledky x 0, x 1, x 2 opět převedeme z GT na AT. k = 0: x 0 = 2. (cos0  + i sin0  ) k = 1: x 1 = 2. (cos120  + i sin120  ) k = 2: x 2 = 2. (cos240  + i sin240  ) x k = 2.  cos(0  + k. 120  ) + i sin(0  + k. 120  ) , k = 0, 1, 2 (0   )= 0  (0   )= 120  (0   )= 240 

Závěr: V oboru komplexních čísel jsme nalezli všechny tři kořeny zadané rovnice: –první z kořenů je reálný, –další dva imaginární.

Znázornění kořenů x 0, x 1, x 2 v Gaussově rovině: x 0 x0x0 x1x1 x2x2 y x k = 2.  cos(0  + k. 120  ) + i sin(0  + k. 120  ) , k = 0, 1, 2

poznámka: K řešení binomické rovnice dospějete, když  dodržíte postup, který jsme uplatnili při odvození vztahu (vzorce) pro kořeny binomické rovnice nebo  přímo dosadíte do odvozeného vzorce (vztahu) pro kořeny binomické rovnice.

Použitá literatura: PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 9–47 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 11–46