Zákony Booleovy algebry Střední odborná škola Otrokovice Zákony Booleovy algebry Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Miloš Zatloukal Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

Charakteristika DUM Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /2 Autor Ing. Miloš Zatloukal Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-PE-CT/1-EL-5/5 Název DUM Zákony Booleovy algebry Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 26-41-L/52 Obor vzdělávání Provozní elektrotechnika Vyučovací předmět Číslicová technika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 15 – 16 let Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce učitelem, případně jako materiál pro samostudium, nutno doplnit výkladem; náplň: seznámení se základními pravidly pro řešení matematických vztahů mezi logickými proměnnými –zákony Booleovy algebry Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Algebra, Boole, logická proměnná, negace, logický součin, AND, logický součet, OR, NAND, NOR, De Morganovy zákony, De Morganovo pravidlo. Datum 10. 11. 2012

Zákony Booleovy algebry Náplň výuky - Booleova algebra - Základní a rozšířené logické funkce pro 2 proměnné - Zákony Booleovy algebry (pro logický součet a součin) - De Morganovo pravidlo - Převod libovolné funkce na tvar typu NOR (NAND)

Zákony Booleovy algebry Booleova algebra Je to soustava pravidel k popisu vztahů mezi dvouhodnotovými logickými proměnnými. Pravidla popisují nejčastější logické operace. Používá jen tři logické funkce (negace, konjunkce, disjunkce), ale lze jimi vyjádřit libovolnou funkci. Každou složitější logickou funkci je žádoucí zjednodušit (minimalizovat) pomocí zákonů Booleovy algebry. Pozn. George Boole byl britský matematik a filozof (1815 – 1864)

Základní logické funkce pro dvě proměnné „a“ a „b“ jsou: - logický součin – označovaný jako AND se zapisuje - logický součet – označovaný jako OR se zapisuje - negace – označovaná jako NOT se zapisuje   Rozšířené logické funkce pro dvě proměnné „a“ a „b“ jsou:

- negovaný logický součin – označovaný jako NAND se zapisuje - negovaný logický součet – označovaný jako NOR se zapisuje - rovnost – označovaná jako XNOR se zapisuje - nerovnost – označovaná jako XOR se zapisuje

Zákon Pro součet Pro součin Idempotence Součet nebo součin 2 a více stejných proměnných je jako 1 proměnná Absorbce Pohlcení druhé proměnné při střídání součtu a součinu (součinu a součtu) Absorbce negace Pohlcení negace téže proměnné při střídání součtu a součinu (součinu a součtu)

Zákon Pro součet Pro součin Komutativní Na pořadí nezáleží – libovolné členy lze zaměnit Asociativní Libovolné členy lze sdružovat do skupin – závorek – na pořadí nezáleží Distributivní O roznásobení – pozor varianta pro součet v aritmetice neplatí!!

Zákon Pro součet Pro součin Neutrálnost nuly a jedničky Stav proměnné se nezmění přičtením nuly nebo vynásobením jedničkou (logický součet a součin) Agresívnost nuly a jedničky Jednička je určující pro log. součet (vynutí výslednou 1 bez ohledu na stav „a“), nula je agresívní pro log. součin (vynutí nulu bez ohledu na stav „a“) Vyloučeného třetího Log. součet proměnné a její negace je vždy jedna, log. součin pak nula

Zákon Pro součet Pro součin Negace Negace vytvoří opačnou hodnotu – k nule jedničku a naopak (k jedničce nulu) Dvojité negace Dvojitá negace – neboli negace negace je popřením negace a je tedy rovna původnímu stavu (a)

Zákon Pro součet Pro součin De Morganovo pravidlo Říká, že se „velká“ negace nad funkcí typu součet nebo součin rozdělí na „malé“ negace a původní znaménko se změní na doplňkové – tj. „plus“ na „krát“ a naopak. NOR lze tedy rozepsat na AND negovaných proměnných. NAND lze tedy rozepsat na OR negovaných proměnných. Použitím dvou zákonů – a sice „dvojité negace“ a De Morganova pravidla, je možné libovolnou logickou funkci převést na tvar pouze s členy NAND nebo NOR (nebo na jejich kombinaci)

Příklad převodu logické funkce na tvar pouze s členy NAND Poznámka: Ověření platnosti jakéhokoliv zákona Booleovy algebry je možné pomocí tabulky pravdivostních hodnot.

Kontrolní otázky: Distributivní zákon stejný jako v aritmetice: a) platí pro logický součet b) platí pro logický součin c) v Booleově algebře neplatí 2. Doplňkovou logickou funkcí k logickému součinu je : Logický součet Implikace Rovnost Logická nula se chová “agresívně“ pro: Nerovnost Logický součet (OR) Logický součin (AND)

Seznam obrázků:

Seznam použité literatury: [1] Matoušek, D.: Číslicová technika, BEN Praha, 2001, ISBN 80-7232-206-0 [2] Blatný, J., Krištoufek, K., Pokorný, Z., Kolenička, J.: Číslicové počítače, SNTL, Praha, 1982 [3] Kesl, J.: Elektronika III – Číslicová technika, BEN, Praha, 2003, ISBN 80-7300-075-X

Děkuji za pozornost 