Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Množina všech bodů majících danou vzdálenost od daného bodu. Autor obrázků © Mgr. Radomír Macháň

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Budeme se zabývat množinami (skupinami) bodů, které spojuje nějaká společná vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body této množiny (skupiny) charakteristická a body, které tuto vlastnost nemají, do této množiny (skupiny) nepatří.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme takový geometrický útvar G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Každý bod útvaru G má danou vlastnost V. 2) A obráceně, každý bod, který má danou vlastnost V, je bodem útvaru G. Co říkáte? Že tomu nerozumíte? Ano. Vypadá to složitě jako většina (nejen) matematických definicí. Ve skutečnosti v tom však nic složitého hledat nemusíte. Však uvidíte sami na konkrétních základních množinách bodů dané vlastnosti, o nichž se postupně budeme učit.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Pokusíme se problematiku množin bodů dané vlastnosti nejprve osvětlit na příkladu, který s geometrií vůbec nesouvisí.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 1: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují danou podmínku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících jednu zadanou podmínku (majících danou vlastnost): jsou menší než 10.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 2: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10, která jsou zároveň čísly složenými. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují dané podmínky: 4, 6, 8, 9 Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících dvě zadané podmínky (mající dvě dané vlastnosti): 1) jsou menší než 10 2) jsou to složená čísla Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku minimálně ještě jedním číslem kromě jedničky a sama sebou.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Mějme množinu všech přirozených čísel. Tzn. že máme čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … Př. 3: Zapište množinu (skupinu) všech přirozených čísel menších než 10, která jsou zároveň čísly složenými a sudými. Máme tedy vypsat jen ta přirozená čísla, která splňují dané podmínky: 4, 6, 8 Pokud byste si to už nepamatovali, jsou to čísla, která jsou dělitelná beze zbytku číslem 2. Vypsali jsme množinu všech přirozených čísel splňujících tři zadané podmínky (mající tři dané vlastnosti): 1) jsou menší než 10 2) jsou to složená čísla 3) jsou to sudá čísla

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Věřím, že už jste pojem množina prvků (čísel) dané vlastnosti dostatečně pochopili, a proto již přejdeme ke konkrétním, v geometrii nejčastěji používaným množinám bodů dané vlastnosti.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Tak nejprve k čemu nám znalost množin bodů dané vlastnosti bude. Při řešení konstrukčních úloh vždy hledáme dvě i více množin, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadované v zadání úlohy, a každý společný bod (průnik) hledaných množin pak vede k řešení úlohy samotné.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Tak, a teď už se podívejte na následující snímek. Je na něm kružnice k se středem S a poloměrem 4 centimetry… k (S; r = 4 cm). Navíc pak ještě pár bodů. Obrázek si dobře prohlédněte a odpovězte na následující otázky.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti 1) Co můžeme říci o bodech A, B, C? 2) Jak byste popsali jejich vlastnost vzhledem k bodu S? 3) Které další body mají tutéž vlastnost?

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti 1) Co můžeme říci o bodech A, B, C? 2) Jak byste popsali jejich vlastnost vzhledem k bodu S? 3) Které další body mají tutéž vlastnost? Všechny leží na kružnici k. Všechny mají od středu kružnice, bodu S, stejnou vzdálenost rovnou poloměru r kružnice k – je to jejich společná vlastnost. F, I, N, O

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti 4) Má bod D také stejnou vlastnost jako předcházející body? 5) A co bod E? 6) Které další body nemají od bodu S vzdálenost rovnu poloměru kružnice k, tedy 4 cm?

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti 4) Má bod D také stejnou vlastnost jako předcházející body? 5) A co bod E? 6) Které další body nemají od bodu S vzdálenost rovnu poloměru kružnice k, tedy 4 cm? Nemá, jeho vzdálenost od středu S kružnice k je větší než poloměr kružnice r, tzn. větší než 4 cm. Bod D tedy neleží na kružnici k. Jeho vzdálenost je zase naopak menší než 4 cm. G, H, J, K, L, M

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Co tedy na základě předcházejících otázek a odpovědí můžeme o kružnici říci? Co to vlastně kružnice je? Kružnice k (S;r) je množina všech bodů X roviny, které mají od bodu S vzdálenost r. r r r r rr r

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Množina bodů dané vlastnosti Nyní to otočíme a sestrojíme kružnice o poloměru 4 cm se středy ve zkoumaných bodech na kružnici. Kružnice k(S;r) je také množinou všech středů kružnic, jež mají daný poloměr r a procházejí daným bodem S. Co je množinou středů všech takových kružnic, které mají stejný poloměr a procházejí jedním daným společným bodem? Je to kružnice se středem v daném bodě a o stejném poloměru, jaký mají zkoumané kružnice. Co můžeme říci o sestrojených kružnicích? Jakou společnou vlastnost mají?

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, jejichž vzdálenost od bodu A je: 1) 2 cm; 2) 25 mm; 3) 0,4 dm (Pozor na jednotky!)

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Pár příkladů k procvičení Sestrojte množiny všech bodů, jejichž vzdálenost od bodu A je: 1) 2 cm; 2) 25 mm; 3) 0,4 dm

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Užití „množin bodů“ v konstrukčních úlohách. Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm. c=8 cm a=5 cm k b=7 cm l C Náčrt a rozbor: Množina všech bodů, které mají od bodu B vzdálenost danou stranou a, tj. 5 cm. Množina všech bodů, které mají od bodu A vzdálenost danou stranou b, tj. 7 cm. Průsečík narýsovaných množin bodů (kružnic) splňuje obě podmínky zadání zároveň, tzn. že je hledaným bodem C.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. 1. AB;  AB  = c = 8 cm Postup a konstrukce: 2. k; k(B; a = 5 cm) 4. C; C  k  l 5. Trojúhelník ABC 3. l; l(A; b = 7 cm) p l k A B C

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Výsledný trojúhelník Úloha má jedno řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C) Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: a = 3 cm, b = 6 cm, c = 5 cm

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Pár příkladů k procvičení – příklad č. 2 Sestrojte trojúhelník OPQ, jestliže: o = 5 cm, p = 9 cm, q =5 cm

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Pár příkladů k procvičení – příklad č. 3 Sestrojte trojúhelník XYZ, jestliže: x = 45 mm, y = 6 cm, z = 35 mm

Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Tak přesnou ruku při rýsování!