Gottfried Wilhelm Leibniz Matematická analýza Klasická algebra neumí dobře pracovat s nekonečny. Vektorové prostory sice mají nekonečně mnoho prvků a mohou mít nekonečné dimenze, ale sečíst nekonečně mnoho vektorů klasickými prostředky nelze. Machrováním s nekonečny se lidé začali zabývat relativně nedávno – cca 400 let. Základy oboru, dnes nazývaného matematická analýza položili dva vědci – G. W. Leibnitz a I. Newton. Z Newtonovy strany analýza vznikla v přímé souvislosti s fyzikou. Isaac Newton 1643 - 1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1716 V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Achilles a želva Zeno Elejský 490 – 430 přnl. Achilles honí želvu. Protože je dobrý běžec, dá ji náskok. Než ovšem uběhne tuto vzdálenost, želva se posune o kousek vpřed. Zatímco Achilles běží tuto novou vzdálenost, želva se dále pohybuje a opět se vzdálí (nově položená vzdálenost je sice menší, ale nenulová). Na základě této pokračující série dochází Zeno k tomu, že Achilles želvu nikdy nemůže dohonit. Myšlenka je ale v příkrém rozporu s pozorováním – je to tedy paradox? Zeno Elejský byl před-sokratovský řecký filozof, člen Parmenidovy školy v jižní Itálii. Byl označen Aristotelem za zakladatele dialektiky, nicméně známější je díky svým para-doxům, například paradoxu o Achillovi a želvě.

Následující čas Achilla Achilles a želva vZ vA vZ vA vZ vA tn , sn tn+1 , sn+1 tn+2 , sn+2 Čas Achilla Nová vzdálenost želvy Následující čas Achilla Čas pro chycení želvy Je tento součet nekonečné geometrické řady konečný, nebo ne?

Okolí bodu Buď a bod z R, ε z R+. Otevřený interval Definice 60. nazýváme ε-okolím bodu a a značíme Ha(ε), stručněji Ha. Obdobně lze definovat levé a pravé okolí : Definice 61. ε-okolí nekonečna definujeme jako Věta 21. Buď a, b dva body z R. Ha, Hb označme jejich ε-okolí. Potom platí: a b Jsou-li a, b navíc různé, platí a b

Limita posloupnosti Pojem limita posloupnosti se týká chování posloupnosti, pokud sledujeme prvky s indexem neomezeně rostoucím – tedy v nekonečnu. Mají prvky následujících posloupností pro velmi vysoká nějakou tendenci? neomezeně roste (nekonečná limita) blíží se k šestce (limita je 6) stále osciluje (limita neexistuje)

Limita posloupnosti Definice 62. Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má konečnou limitu a právě tehdy, platí-li zkráceně Tj. ať si zvolíme libovolně malé okolí bodu a, vždycky najdeme prvek posloupnosti, od nějž všechny dál do okolí spadnou. Pak píšeme, že a ε ε ε ε ε ε

Limita posloupnosti Definice 63. Buď an reálná posloupnost. Řekneme, že posloupnost má nekonečnou limitu (kladnou, resp. zápornou) právě tehdy, platí-li zkráceně ε Pozn. : definice s okolími bodů je univerzální pro konečnou i nekonečnou limitu:

Limita posloupnosti a b Věta 22. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz provedeme sporem. Kdyby posloupnost měla dvě různé limity, třeba a a b, muselo by zároveň platit Protože ale lze zvolit dvě okolí Ha, Hb tak, aby neměly žádný průnik, nelze najít takové n0 = max (n1, n2), aby všechny prvky od něj dále ležely jak v Ha, tak v Hb. a b

Limita posloupnosti Definice 63. Buď an reálná posloupnost. Tuto posloupnost nazveme dle limity jako konvergentní divergentní neexistuje oscilující Věta 22. Buď an konvergentní reálná posloupnost s limitou a. Potom platí: an je omezená (shora i zdola) lim |an| = |a| posloupnost anp vybraná z an má rovněž limitu a Buď an divergentní reálná posloupnost s limitou plus resp. mínus nekonečno. Potom an je omezená zdola resp. shora. Pozn. : změníme-li konečný počet členů posloupnosti jakkoliv, limita posloupnosti se nezmění.

Výpočty limit posloupnosti Jaké limity mají základní posloupnosti? ε ε ε ε ε ε Tyto jednoduché limity je třeba dokázat z definice.

Výpočty limit posloupnosti Pro potřeby limitních výrazů definujeme : Platí pro a > 0. Pro a < 0 se výsledná znaménka otáčejí. Výrazy vychází přímo z definic limity a platí pro všechny posloupnosti nezávisle na konkrétní podobě an.

Výpočty limit posloupnosti Následující výrazy jsou neurčité – hodnota limity závisí na konkrétní podobě posloupnosti (tvaru an):

Výpočty limit posloupnosti Buď an , bn dvě reálné posloupnosti, c reálné číslo a nechť limity obou posloupností existují. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí: Věta 23.

Výpočty limit posloupnosti O dvou policajtech : Buď an , bn a cn tři reálné posloupnosti, nechť platí Věta 24. 1) 2) . Potom platí, že n0

Výpočty limit posloupnosti Příklad Vypočítejte

Výpočty limit posloupnosti Příklad Vypočítejte

Výpočty limit posloupnosti Příklad Ukažte, že Využijte přitom tvrzení, že pro posloupnost nenulových reálných čísel platí Pozn. : z příkladu je vidět, že výraz n! roste nesmírně rychle – rychleji, než libovolná exponenciála!

Zajímavosti Eulerovo číslo a další podobná jsou definována pomocí limit: Pomocí limit posloupnosti je definována obecná mocnina: Definice 64. Buď an konvergentní racionální posloupnost, tj. pro kterou platí buď x reálné číslo. Obecnou mocninu xa definujeme jako Pozn. : k této definici je samozřejmě třeba ukázat, že tato limita existuje a že se neliší pro různé posloupnosti an se stejnou limitou a.

Nekonečné řady Buď an posloupnost reálných čísel. Nekonečnou řadou o členech an rozumíme formální výraz Definice 65. Pozn. : nutnost přesné definice „sčítání donekonečna“ je zřejmá z následujícího příkladu. Sečtěte řadu čísel Na problém můžeme nahlédnout různými způsoby: Který je asi „pravdivější“ ?

Součet nekonečné řady Buď an posloupnost reálných čísel. Výraz Definice 66. Nazveme n-tým částečným součtem příslušné řady. {Sn} rovněž tvoří posloupnost reálných čísel. Definujeme, že nekonečná řada má součet (konverguje), právě když Definujeme, že řada má nekonečný součet (diverguje), právě když Definujeme, že řada nemá nekonečný součet (osciluje), právě když neexistuje

Součet geometrické řady Připomeňme si, co je geometrická posloupnost: Částečný součet Tedy pro q < 1.

Součet nekonečné řady Nutná podmínka konvergence řady : Nechť řada konver-guje. Potom Věta 24. Jinými slovy toto je základní kritérium konvergence. Na to, abychom vůbec mohli uvažovat o tom, že řada má konečný součet, musí být limita jejích členů nulová (nutná podmínka). Podmínka ale není dostačující – je-li limita členů nulová, neznamená to automaticky, že řada má konečný součet!

Bolzanovo-Cauchyovo kritérium Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Platí, že an je konvergentni, právě když Věta 24. Bolzanovo-Cauchyovo kritérium je nutnou a postačující podmínkou konvergence reálných (i komplexních) posloupností. Pozn. : posloupnosti, které splňuje tuto podmínku se říká Cauchyovská. Věta platí pouze na úplných prostorech, například Cauchyovská posloupnost v prostoru racionálních čísel limitu mít nemusí. Kritérium lze samozřejmě použít i na konvergenci řad. Dosadíme-li místo an Sn, pak Věta říká, že na to, aby posloupnost konvergovala, se musí se členy posloupnosti k sobě neomezeně blížit s rostoucím n. U řad pak platí, že součet libovolného počtu členů musí být neomezeně malý s rostoucím n.

Součet harmonické řady Pomocí B.-C. kritéria ukažme, že řada je divergentní, a to i přes to, že . Tato důležitá řada se nazývá harmonická. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že řada B.-C. kritérium splňuje, a pro libovolně zvolené ε absolutní hodnota součtu p členů od n0 výše je menší než toto ε. Zvolme například ε = ½. Pak existuje n0 takové, že pro všechny n>n0 a pro všechny p platí Zvolme n = p a zkoumejme, co to udělá: n-krát Tedy jsme došli ke sporu:

D’Alambertovo kritérium D’Alembertovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita Věta 25. Potom je-li nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout

Raabeovo kritérium Raabeovo kritérium konvergence : Buď an číselná posloupnost. Nechť existuje limita Věta 26. Potom je-li nelze o konvergenci řady tímto kritériem rozhodnout Pozn. : všiměte si, že oproti D’Alambertovu kritériu jsou nerovnítka obráceně! Toto kritérium ukazuje konvergenci všech řad se členy typu 1/n2, 1/n3, 1/n4, …

Součty nekonečných řad Pokládejte na stůl libovolný počet hracích karet na sebe tak, aby se navzájem přesahovaly. Jak daleko můžete dosáhnout za okraj stolu, než se celá stavba zřítí? Příklad l = ?

Limita funkce Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí Definice 67. značíme

nehledě na to, zda je funkce v bodě 4 definována či nikoliv. Limita funkce K čemu se blíží hodnota funkce, „lezeme-li“ po definičním oboru k číslu 4? nehledě na to, zda je funkce v bodě 4 definována či nikoliv.

Limita funkce Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné. Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu c, právě když platí Definice 67. značíme Limita vyjadřuje chování funkce v blízkém okolí bodu a bez ohledu na to, zda je bod a v definičním oboru či nikoliv! Pozn.: Body a a c mohou klidně být i nekonečna – definice okolí nekonečna je jasná. Pozn.: Stejně jako limita posloupnosti je limita funkce jednoznačná – buď neexistuje, nebo je právě jedna (pro pevně daný bod).

Limita funkce

Výpočty limit funkcí Buď f , g dvě reálné funkcí, c reálné číslo. Nechť v bodě x, který je z definičního oboru f i g existují limity obou funkcí. Za předpokladu, že výrazy napravo mají smysl, platí: Věta 27.

Spojitost Lze funkci „nakreslit jedním tahem“? Zde funkce není spojitá Zde funkce je spojitá

Heineova věta Buď f reálná funkce jedné reálné proměnné bod a buď z definičního oboru. Pak Věta 27. právě tehdy, když pro každou posloupnost xn s vlastnostmi je limita Najdeme-li byť jen jedinou posloupnost výše uvedených vlastností, pro kterou výraz f(xn) nemá limitu c, limita funkce v bodě a neexistuje.

Výpočty limit funkcí Příklad Ukažte, že

Shrnutí Okolí bodu Limita posloupnosti Výpočty limit posloupností Součty nekonečných řad Výpočty součtů, kritéria Limita funkce Výpočty limit funkcí Spojitost funkce Heineova věta