Mocnina částečně uspořádané množiny Ing. Emilie Šeptáková Katedra informatiky, VŠB TU Ostrava

Úvod - motivace Jak roste počet dokumentů vytvořených v jazyce XML, roste také zájem o efektivní vyhledávání informací v nich uložených. Data, uložená v XML dokumentu, mají hierarchickou strukturu, která se dá zakreslit jako graf - strom. Je možné vyhledávat informace ve tvaru stromu v jiném stromu stejně jako např. v řetězcích? Cílem je využít mocninu posetu pro vyhledání vzoru ve tvaru stromu a přirozené uspořádání výsledku hledání. Objasnění pojmů: Částečně uspořádaná množina (partially ordered set), poset Grafická reprezentace posetu - Hasseův diagram Morfismy částečně uspořádaných množin Mocnina posetu Kardinalita posetu – počet elementů WOFEX 2003

Definice částečně uspořádané množiny Podmnožina S kartézského součinu X  X se nazývá částečně uspořádaná na neprázdné množině X jestliže : x  X: (x, x)  S (R) x, y  X: jestliže (x, y)  S a (y, x)  S, pak x = y (AS) x, y, z  X: jestliže (x, y)  S a (y, z)  S, pak (x, z)  S (T) Slabá inkluze - partial order (R) - reflexivní, (AS) - antisymetrická, (T) - tranzitivní relace Čteme: uspořádanou dvojici S := (X,) nazýváme částečně uspořádanou množinou [posetem], jestliže  je částečné uspořádání na X. X je nosič posetu, relace  se nazývá uspořádání množiny X prvky x, y, z  X nazýváme vrcholy nebo body nebo elementy O elementech můžeme říct, že jsou porovnatelné nebo neporovnatelné. [comparable or incomparable] řetěz [chain], antiřetěz [antichain], Kardinalita WOFEX 2003

Definice uspořádané množiny Podmnožina R kartézského součinu X  X se nazývá uspořádaná na X jestliže : x  X: (x, x)  R (IR) x, y, z  X: (x, y)  R a (y, z)  R, pak (x, z)  R (T) (IR) - irreflexivní a (T) - tranzitivní relace Silná inkluze – order Čteme uspořádanou dvojici (X,<) nazýváme uspořádanou množinou, jestliže < je uspořádání na X. WOFEX 2003

Příklady 1) X := {a, b, c, d} a S := { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (b, d), (a, c), (a, d)} S je částečně uspořádaná množina na X 2) Antiřetězec – značíme např. 4 X := {a, b, c, d} 4 := { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d)} Řetězec - značíme C4 X := {a, b, c, d} C4 := { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (c, d)} 4) N poset X := {a, b, c, d} N:= { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (b, c), (b, d)} 5) S = (X, ), X := {1, 2, 3, 4, 6, 12} a  znamená x je dělitelem y S := { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (6, 6), (12, 12), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (4, 12), (6, 12) } 3 a 4 jsou neporovnatelné WOFEX 2003

Jak reprezentovat poset Hasseovy diagramy posetů 2) antiřetěz 4 3) řetěz C4 1) c d a b c d b a 5) 4) Letter N poset 12 6 3 4 2 1 a b c d a b c d WOFEX 2003

Označování bodů v Hasseově diagramu Označení vrcholů posetu L je bijektivní zobrazení L: {1, ..., n} V(X), kde V(X) je množina všech vrcholů posetu (X, ) o kardinalitě n. Konečný poset (X, , L) je přirozeně označený, jestliže x < y ve V(X), pak L-1(x) < L-1(y) v {1,...,n}, doména L. Lineární rozšíření posetu (X, ) je poset (X, *) takové, že pro x  y, pak x * y a poset (X, *) je řetězec. 1 2 1 2 3 4 not natural labeled poset natural labeled poset 3 4 Minimální , maximální, nejmenší, největší prvek Každý konečný poset má přirozené označení. WOFEX 2003

Algoritmy značení bodů Algoritmus zdola nahoru (zhora dolů): Nechť (X, ) je konečný poset s |X| = n. Najděte všechny minimální (maximální) prvky posetu (X, ). Odstraňte všechny přímky, které spojují s minimálními (maximálními) prvky. Přiřaďte čísla 1, 2, 3, ... ( n, n-1, ...) minimálním (maximálním) prvkům. Pro zbývající subposet opakujte výše uvedené kroky. WOFEX 2003

Morfismy částečně uspořádaných množin Mějme částečně uspořádané množiny S=(X, ) a P =(Y, ). Zobrazení f z X do Y zachovává uspořádání jestliže x, y  X: x  y, pak f(x)  f(y). Výsledkem zobrazení f(X) řetězce X, které zachovává uspořádání, je také řetězec. Mějme částečně uspořádané množiny S=(X, ) a P=(Y, ’ ). Bijektivní zobrazení f: X do Y, které zachovává uspořádaní, je nazýváno izomorfismem, jestliže f-1 také zachovává uspořádání. Označujeme X  Y nebo X = Y. Izomorfismus je relace ekvivalence na třídě posetů. Automorfismus je izomorfismus částečně uspoř. množiny na sebe. Počet všech automorfismů posetu (X, ) je X! WOFEX 2003

zobrazení g není isomorfní Morfismy - příklady X := {a, b, c} Y := {1, 2, 3} g := {(a, 1), (b, 3),(c, 2)} g je zobrazení X na Y zachovávající uspořádání g-1 nezachovává uspořádání Kolik je zobrazeních zachovávajících uspořádání f:X = C3  Y = N ? f(X) = C1 4 možnosti a, b, c nebo d f(X) = C2 3 možnosti ac, bc, bd f(X) = C3 3x2=6 možností Celkem 10 možností 3 b 1 c a 2 zobrazení g není isomorfní WOFEX 2003

Mocnina posetu Mějme dvě částečně uspořádané množiny X a Y. Mějme množinu YX všech zobrazení zachovávajících uspořádání z X do Y. Definujme binární relaci na YX : f  g x  X: f(x)  g(x), kde f, g  YX . Pak (YX, ) je mocnina částečně uspořádané množiny Y na X. 3 fi (1) = i, i=1,2,3 1) C31 1 2 fi: 1  C3 C31  C3 C3 1 y 2) RC2 y x = y 2 gi: C2  R C2 1 x x WOFEX 2003

Mocnina posetu - příklady 3) C3 C2 3 f1=(a,1),(b,1)  11 f2=(a,1),(b,2)  12 ... Kardinalita |C3 C2|=6 Počet hran {C3 C2}=6 33 23 b 2  22 13 C2 C3 a 12 1 11 C3 C2 4) C3 .C3 c 3 33 23 32 b 2 31 13 22 C3 21 C3 a 1 12 C3 . C3 11 WOFEX 2003

Kardinalita mocniny posetu Zobrazení mocniny posetu je velmi těžké. Kardinalitu mocniny posetu lze spočítat. Každé zobrazení f zachovávající uspořádání lze jednoznačně rozložit f = f1 ° f2, kde f2 : X Imf je zobrazení množiny na množinu zachovávající uspořádání a f1 : Imf  Y je bijektivní zobrazení zachovávající uspořádání. | YX| =  ((e (X, Imf) i (Imf, Y)) / Imf !) kde e(X, Imf) je počet různých uspořádání zachovávajících zobrazení na Imf, g : X Imf a i(Imf, Y) je počet různých uspořádání zachovávajících bijektivních zobrazení f: Imf  Y . Imf jsou spojité, uspořádání zachovávající obrazy X - plné podposety (full subposet). a X! je počet všech automorfismů posetu (X, ) Př. X! c Existují 2 automorfismy f1 := {(a,a),(b,b),(c,c)} a f2 := {(a,b),(b,a),(c,c)} a b WOFEX 2003

Mocnina posetu - příklady 5) NC3 ccc c d 3 ddd bcc acc  bdd 2 aac bbd bbc a N aaa bbb C3 1 b Kardinalita |NC3|=10 4 1 c d 3 2 3 1 2 a b C3 1 N WOFEX 2003

Mocnina posetu - strom 6) YX 5 1 5 Y X c 3 6 2 2 3 4 a b 2 10 1 2 111, 113, 115, 123, 125, 133, 135, 145, 155, 213, 215, 222, 223, 225, 233, 235, 245, 255, 313, 315, 323, 325, 333, 335, 345, 355, 415, 425, 435, 444, 445, 455, 515, 525, 535, 545, 555 celkem 37 WOFEX 2003

Mocnina posetu - příklad Hasseův diagram YX 555 355 535 455 545 155 335 515 525 255 435 345 445 135 315 325 333 235 145 415 425 245 444 115 125 133 323 313 225 215 233 113 223 123 213 111 222 WOFEX 2003

Mocnina posetu – příklad 435 345 325 135 315 235 425 415 145 245 215 125 123 213 Celkem 14 prostých zobrazení WOFEX 2003

Literatura [1] Neggers, J., Kim, H. S. : Basic Posets. Worls Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1998 [2] Šeptáková, E., Snášel, V., Ochodková, E. Vyhledávání na základě podobnosti v XML dokumentech. Sborník konference ZNALOSTI 2003. Ostrava 2003. ISBN 80-248-0229-5. [3] Beran, L. : Uspořádané množiny, Škola mladých matematiků, ÚV matematické olympiády nakladatelství Mladá fronta, 1978 [4] Beran, L. : Grupy a svazy. Matematický seminář SNTL, Praha 1974 [5] Mac Lane, S., Birkhoff, G. : Algebra. Vydavatelstvo technickej a ekonomickej literatury, 2. vydanie Bratislava 1974 [6] Duffus, D., Wille, R.: A Theorem On Partially Ordered Sets of Order-preserving Mappings, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 26, No. 1,August 1979, pp. 14-16 [7] Duffus., D., Rival, I.: A Logarithmic Property for Exponents of Partially Ordered Sets, Can. J. Math., Vol. XXX, No. 4, 1978, pp. 797-807 WOFEX 2003