ÚVOD DO MATEMATICKÉ LOGIKY

LITERATURA Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007

Svátek J., Dostálová L.: Logika pro humanistiku. Aleš Čeněk, Dobrá Voda 2003 Bokr J.:, Svátek J.: Základy logiky a argumentace. Aleš Čeněk, Plzeň 2000 Jirků P.: Logika (neformální výklad základů formální logiky). VŠE, Praha 1993

Štěpán J.: Klasická logika. Vontobia, Olomouc 1992 Štěpán J.: Logika možných světů I, II, III. Vontobia, Olomouc 1994, 1997 Peregrin J.: Logika a logiky. Academia, Praha 2004

Sochor A.: Klasická matematická logika. Karolinum, Praha 2001 Švejdar V.: Logika – neúplnost, složitost a nutnost. Academia, Praha 2002 Weinberger O.: Základy právní logiky. MV-Brno 1993 Knapp V., Gerloch A.: Logika v právním myšlení. Eurolex, Praha 2000 Popper K.: Logika vědeckého zkoumání. Praha 1997

Věda Praxe – reálná materiální činnost abstraktní myšlení předmětné myšlení deskripce Praxe – reálná materiální činnost

Teorie vědy Metodologie vědy Logika Teorie vědy Metodologie vědy historie vědy filozofie vědy věda

T.G.Masaryk – Konkrétní logika Klasifikace věd T.G.Masaryk – Konkrétní logika Teoretické Aplikované praktické Abstraktní Konkrétní užitné . . . Aritmetika Geometrie Zeměměřičství Logika

Co je metodologie? teorie metod (poznání, vědeckého poznání) nikoliv: popis metody teorie „jedné˝ metody

METODA = způsob jak získávat poznatky NIKOLIV: návod

Základ metodologie: LOGIKA: zpřesňuje - zajišťuje jednoznačnost zajišťuje transparentnost - zajišťuje rozumovou evidenci

Předmět logiky: Usuzování: správné usuzování získávání jedněch poznatků z jiných (výchozích) „jen˝ pomocí „myšlení˝

Zájem logiky: správné a přesné konstrukce pojmů, správnou výstavbu výroků a tvrzení, spojování jednoduchých výroků a tvrzení ve složitější, zjišťování obecných podmínek správného usuzování atd.

Vzpomínka na množiny 1 Množina = libovolný soubor objektů, předmětů nebo jevů splňující dvě podmínky: a) existuje efektivní procedura umožňující o libovolném předmětu jednoznačně rozhodnout, zda do daného souboru patří či nikoliv b) lze vždy efektivně rozlišit jeden objekt od jiného, patřícího do téhož souboru

objekt, předmět či jev, který do daného souboru (množiny) patří Vzpomínka na množiny 2 Prvek množiny = objekt, předmět či jev, který do daného souboru (množiny) patří

Vzpomínka na množiny 3 Podmnožina Množina M2 je podmnožinou množiny M1 tehdy a jedině tehdy, jestliže každý prvek množiny M2 je současně prvkem množiny M1 Tento vztah značíme: M2  M1

Vzpomínka na množiny 4 Ekvivalence množin Je-li množina M2 podmnožinou M1 a současně M1 je podmnožinou M2, jsou množiny M2 a M1 ekvivalentní Tento vztah značíme M1  M2 

Vzpomínka na množiny 5 α) Každá množina je sama svou podmnožinou β ) Prázdná množina je podmnožinou každé množiny

Obor úvahy: množina, u níž je vždy ji nutno vymezit „s dostatečnou přesností˝ co do ní patří. To znamená, musí vždy a v každém případě (na daném stupni poznání) být k dispozici efektivní postup, umožňující rozhodnout o každé věci, problému atd., zda do našeho „oboru úvahy˝ patří či nikoliv.

obecná jména vlastní jména General Name Individual Name

Obecná jména jsou zpravidla jména skupin předmětů, objektů, jevů atd Obecná jména jsou zpravidla jména skupin předmětů, objektů, jevů atd., určených nějakou skutečností (kvalitou, tvarem, obecnou vlastností). Na tyto skupiny předmětů budeme mít při našem zjednodušeném přístupu jednu jedinou podmínku. U každého libovolného předmětu či objektu musí existovat za každých okolností finitní (konečná) procedura, umožňující jednoznačně rozhodnout zda daný objekt (předmět) do daného „oboru úvahy˝ patří či nikoliv.

Vlastní jméno: Název prvku (objektu), oboru úvahy, který je označován vlastním jménem, a který budeme nazývat denotátem (designátem) vlastního jména

Dva navzájem různé objekty (prvky oboru úvahy) nemohou mít nikdy jedno a totéž vlastní jméno

(z1) Každé vlastní jméno může mít nejvýše jeden denotát (designát) (z2) Každý denotát (designát) může mít více vlastních jmen

Smysl nelze definovat, jen „ilustrovat˝ na dostatečném množství příkladů

„význam˝ získáme spojením denotátu vlastního jména a jeho smyslu (designátu) vlastního jména a jeho smyslu

Smysl = Sens = Sinn, Význam = Meaning = Bedeutung

Vlastní jméno označení (denotace) vyjádření koncept Denotát (designát) význam Smysl

„Porozumět˝ vlastnímu jménu znamená znát alespoň jeden jeho smysl

Abychom (elementárně) porozuměli jazyku, nemusíme v zásadě vědět nic o denotátech (designátech) vlastních jmen, která obsahuje, stačí znát pouze jejich smysl (u každého jména aspoň jeden)

Obecná jména označují celé soubory objektů či předmětů

označených obecným jménem, je konečný, V případě, že soubor objektů (prvků), označených obecným jménem, je konečný, lze jej vymezit uvedením úplného výčtu jmen (vlastních), označujících jednotlivé objekty (prvky), které lze pod daný obecný pojem zařadit

Pojmenovat určitou vlastnost názvem, předpokládá existenci přesného objektivního vymezení toho, co pod toto jméno můžeme zahrnout

Vždy musí existovat procedura (operace, soubor operací), umožňující přesně označenou či pojmenovanou vlastnost jednoznačně identifikovat

Jako názvy vlastností (event. vztahů) budeme používat pouze takových, které na daném oboru úvahu vymezují nějakou (libovolnou) neprázdnou podmnožinu

Individuální konstanta (v1) Za individuální „konstanty˝ budeme považovat vlastní jména, jejichž denotát (designát) reálně existuje. Budeme je symbolicky značit písmeny „a˝, „b˝, „c˝, ... „a1˝, „b1˝, „c1˝, ... „an˝, „bn˝, „cn˝

k označení použijeme symbolů „x˝, „y˝, „z˝... „xn˝, „yn˝, „zn˝ (v2) Individuální proměnná je proměnná jejímž oborem proměnnosti jsou všechny individuální konstanty k označení použijeme symbolů „x˝, „y˝, „z˝... „xn˝, „yn˝, „zn˝

(v3) Za výrok lze považovat výraz, který individuální konstantně (přesněji jejímu denotátu, designátu) připisuje nějakou vlastnost, nebo popírá, že ji daná individuální konstanta (její denotát, designát) má

Symbolicky pak lze vyjádřit výrok s použitím symbolů „aP˝, „Pa˝. Tento způsob zápisu pak budeme označovat jako „standardní˝

Výrok, který konstatuje, že jedné individuální konstantě náleží právě jedna vlastnost (nebo jí nenáleží), budeme nazývat „elementárním výrokem˝

(v4) Nahradíme-li v elementárním výroku individuální konstantu za individuální proměnnou, k jejímuž oboru proměnnosti daná individuální konstanta patří, získáme elementární výrokovou formu

K symbolickému zápisu výrokových proměnných budeme používat symbolů: (v5) Výroková proměnná je proměnná, jejímž oborem proměnnosti je množina všech výroků a výrokových forem. K symbolickému zápisu výrokových proměnných budeme používat symbolů: p,q,r, s, p1, q1, r1, s1, ...pn, qn, rn, sn

JAZYKY přirozené čeština, angličtina pseudo-přirozené esperanto umělé (formalizované)

přirozené - napřed „jazyk˝, pak pravidla komunikace pseudo-přirozené - napřed pravidla, pak jazyk

přesná pravidla ale! v přirozeném jazyce umělé – přesnost jednoznačnost přesná pravidla ale! v přirozeném jazyce

jazyk „objekt˝ o něm „uvažujeme˝ „metajazyk˝ v něm uvažujeme o jazyku „objektu˝

K formalizovanému jazyku můžeme přistupovat přibližně ve třech základních rovinách: syntaktické, sémantické a pragmatické

SYNTAX V syntaktické rovině chápeme jazyk jako soubor symbolů a pravidel, jak z těchto symbolů tvořit složitější výrazy

Na symboly máme ze syntaktického hlediska dva základní požadavky: Jeden a tentýž symbol musíme zaznamenat vždy jedním a tímtéž grafickým způsobem 2) Grafický záznam symbolů musí být volen tak, aby symboly byly od sebe vždy dobře rozlišitelné

„intenzionální sémantika˝ V sémantické rovině klademe důraz na denotáty (designáty), smysl, význam symbolů a výrazů, které se ve formalizovaném jazyce vyskytují „extenzionální sémantika˝ „intenzionální sémantika˝

vypíšeme seznam všech symbolů „primitivními symboly˝ „slovník˝ vypíšeme seznam všech symbolů „primitivními symboly˝

Primitivní symboly budeme považovat za dále nedělitelné, a to ve dvojím smyslu: V jazyce nelze nikdy používat jejich částí 2) Každá konečná lineární posloupnost těchto symbolů může být nahlížena jako posloupnost pouze jedním jediným způsobem

Libovolnou konečnou posloupnost primitivních symbolů budeme nazývat formulí našeho jazyka

Důkazem se nazývá konečná posloupnost správně utvořených formulí tehdy a jedině tehdy, jestliže každá správně utvořená formule v této posloupnosti je: axiomem, nebo (ii) vyplývá podle některého z pravidel nebo podle více pravidel odvozování z axiomů nebo ze správně utvořených formulí, které ji v posloupnosti předcházejí

Teorémem v axiomatickém systému je každá správně utvořená formule, k níž existuje důkaz

Požadavek efektivnosti, který musí splňovat: ■ zadání primitivních symbolů - musí být efektivní v tom smyslu, že musí existovat metoda, která umožní konečným počtem kroků rozhodnout o každém symbolu, zda mezi primitivní symboly patří nebo ne ■ vymezení správně utvořené formule - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze konečným počtem jeho aplikací rozhodnout, zda je správně utvořená či nikoliv

■ zadání axiomů - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze na jeho základě rozhodnout, zda je axiomem či nikoliv Zpravidla bývají axiomy explicitně vyjmenovány (vypsány), proto se požaduje, aby jich byl vždy konečný a velmi malý počet

■ pravidla odvozování - musí být efektivní v tom smyslu, že lze na základě jejich zadání vždy rozhodnout, zda nějaká formule, jako závěr, vyplývá z jiných formulí, jako premis

Primitivními symboly jazyka „Lo˝ budou: p, q, r, s, ... pn, qn, rn, sn, 2) ‑, , , , , 3)  ,  ,  

Libovolná konečná posloupnost symbolů jazyka Lo je Formule Lo Libovolná konečná posloupnost symbolů jazyka Lo je formulí Lo

SUF Lo _ ■ je-li „p˝ SUF Lo, pak i „p˝ je SUF Lo ■ kterýkoliv ze symbolů skupiny 1), stojící sám o sobě, je SUF Lo _ ■ je-li „p˝ SUF Lo, pak i „p˝ je SUF Lo ■ jsou-li „p˝ a „q˝ SUF, pak i (p  q), (p  q), (p  q) a (p  q) jsou SUF ■ nic jiného, než to, co bylo uvedeno v bodech 1, - 3, této definice, již není SUF

Logické spojky: Symbol „-˝ označuje negaci Symboly , , ,  označují postupně spojky nazvané „konjunkce˝ „disjunkce˝„implikace˝ a „ekvivalence˝. Ve všech případech jde o logické spojky (funktory) binární

„negace˝ v přirozeném jazyce odpovídající vyjádření slovy „ne˝, „neplatí˝, „není pravda, že˝

konjunkce českou spojkou „a˝

vyjádřit spojkou „nebo˝ disjunkce vyjádřit spojkou „nebo˝

implikace výrazem „z p plyne q˝

„tehdy a jedině tehdy, když ˝ ekvivalence „tehdy a jedině tehdy, když ˝

Tabulka č. 1 p f1 f2 f3 f4 1

Tabulka č. 2 p q F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 1

(i) Každá SUF je sama svou podformulí (ii) Máme-li nějakou SUF „C˝, která má tvar B, pak obsahuje právě dvě podformule „C˝ a „B˝ (iii) Máme-li nějakou SUF výr. logiky „C˝, která má některý z následujících tvarů: A  B, A  B, A  B a A  B, pak má právě tyto podformule „A˝, „B˝ a „C˝ (iv) Nic jiného než to, co bylo uvedeno v bodech (i) - (iii) tohoto vymezení, není již podformulí SUF výrokové logiky

p _ 1

p q (p  q) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

p q (p  q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

p q (p  q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

p q p q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

p q (p  q)  (p  q) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1

p q r p  q  r  q) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Takovou SUF, která nabývá výsledného ohodnocení „1˝ pro všechny distribuce hodnot výrokovým proměnným, které obsahuje, nazýváme „vždy pravdivou formulí výrokové logiky Formule, které nabývají hodnoty „0˝ pro všechny distribuce hodnot svým proměnným, budeme označovat jako „vždy nepravdivé˝

Symbol „0˝, „1˝ budeme dále nazývat pravdivostními hodnotami

kde „Pr˝ označuje počet řádků, a „n˝ počet navzájem různých výrokových proměnných

kde „Pf je počet „n-arních˝ log. spojek a „n˝ je Počet „n-arních˝ logických spojek lze stanovit podle vztahu Pf = 2 kde „Pf je počet „n-arních˝ log. spojek a „n˝ je počet navzájem různých výrokových proměnných n (2 )) ˝

( zi ) Každou obecně „n-ární˝ logickou spojku lze vyjádřit pomocí závorek a vhodně volené, konečné posloupnosti unárních a binárních log. spojek Způsob „uzávorkování˝ podformulí a jejich „spojování˝ pomocí negace a binárních spojek pak označujeme termínem „struktura SUF˝

Každou SUF, která má strukturu, lze rozložit na její podformule Za „elementární˝ formuli budeme označovat formuli, která již žádnou logickou strukturu nemá Každou SUF, která má strukturu, lze rozložit na její podformule Logickou spojku (funktor), spojující dvě největší podformule, dané SUF, budeme nazývat „hlavní log. spojkou (funktorem) formule˝

FUNKČNÍ ÚPLNOST Všechny binární (a tím i unární) log. spojky lze vyjádřit nezávisle na sobě pomocí následujících dvojic spojek , ,   a , 

Systém log. spojek, kterými lze vyjádřit všechny binární (a unární) log. spojky budeme nazývat funkčně úplným systémem (spojek) výrokové logiky

Dvojice log. spojek -, F3, -, F4 a -, F13 tvoří funkčně úplné systémy výrokové logiky

Každá z logických spojek F5 a F15 sama o sobě tvoří funkčně úplný systém výrokové logiky. Každý z těchto systémů je minimálním funkčně úplným systémem výrokové logiky.

„Vždy pravdivé formule˝ „tautologie˝ a jejich množina je spočetně nazýváme je „tautologie˝ a jejich množina je spočetně nekonečná a budeme ji značit symbolem  T 

Zákon vyloučení třetího: jeho negace, symbolicky: buď platí výrok nebo jeho negace, symbolicky: (1) p p

„Zákon nepřípustnosti sporu˝ Říká nám, že současně nemůže platit výrok a jeho negace, symbolicky (2) ( p  p )

Zákon „dvojité negace˝ Negujeme-li již jednou negovaný výrok, je pravdivostní hodnota takto vzniklého výroku stejná jako původního výroku symbolicky = (3) ( p  p)

Komutativní zákon pro konjunkci Komutativní zákon pro disjunkci dovoluje zaměnit ve formuli, kde jedinou binární spojkou je konjunkce, pořadí podformulí ( p  q)  ( q  p) Komutativní zákon pro disjunkci ( p  q )  ( q  p )

Asociativní zákon pro konjunkci Asociativní zákon pro disjunkci Umožňuje nám ve formulích, kde jedinými binárními spojkami jsou konjunkce, nepřihlížet k uzávorkování p (q  r )    ( p  q )  r  Asociativní zákon pro disjunkci  p   q  r )    ( p  q )  r 

Distributivní zákon pro konjunkci vzhledem k disjunkci p  ( q  r )    ( p  q )  ( p  r )  pro disjunkci vzhledem ke konjunkci  p  ( q  r )   ( p  q) ( p  r ) 

De Morganovy zákony pro disjunkci a konjunkci ( p  q )  ( p  q ) ( p  q ) ( p  q ) (p q )  ( p  q ) ( p  q )  ( p  q )

„Tranzitivita˝ implikace plyne-li z výroku „p˝ výrok „q˝ a současně z výroku „q˝ plyne výrok „r˝, pak výrok „r˝ plyne rovněž (přímo) z výroku „p˝ p q) (q r) p r) (p q)  ( q  r )  (p r )

„Transpozice pro implikaci˝ obrátíme-li pořadí podformulí v implikaci a současně obě podformule negujeme, výsledná pravdivostní hodnota formule se nemění (pq)  (q p)

AXIOMATIZACE

Základní charakteristiky Axiom Pravidla odvozování Teorem Důkaz

Axiom je „vždy pravdivou˝ SUF Platí, že A    T , kde A  značí množinu všech (zvolených) axiomů

Odvozené formule nazýváme závěry nebo konkluze Pravidla odvozování Jsou to pravidla, která nám zaručují, že v případě, kdy jsou pravdivé (platné) výchozí formule (nazýváme je premisami), pak jsou pravdivé i formule, které z nich získáme pomocí těchto pravidel odvozování. Odvozené formule nazýváme závěry nebo konkluze

Pravidlo „dosazení˝ Dosadíme-li za libovolnou výrokovou proměnnou ve vždy pravdivé formuli výr. logiky jinou výr. proměnnou nebo SUF výr. logiky, a to vždy na všech místech jejího výskytu současně, získáme opět vždy pravdivou formuli výr. logiky.

Symbolicky můžeme toto pravidlo zapsat: Pravidlo „odloučení˝ „Modus ponens˝ Máme-li nějakou SUF tvaru (A  B), která je vždy pravdivá, a je-li současně pravdivá i formule „A˝, pak je nutně pravdivá i formule „B˝ Symbolicky můžeme toto pravidlo zapsat: (A  B), A  B

Pravidlo zvané „Modus tolens˝ Jiná „verze˝ (A  B), A  B Pravidlo zvané „Modus tolens˝ ( A  B ), B  A

Každý teorém musí být tautologií A TT  kde T je množina všech teorémů

Pojem struktury formule Strukturou formule rozumíme uspořádanou posloupnost symbolů skupin 2) a 3) našeho zadání symbolů jazyka, která vyhovuje podmínce, že všechny podformule jsou SUF a jsou spojeny ve vyšší formule log. spojkami podle vymezení formule bodu 2)

Formuli, která neobsahuje žádnou binární (nebo vyšší) výrokovou spojku, nazýváme elementární formulí

(ax. 1) (1) p  ( q p ) (2)  p   q  r    p  q )  ( p  r )  (3) ( p  q )  ( p  q ) (4) ( p  q )  ( q  p ) (5) ( p  q )   ( q  p )  (p  q ) 

(6)  p  q   ( q  p ) (7) ( p  q )  ( p  p ) (8) ( p  ( p  q ) (9)  p  q )  p (10) ( p   q   p  q ) ) (11)   p  r )  ( q  r)    ( p  q )  r 

(12)  ( p  (q  q )   p (13) ( p p)q (14) p  p

Dva axiomatické systémy jsou navzájem ekvivalentní, mají-li stejné soubory teorémů, které v nich lze odvodit Budeme značit soubor teorémů „Cnq (ax. t), kde „t˝ značí číslo daného axiomatického systému  Cnq (ax 1)  Cnq (ax 2)

( p / q / r) ) / (( p1 / ( p1 / p1 ) ) / (( s / q) / (p / s) / (p / s) ) ( A / ( B / C ) ),A C

„Nezávislost˝ axiomů Libovolný axiom „A˝ nějakého axiomatického systému „S˝ je nezávislý, není-li teorémem v axiomatickém systému, který získáme ze systému S vynecháním axiomu A, a po připojení jeho negace, tedy formule „ Ā˝, k takto zúženému axiomatickému systému získáme opět bezesporný axiomatický systém

Libovolný systém axiomů (teorie) je „Bezespornost˝ Libovolný systém axiomů (teorie) je bezesporný, jestliže v něm není odvoditelná nějaká formule a současně její negace Systém je absolutně bezesporný, jestliže v něm existuje nějaká správně utvořená formule, která není teorémem

Úplnost Systém je úplný v absolutním smyslu, jestliže pro libovolnou formuli B platí, že je buď teorémem nebo že po jejím připojení k danému systému jako teorému se tento systém stane sporným v absolutním smyslu

Systém je úplný, jestliže každý jeho teorém je tautalogií a každá tautalogie (vztahující se k danému systému nebo teorii) je v daném systému teorémem  (i) T  T

V predikátové logice elementární výrok „Pa˝ výroková forma „Px˝

Jazyk „L1“ a, b, c,... an, bn, cn, x, y, z, ... xn, yn, zn, P, Q, R, S, ... Pn, Qn, Rn, Sn , ,  , , V, , 6)  ,  ,  ,

Libovolnou konečnou posloupnost symbolů skupiny 1) - 6) budeme považovat za formuli Výrazy „Pa˝ a „Px˝ jsou SUF predikátové logiky (2) Je-li nějaký výraz „A˝ SUF, pak i výraz „Ā˝ je SUF (3) Jsou-li výrazy „A˝ a „B˝ SUF predikátové logiky pak i výrazy „A  B˝, „A  B˝, A  B, A  B, jsou SUF (4) Je-li nějaký výraz A SUF pak i výrazy „V A“ a „ A˝ a jsou SUF (5) Nic jiného než to co bylo uvedeno v tomto vymezení za 1) - 4) již není SUF predikátové logiky

Nyní si nazveme jednotlivé symboly Symboly skupiny 1) jsou individuální konstanty Symboly skupiny 2) jsou individuální proměnné Symboly skupiny 3) jsou konstanty (názvy) predikátů Symboly skupiny 4) jsou nám již známé logické spojky Symboly skupiny 5) nazveme postupně obecný (velký) kvantifikátor, existenční (malý) kvantifikátor Obecný kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy „pro všechny ...  ... platí, že ...˝ Existenční kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy: „existuje takové ...  ... , že…˝ Skupinu symbolů 6) pak tvoří naše známé pomocné symboly, závorky

Proměnnou stojící bezprostředně u znaku kvantifikátoru, stejně jako proměnnou, stojící bezprostředně u ní, budeme nazývat kvantifikovanou proměnnou

„pole působnosti kvantifikátoru˝ Formule, která stojí bezprostředně za poslední kvantifikovanou proměnnou, se označuje termínem „pole působnosti kvantifikátoru˝

„vázanou˝ proměnnou Kvantifikovaná proměnná, která se nachází v poli působnosti kvantifikátoru, se nazývá „vázanou˝ proměnnou

Proměnná, která není vázanou, se nazývá „volnou˝

Formule, která neobsahuje žádnou volnou proměnnou, se nazývá „uzavřenou formulí˝

Formule, která obsahuje aspoň jednu volnou proměnnou se nazývá „otevřenou formulí˝

a) V...( Vx ( A  B)  ( VxA  Vx B ) ) b) V...( VxAx  Ax ) c) V... VxyA  VyxA d) V... ( Vxy  VxA ) y/x tj. za y dosadíme na všech místech jejího výskytu x e) V... ( A  VxA ) f) V... Vx ( A  B )  ( xA  xB ) ) g) V...( Ax  xAx ) h) V...( xyA   yxA ) i) V...( xA  xyA ) j) V...( xA  A )

Místo Vx Vy … Vxn Vyn budeme psát Vx,y … xn,xn Místo x y … xn yn budeme psát x, y … xn, yn

pravidlo dodání „obecného kvantifikátoru˝  VxA

vzájemný vztah mezi kvantifikátory VxPx  xPx VxPx  Pa Pa  xPx

De Morganovy zákony pro kvantifikátory _ _ i) Vx Px  x Px iii) x Px  Vx Px ii) Vx Px  x Px iv) x Px  Vx Px

Formule bude splnitelná existuje-li aspoň jedno udělení hodnot jejím podformulím, při němž nabývá výsledného ohodnocení „1˝

Formule je vyvratitelná existuje-li alespoň jedno udílení (distribuce) hodnot jejím podformulím, při němž nabývá výsledného ohodnocení „0˝

čtyři typy základních soudů obecné kladné „A˝ obecné záporné „E˝ částečné kladné „I˝ částečné záporné „0˝

obecný záporný „VxPx˝ částečný kladný „xPx˝ částečný záporný „xPx˝ obecný kladný „VxPx˝ obecný záporný „VxPx˝ částečný kladný „xPx˝ částečný záporný „xPx˝

kontrárnost A  E kontradikce I  O podprotiva podřízenost podřízenost subalternost protikladnost subalternost I  O podprotiva subkontrárnost

Hypotéza Musí akceptovat obecně dosažený stupeň poznání v dané oblasti. Nemůže být v rozporu s vědecky prokázanou a potvrzenou strukturou daného oboru a jeho základními principy. (Pokud svým zaměřením nesměřuje k jejímu popření.)

Každé pravdivé tvrzení, které je v teorii obsaženo, musí být vyvoditelné ze základních principů nebo tvrzení. Jestliže najdeme takové tvrzení, které je evidentně pravdivé a nelze je vyvodit ze základních tvrzení (axiomů, teorémů, postulátů), pak je daná teorie neúplná.

spornou - inkonzistentní Teorie je aktuálně bezesporná, jestliže neobsahuje dvě nebo více vzájemně se vylučujících tvrzení. Obsahuje-li alespoň dvě sporná tvrzení, tj. výrok a jeho negaci, označujeme takovouto teorii za spornou - inkonzistentní

O teorii říkáme, že je potenciálně bezesporná, nelze-li z tvrzení, která obsahuje, vyvodit (pomocí přípustných prostředků) spor, tj. nějaké tvrzení současně s jeho negací

Klasickou ukázkou definice je (1) p q = dfp  q výraz = df značí „je definičně rovno˝ výraz, stojící (nalevo od) před tímto symbolem, nazýváme „definiendum˝ výraz stojící za (napravo od) tímto symbolem nazýváme „definiens˝

Požadavky na správnou definici V definiendu se může vyskytovat pouze jeden symbol první skupiny, a to v nejmenším možném počtu výskytu (b) V definiens se může vyskytovat více symbolů první skupiny, ale pouze ty, které byly zadány jako „primitivní ˝, nebo byly již dříve zavedeny správnou definicí

(a´) V definiendu správné definice se může vyskytovat pouze jediný odborný termín, a to v nejjednodušším možném kontextu (b´) V definiens se mohou vyskytovat pouze ty odborné termíny, které byly zadány jako primitivní, nebo byly již dříve zavedeny správnou definicí

Správná definice musí být v každém případě souměrná, tj Správná definice musí být v každém případě souměrná, tj. rozsah definienda musí být stejný jako rozsah definiens V případě, že rozsah definiens je větší než definienda, nazýváme takovouto definici „širokou˝ Je-li rozsah definiens menší než rozsah definienda, pak takovou definici nazýváme „úzkou˝

(iii) Definice musí vyjadřovat podstatné znaky definovaného pojmu (ii) Je nepřípustné, aby se v definies vyskytovaly nepřesné, neurčité, metaforické, dvou- či víceznačné nebo nesrozumitelné pojmy (iii) Definice musí vyjadřovat podstatné znaky definovaného pojmu (iv) Definiens nesmí obsahovat pojmy vyjadřující negativní znaky, není-li pojem obsažený v definiendu negativní

(v) V definiens nesmí být použity termíny, které byly předtím zavedeny pomocí pojmu, který je uveden v definiendu (vi) Definiens správné definice má objasňovat význam a smysl pojmů a nikoliv jen lexikální význam slova, který tento pojem vyjadřuje

Definiendum a definiens tvoří úplnou alternativu Definiens vylučuje všechny prvky této alternativy s výjimkou těch, které jsou obsaženy v defiendu (c) Pojem nebo pojmy, které jsou uvedeny v definiens, nesmí být samy před tím zavedeny negativní definicí

„klasická definice˝ druh = rod + druhový rozdíl čtverec je čtyřúhelník pravoúhlý a rovnostranný druh = rod + druhový rozdíl

definice kontextuální definice „ostenzí“ rekurentní definice definice genetické definice korektivní definice kontextuální definici abstrakcí

Definice syntetické V analytické definici Zavádíme jimi nový pojem nebo nový symbol pro již známý (nebo dříve definovaný) pojem nebo termín V analytické definici zpravidla u pojmu, který je v definiendu zavádíme v definiens další podstatné charakteristiky rozšiřující jeho dosavadní význam

Konjunktivní a disjunktivní normální formy

Konjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat elementární konjunkcí. Disjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat elementární disjunkcí.

Disjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude disjunkcí elementárních konjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu jako daná formule. Konjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude konjunkcí elementárních disjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu jako daná formule.

Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky existuje formule, která je s ní ekvivalentní a je disjunktivní normální formou (konjunktivní normální formou).

Úplnou disjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je disjunkcí elementárních konjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární konjunkci se nevyskytují současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární konjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve formuli vyskytují.

Úplnou konjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je konjunkcí elementárních disjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární disjunkci se nevyskytuje současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární disjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve formuli vyskytují.

Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy nepravdivou, existuje právě jedna úplná disjunktivní normální forma.

Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy pravdivou, existuje právě jedna úplná konjunktivní normální forma.

(1) (pq)  (qp) komutativní (2) ((pq) r)  (p(qr)) asociativní (3) (pq)  (qp) (4) ((pq) r)  (p(qr))

(5) (p(qr))  (pq)(pr)

(7) (pq)  (pq) (8) (pq)  (pq) (9) (pq)  (pq) (10) (pq)  (pq)

(11) (pp)  p (12) (pp)  p (13) (p)  p (14) (p λ )  p

(15) T =  (16) F = λ (17) (pp)  λ (18) (pp)  

(λ  p)  p (20) (λ  p)  λ (  p)   (22) (  p)  p

Výskyt kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ v libovolné formuli se nazývá „počátečním“, jestliže stojí na počátku této formule, (t.j. nevyskytují se před ním žádné jiné symboly této formule, včetně závorek), nebo jestli mu předcházejí ze symbolů uvažované formule pouze znaky kvantifikátorů „Vα“ a „„α“, samozřejmě každý se svojí kvantifikovanou proměnnou.

Výskyt kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ v libovolné formuli se nazývá „neúčinným“, jestliže se v jejich „poli působnosti“ nevyskytuje žádný volný výskyt kvantifikované proměnné, která stojí u daného kvantifikátoru. (T.j. žádný volný výskyt proměnné „α“.) V opačném případě se takový to výskyt kvantifikátoru „Vα“ nebo „α“ (t.j. když se v jeho poli působnosti vyskytuje „α“ jako volná proměnná) nazývá „neprázdným“.

Def. 1. Jestliže ve formuli „A“ jsou všechny výskyty kvantifikátoru „neprázdné“ a „počáteční“, pak říkáme, že tato formule se nachází v „prenexní normální formě“. „α1,  α2, ...  αn M“

Tvrzení 1. Ke každé formuli „A“ naší formulace predikátové logiky existuje konečná posloupnost operací, jejichž pomocí můžeme danou formuli přepracovat na formuli „A´ “, v níž budou všechny kvantifikátory počátečními. Přitom formule „A´“ je jednoznačně určená, je-li dána formule„A“. Tvrzení 2. Ke každé formuli „A“ systému predikátové logiky lze najít odpovídající formuli „B“,která je v prenexní normální formě.   Tvrzení 3. Je-li formule „B“ prenexní normální formou formule „A“, pak platí „/_ AB“. Def. 2 Říkáme, že formule je ve Skolemově normální formě,jestliže je v prenexní formě, neobsahuje žádné volné individuální proměnné a její prefix má tvar: α1, α2, ..., αm, Vβ1, Vβ2,.... Vβn, kde „m ≥1“ a „n = 0“ Tvrzení 5. Jestliže „C“ je Skolemova normální forma formule „A“, pak platí „/_ A“, tehdy a jedině tehdy, jestli platí „/_C“.

Def. 5. Budeme říkat, že formule „A“ je obecně „platná“, je-li „platná“ v libovolné neprázdné oblasti.   Def. 6. Budeme říkat, že formule „A“ je „obecně splnitelná“, je-li „splnitelná“ na nějaké neprázdné oblasti.

a). Formule „A“ je platná na nějaké neprázdné a) Formule „A“ je platná na nějaké neprázdné oblasti, tehdy a jedině tehdy, není-li na této oblasti splnitelná formule „Ā“. a´) Formule „A“ je obecně platná pouze tehdy, není-li formule „Ā“ obecně splnitelná. b) Formule „A“ je splnitelná na nějaké oblasti pouze tehdy, není-li na této oblasti formule „Ā“ platná. b´) Formule „A“ je obecně splnitelná pouze tehdy, není-li formule „Ā“ obecně platná.