Otáčení roviny, skutečná velikost útvaru (MP) Obsah: 2) Kótované promítání - úvod 1) Stereometrie -úvod Základy promítání Druhy čar Řešení střech Topografie Volné rovnoběžné promítání 3) Mongeovo promítání - úvod Osová afinita v rovině Základní konstrukce © ivku@email.cz All rights reserved. No parts of this project may be reproduced or transmitted in any form by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or any information storage and retrieval system, without permission in writting from the Publisher. Řez hranolu 4) Kosoúhlé promítání - úvod Základní konstrukce Řez válce 5) Axonometrie - úvod Skutečná velikost řezu v Mongeově promítání © ivku@email.cz - Deskriptivní geometrie – Gymnázium Jiřího Gutha-Jarkovského Základní konstrukce Otáčení roviny, skutečná velikost útvaru (MP) 6) Perspektivní promítání - úvod Elipsa jako afinní obraz kružnice Vztah mezi afinitou a kolineací Užitečné konstrukce Obecné řešení jednoduchých úloh Kolineace Řez jehlanu KONEC

Druhy čar, které budeme používat cc Plné čáry Slabé (pomocné čáry a konstrukce ) Silné ( vytažení hotového úkolu ) Tlusté ( užívat jen výjimečně ) Čárkované čáry Pomocné čáry ( např. k vynesení souřadnic ) Neviditelné hrany silně vytaženého tělesa Čerchované čáry Málo důležité nebo pomocné osy Důležité osy, které jsou součástí výsledného útvaru © Ivana Kuntová

Volný rovnoběžný průmět krychle ( zvláštní případ kosoúhlého promítání ) Hrany jdoucí dozadu rýsujeme pod úhlem 450 a zkrácené na polovinu. cc Mimoběžky Levý nadhled Pravý nadhled Různoběžky! Vrchol © Ivana Kuntová Levý podhled Pravý podhled

Podhled a nadhled ve volném rovnoběžném promítání Směr posunutí Posunutí cc A A A A L T F E V N H M X K © Ivana Kuntová

Délka vodorovných úseček se nemění ! Volný rovnoběžný průmět trojúhelníku Dělící poměr cc Jako bychom trojúhelník, který je ve svislé průčelné rovině (nárysně), promítali do vodorovné roviny (půdorysny). Můžeme si to představit i jako předmět a jeho vržený stín. Dělící poměr se při rovnoběžném promítání zachovává. a:b:c = a´:b´:c´ C a b C´ c a´ b´ c´ A =A´ B =B´ © Ivana Kuntová Délka vodorovných úseček se nemění !

Volné rovnoběžné promítání – pravidelný čtyřstěn Nejprve sestrojíme průmět podstavného rovnostranného trojúhelníku. Potom určíme průmět těžiště T. Pomocí pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnou 2/3 těžnice a přeponou rovnou délce hrany a čtyřstěnu určíme tělesovou výšku vt. cc a vt T vt T´ a © Ivana Kuntová

Volné rovnoběžné promítání – pravidelný pětiúhelník cc Přesná konstrukce ke zjištění strany pravidelného pětiúhelníka vepsaného do dané kružnice. a5 a5 rk a6 kk a10 Sk © Ivana Kuntová

Afinita - zobrazení určené osou a dvojicí odpovídajících si bodů ( vzor – obraz ). cc saf A´´a oaf A´a Aa A saf A saf Aa Aa oaf A oaf Aa A oaf a saf Spojnice vzoru s obrazem určuje směr afinity saf ( saf je kolmý, šikmý nebo rovnoběžný s osou ). Body na ose afinity jsou samodružné. Zvláštní případ osové afinity je osová souměrnost. © Ivana Kuntová

Afinita Afinitu můžeme dělit na kolmou a šikmou podle vzájemné polohy osy afinity a směru afinity. cc A saf B C I. III. oa II. Ba Ca Samodružné body Aa Kolmá osová afinita © Ivana Kuntová

Afinita Pokud odpovídající si body leží na kolmici k ose afinity v opačné polorovině a ve stejné vzdálenosti od osy, jedná se o zvláštní případ osové afinity – osovou souměrnost. cc Aa saf Ba C oa II. I. III. Ca B A © Ivana Kuntová

Afinita oa A Dáno: oaf , A Aa B C II. I. III. saf Ca Ba Aa Šikmá osová afinita cc Dáno: oaf , A Aa B C oa II. I. III. saf Ca Ba Aa Obraz sestrojíme pomocí samodružných bodů : průsečík I. přímky AB s osou oa spojíme s bodem Aa, bodem B vedeme rovnoběžku se směrem afinity a kde tato rovnoběžka protne přímku AaI. je bod Ba . © Ivana Kuntová

Afinita oa saf Aa A Ca Ba C III. B II. I. Šikmá osová afinita cc Aa A Ca Ba C III. B oa II. I. Obrazem přímky rovnoběžné s osou afinity je opět rovnoběžka, obě přímky se protínají na ose afinity v nevlastním bodě ( III. ) © Ivana Kuntová Pozn.: Směr afinity může být i rovnoběžný s osou afinity.

Užití afinity mezi podstavou a řezem. Afinita Užití afinity mezi podstavou a řezem. II. Rovina řezu je dána třemi nekolineárními body A, B, C. cc B saf C A oaf I. III. Průsečnice roviny řezu s protějšími rovnoběžnými stěnami hranolu jsou rovnoběžné. © Ivana Kuntová

Afinita 2 1 4 A 3 o´af IV. III. saf II. oaf I. A1 Rovina řezu dána bodem A a průsečnicí oaf roviny řezu s rovinou podstavy hranolu. 2 Afinita 1 cc 4 A 3 o´af A1 IV. III. saf II. oaf I. Osa afinity oaf je průsečnice s dolní (nebo s horní – o´af ) podstavou. Směr afinity je dán směrem bočních hran hranolu nebo povrchových přímek válce, bod A odpovídá bodu A1. ( A je afinní obraz bodu A1 .) © Ivana Kuntová

Afinita p=oaf p´ IV. II. III. p I. A Rovina řezu dána bodem A a průsečnicí s rovinou podstavy p=oaf . Afinita p=oaf cc p´ IV. A II. III. p I. A1 Průsečnice roviny řezu s dolní a horní podstavou hranolu jsou rovnoběžky s osou afinity. © Ivana Kuntová

Afinita V půdorysu vybereme dva na sebe kolmé průměry a určíme jejich afinní obraz. Získáme tak sdružené průměry elipsy KL a MN. (Dále Rytzova konstrukce.) cc Pokud Rytzovu konstrukci neumíme, můžeme sestrojit elipsu bodově. Budeme postupně volit na podstavné kružnici body a hledat jejich afinní obrazy. a L M N K M1 K1 L1 N1 Řez válce rovinou a © Ivana Kuntová

Afinita Užití afinity v Mongeově promítání n2 2 2 2 2 p1 B´´2=C´´2 Skutečná velikost řezu tělesa pomocí afinity s osou p1 . (Otočením roviny řezu do půdorysny s osou otáčení p1.) cc A´2 = D´2 B´2 =C´2 n2 B´´2=C´´2 A´´2= D´´2 A´´ 2 B´´ 2 =C´´ 2 =D´´ 2 X1,2 A2=D2 B2=C2 D´´0 C´´0 D1=D´1=D´´1 C1=C´1=C´´1 B´´0 A´´0 A1=A´1=A´´1 B1=B´1=B´´1 © Ivana Kuntová p1

Afinita Skutečná velikost řezu tělesa pomocí afinity s osou p1 . (Otočením roviny řezu do půdorysny s osou otáčení p1.) cc A´2 B´2 n2 B´´2 C´´2 =D´´2 A´´2 A´´ 2 B´´ 2 A2 B2 X1,2 D´´0 D1=D´1=D´´1 B´´0 A´´0 B1=B´1=B´´1 A1=A´1=A´´1 © Ivana Kuntová C´´0 C1=C´1=C´´1 p1

Afinita I. Otočení roviny a do půdorysny Poloměr otáčení - r r n2a cc Bod A sklopíme do půdorysny p tak, že sklopíme spádovou přímku sa a dostaneme poloměr otáčení. Bod A při otáčení se pohybuje po kružnici k. Vybereme otočení do bodu Ao. Mezi půdorysem útvaru a jeho otočením do p platí afinní vztah. A2 C2 X12 A´o s1a A1 P1=(P)=Po Poloměr otáčení - r r Ao (A) C1 (sa) soa Co I. (k) p1a=oaf = osa otáčení © Ivana Kuntová

Afinita III. I. II. Skutečná velikost řezu r r n2a cc Vztah mezi půdorysem řezu a otočeným řezem je vlastně afinita v rovině půdorysny. f2 A2 III. C2 A2´ X12 A1=A1´=A1´´ f1 r Ao r (A) C1 I. Co II. © Ivana Kuntová p1a=oaf

Afinita I. Otočení roviny a do půdorysny Kolmice k rovině v bodě A, bod A náleží rovině Afinita n2a cc Bod A sklopíme do půdorysny p tak, že sklopíme spádovou přímku sa a dostaneme poloměr otáčení. Bod A při otáčení se pohybuje po kružnici k. Vybereme otočení do bodu Ao. Mezi půdorysem útvaru a jeho otočením do p platí afinní vztah. A2 C2 X12 A´o A1 P1=(P)=Po Poloměr otáčení - r r Ao (A) C1 (sa) s1a = soa= k1 Co I. (k) p1a=oaf = osa otáčení © Ivana Kuntová

Afinita Elipsa jako afinní obraz kružnice A B S oa I. Sa Ba Aa cc © Ivana Kuntová

Afinita Elipsa jako afinní obraz kružnice I. I. A B Aa Ba oaf S= Sa A cc A B Aa Ba oaf S= Sa I. A B oaf S= Sa I. Aa Ba © Ivana Kuntová

Afinita Máme-li sestrojit v bodě T tečnu k elipse, můžeme sestrojit tečnu ke kružnici a tečnu k elipse sestrojit pomocí afinity. Osu afinity s výhodou volíme totožnou s hlavní osou elipsy. cc t´ T´ t T oaf S´= Se I. e k´ © Ivana Kuntová Tečna k elipse užitím afinity

Afinita Afinita je zvláštní případ kolineace, kdy střed kolineace je nevlastní bod S . cc Kolineace S o B´ A´ B Animovaný přechod kolineace v afinitu A © Ivana Kuntová

Afinita Afinita je zvláštní případ kolineace, kdy střed kolineace je nevlastní bod S . cc Afinita S o B´ A´ B A © Ivana Kuntová

Samodružné body na ose kolineace Kolineace je obecný případ afinity, kdy směry afinity nejsou rovnoběžné, ale sbíhají se do jednoho bodu. Tento bod nazýváme střed kolineace. cc S ok I. B´ A´ B C´ A II. C III. © Ivana Kuntová Samodružné body na ose kolineace

Kolineace - stejnolehlost cc I  Zvláštním případem kolineace je i stejnolehlost. Tentokrát je nevlastní osa. Střed je vlastní. Odpovídající si přímky jsou rovnoběžné, protínají se v nevlastním bodě na nevlastní ose o  . o  S A´ A Tři kolineární body, tj. v jedné přímce © Ivana Kuntová

Nepřístupný ! Nelze použít ! Kolineace - stejnolehlost Výborná pomoc v případě, kdy je průsečík přímek nepřístupný ( mimo papír ) ! cc Daným bodem A veďte přímku a procházející průsečíkem S daných přímek p, q. Nepřístupný ! Nelze použít ! S A´ ? q q A A a p p © Ivana Kuntová a

Pokud je úhlopříčka AC // okol, pak i A´C´ bude rovnoběžná s okol. Kolineace mezi podstavou ABCD a řezem A´B´C´D´ jehlanu ABCDV Př.: Rovina řezu je dána průsečnicí roviny řezu s podstavou ( okol) a bodem A´. cc Středem kolineace je vrchol jehlanu, směrem kolineace jsou spojnice bodů z podstavy s vrcholem jehlanu (boční hrany ). Směr je tedy svazek přímek procházející bodem V. V = Skol (zkouška přesnosti) B´ A´ C´ D´ B A I. C D III. V. (zkouška přesnosti) II. © Ivana Kuntová okol IV. Pokud je úhlopříčka AC // okol, pak i A´C´ bude rovnoběžná s okol.

Kolineace mezi podstavou ABC a řezem A´B´C´ jehlanu ABCV =Skol cc Př.: Rovina řezu je dána průsečnicí ( okol) roviny řezu s rovinou podstavy a bodem A´. A´ Mezi trojúhelníky ABC a A´B´C´ je vztah osové kolineace s osou okol a středem Skol=V. A C´ okol I. B II. C © Ivana Kuntová B´ III.