Zpracování neurčitosti Fuzzy přístupy RNDr. Jiří Dvořák, CSc.

Fuzzy množiny Fuzzy množina A v univerzu U : U   … klasická množina … funkce příslušnosti (charakteristická funkce) … stupeň příslušnosti prvku x k fuzzy množině A Prázdná fuzzy množina 

Fuzzy čísla Fuzzy číslo A je fuzzy množina na universu reálných čísel, která je určena čtveřicí bodů ( a (1), a (2), a (3), a (4) ) a po částech souvislou funkcí příslušnosti s následujícími vlastnostmi:  a (1)  a (2)  a (3)  a (4)  je rovna nule pro x  a (1) a x  a (4)  je rovna jedné pro a (2)  x  a (3)  je rostoucí na  a (1), a (2)  a klesající na  a (3), a (4) 

Speciální případy fuzzy čísel Lichoběžníkové fuzzy číslo: A = ( a (1), a (2), a (3), a (4) ) Trojúhelníkové fuzzy číslo: A = ( a (1), a (2), a (3) ) A(x)A(x) 1 0 a (3) a (4) a (2) a (1) x A(x)A(x) 1 0 a (3) a (2) a (1) x

Základní operace s fuzzy množinami Nechť,. Doplněk fuzzy množiny A: Sjednocení fuzzy množin A a B: Průnik fuzzy množin A a B:

Kartézský součin a fuzzy relace Nechť,. Kartézský součin fuzzy množin A a B: Fuzzy relace: jsou klasické množiny Kartézský součin fuzzy množin je zvláštním případem fuzzy relace.

Cylindrické rozšíření a silná kompozice Nechť m < n,,. Cylindrické rozšíření fuzzy relace R na : Cyl(R) = R * Nechť, Silná kompozice relací R a S

Lingvistická proměnná Lingvistická (slovní, jazyková) proměnná je taková proměnná, jejíž hodnotami jsou slova. Významy těchto slov jsou reprezentovány jako fuzzy množiny v nějakém univerzu. Strukturovaná lingvistická proměnná: X … jméno proměnné, T… množina termů (tj. slovních hodnot proměnné), U … univerzum (neprázdná klasická množina), G … množina syntaktických pravidel pro generování hodnot z T M … množina sémantických pravidel interpretujících hodnoty z T jako fuzzy množiny s univerzem U. Nestrukturovaná lingvistická proměnná: T … konečná množina fuzzy množin s univerzem U.

Vícehodnotová logika Množina logických (pravdivostních) hodnot C =   0 představuje pravdu a 1 nepravdu. Logická proměnná je proměnná nabývající hodnot z množiny C. Nechť W je konečná množina logických proměnných. Množina logických spojek L = { , , ,  } (disjunkce, konjunkce, odvážná konjunkce, implikace). Formule je konečný řetězec, definovaný těmito pravidly: Je-li   C, pak  je formule. Je-li   W, pak  je formule. Jestliže  a  jsou formule a   L, pak (    ) je formule. Interpretace formule je dosazení logických konstant za logické proměnné.

Pravdivostní ohodnocení Nechť Q je množina všech formulí a  (Q) množina všech jejich interpretací. Pravdivostním ohodnocením nazveme zobrazení V:  (Q)  C, splňující následující požadavky: V(  ) =  Operace negace je definována takto:  =   0 Pro pravdivostní ohodnocení negace pak dostaneme:

Příklady implikací Lukasiewiczova: Kleene-Dienesova: Zadehova: Gödelova:

Kompoziční pravidlo usuzování Uvažujme pravidlo IF X = A THEN Y = B Nechť,. Pak toto pravidlo můžeme chápat jako fuzzy relaci Ve fuzzy systémech se charakteristická funkce této relace často definuje vztahem a relace se nepřesně označuje názvem Mamdaniho implikace.

Kompoziční pravidlo usuzování Pravidlo fuzzy modus ponens: Nechť. Pak fuzzy množina může být určena takto: Je-li univerzum U konečná množina, můžeme operátor sup nahradit operátorem max.

Báze fuzzy pravidel Předpokládejme, že znalostní báze je tvořena m pravidly tvaru IF X 1 = A i1 AND X 2 = A i2 AND … AND X n = A in THEN Y = B kde,. Těmto pravidlům odpovídají fuzzy relace Podmínku na levé straně i-tého pravidla můžeme vyjádřit ve tvaru X = A i, kde, Báze fuzzy pravidel může být reprezentována relací

Zodpovězení dotazu Nechť nyní je položen dotaz X 1 = A 01 AND X 2 = A 02 AND … AND X n = A 0n Odpovědí systému je fuzzy množina Při použití Mamdaniho interpretace relací R i můžeme tento vztah převést do tvaru umožňujícího efektivnější výpočet:

Příklad tvorby odpovědi

Systém LMPS LMPS (Linguistic Model Processing System) je systém pro slovní modelování funkcí a relací. Slovní model je formule, ve které jsou nahrazeny logické proměnné charakteristickými funkcemi fuzzy množin, které sémanticky interpretují slovní hodnoty lingvistických proměnných. Systém LMPS rozlišuje dva typy slovních proměnných: slovní proměnná s reálným univerzem slovní proměnná s univerzem slovních hodnot V systému LMPS se používají tři typy slovních modelů: CCD-model (vhodný pro relace, které nejsou funkcemi) CIC-model CI&-model

CCD-model CCD-model je tvořen CC-prohlášeními, která jsou propojena spojkou disjunkce. CC-prohlášení má tvar X 1 je A 1 a X 2 je A 2 a … a X n je A n a Y = B kde X j a Y jsou lingvistické proměnné a A j a B jsou jejich slovní hodnoty. CC-prohlášení je vlastně sémantickou interpretací IF-THEN pravidla při použití Mamdaniho „implikace“. CCD-model interpretuje pravdu tak, že pravdivé je to, co tvrdí alespoň jedno prohlášení. Model není citlivý na spory mezi prohlášeními a nebere v úvahu redundantní informace.

Modely CIC a CI& CIC-model a CI&-model jsou tvořeny CI-prohlášeními tvaru X 1 je A 1 a X 2 je A 2 a … a X n je A n pak Y = B CI-prohlášení je sémantickou interpretací IF-THEN pravidla při použití Lukasiewiczovy implikace. V CIC-modelu jsou prohlášení propojena pomocí konjunkce, kdežto v CI&-modelu je k tomuto účelu použita odvážná konjunkce. V těchto modelech se za pravdivé považuje to, co není v rozporu s žádným prohlášením. Oba modely jsou citlivé na spory (absolutní spor v prohlášeních vede k úplné ztrátě informace) a berou v úvahu redundantní informace. Vlastnosti CIC-modelu redundantní informace obecně zhoršují, kdežto u CI&-modelu je tomu naopak (pokud tyto informace nejsou vzájemně sporné).

Zpracování dotazu v systému LMPS Systému LMPS jsou zadávány dotazy tvaru Jaká je hodnota Y, jestliže X 1 je H 1 a X 2 je H 2 a … a X n je H n ? Každé CC-prohlášení je nahrazeno formulí a každé CI-prohlášení je nahrazeno formulí pro každé y  V, kde pro reálné univerzum a pro univerzum slovních hodnot Tyto formule spojeny logickými spojkami , resp. , resp. &. Pravdivostní ohodnocení výsledné formule určuje stupeň příslušnosti hodnoty y k fuzzy množině, která je odpovědí na zadaný dotaz.

Defuzzifikace Defuzzifikace je proces, v němž nějaké fuzzy množině přiřazujeme ostrou hodnotu, která ji v jistém smyslu nejlépe reprezentuje. Nejčastěji používané metody defuzzifikace: Metoda těžiště (COA, center of area): Metoda maxima: Pokud je takových bodů více, může se použít některá z následujících metod. Metoda prvého maxima (FOM, first of maxima). Metoda průměrného maxima (MOM, mean of maxima).

Defuzzifikace v systému LMPS Defuzzifikace odpovědi v systému LMPS probíhá následovně. Pokud charakteristická funkce odpovědi nabývá svého maxima v jediném prvku univerza V, pak tento prvek představuje nejpravdivější možnou odpověď na zadaný dotaz. Je-li takových prvků více, pak v případě reálného univerza je vybrán ten prvek, který leží nejblíže těžišti plochy, shora ohraničené charakteristickou funkcí odpovědi.