Pojem účinného průřezu Základní pojmy – zavedení účinného průřezu 2) Diferenciální, integrální účinný průřez, totální účinný průřez 3) Geometrická interpretace účinného průřezu 4) Makroskopický účinný průřez, střední volná dráha. 5) Typické hodnoty účinných průřezů pro různé procesy

Zavedení účinného průřezu. Odvození Rutherfordova vzorce pro rozptyl: Minule jsme odvodili závislost mezi úhlem Ruthefordova rozptylu a parametrem srážky (rozptylujeme částice ): ………………… (1) Čím menší parametr srážky b, tím větší úhel rozptylu . Parametr srážky nelze přímo měřit a je třeba definovat veličinu, která bude přímo měřitelná. Pro kvantitativní popis rozptylu zavádíme účinný průřez rozptylu  =R/nsNj [m2]: R –počet reakcí, nS –počet nalétávajících jader na jednotkovou plochu, Nj –počet jader terče ( rozměr  je tedy m2, barn = 10-28 m2) Pravděpodobnost reakce: Odvození Rutherfordova vzorce pro rozptyl: Vztah mezi parametrem srážky b a úhlem rozptylu   částice s parametrem srážky menším a rovným b (míří do plochy b2) se rozptýlí o úhel větší než hodnota b daná vztahem (1) pro příslušnou hodnotu b. Platí tak: (b) = b2 ……………….……....………. (2) Uvažujme tenkou folii (účinné průřezy sousedních jader se nepřekrývají a neprobíhá vícenásobný rozptyl) tloušťky L s nj atomy v jednotce objemu. Svazek s počtem NS částic  dopadá na plochu SS. (Počet částic svazku na jednotku času a plochy – luminosita – u současných urychlovačů až 1038 m-2s-1).

Dosadíme za b ze vztahu (1): ………………… (3) Počet terčových jader, na které dopadají částice , je: Nj = njLSS. Suma účinných průřezů  rozptylu o úhel b a více je: (b) = njLSS. Připomínka vztahu (2) (b) = b2 Zlomek f(b) dopadajících částic  rozptýlených o úhel větší než b je: Připomínka vztahu (1) Dosadíme za b ze vztahu (1): ………………… (3) Schéma Ruthefordova experimentu Úhlové rozdělení rozptýlených částic

dopadajících částic  do tohoto rozmezí úhlů je: Připomínka obrázků Připomínka vztahu (3) Při skutečném experimentu měří detektor částice  rozptýlené v úhlu od  do +d. Zlomek dopadajících částic  do tohoto rozmezí úhlů je: Pro plochu detektoru ve vzdálenosti r od terče platí: Počet N() částic  dopadajících do detektoru na jednotku plochy je: … (4) Tomuto vztahu se říká Ruthefordův vzorec pro rozptyl.

Diferenciální a totální účinný průřez: Je výhodné znát počet rozptýlených částic do určitého úhlu nezávisle na vzdálenosti detektoru od terče. Určujeme počet částic letících do jednotkového prostorového úhlu Ω namísto jednotkové plochy S. Zavádíme diferenciální účinný průřez, který udává pravděpodobnost, že jedna dopadající částice NS= 1 vyvolá na jednom terčíkovém jádře njL = 1 rozptyl do úhlu  do jednotkového objemového úhlu: Připomínka vztahu (4) Protože dostaneme pak Ruthefordův vzorec pro rozptyl ve tvaru: Definujme totální (celkový) účinný průřez: Pro osově symetrické případy se budou částice rozptylovat pro jistý úhel  stejně nezávisle na azimutálním úhlu  . Můžeme tedy uvažovat všechny částice rozptýlené do oblasti úhlů mezi  a +d. Příslušný účinný průřez je: Neboť platí:

Různé druhy diferenciálních účinných průřezů: úhlové spektrální spektrálně úhlový dvojný či trojný diferenciální účinný průřez Integrální účinné průřezy: přes energii, přes úhly Transformace účinného průřezu z těžišťové do laboratorní soustavy: Ruthefordův vzorec pro rozptyl jsme odvodili za předpokladu, že hmotnost terče m2  . V těžišťové soustavě platí i v případě, když tato podmínka neplatí. Za EKIN musíme dosadit kinetickou energii relativního pohybu částic EKIN = (1/2)v12. Získané diferenciální účinné průřezy pak musíme transformovat do laboratorní soustavy: Porovnáme počty částic do navzájem si odpovídajících elementů prostorového úhlu v obou soustavách: Pro pružný rozptyl dostaneme (využijeme již odvozený vztah: kde  = m1/m2 ) Provedeme derivaci podle a dostaneme: Pro transformaci diferenciálních účinných průřezů pak máme: Neboť platí:

Geometrická interpretace účinného průřezu: Určeme diferenciální účinný průřez pro pružný rozptyl na tuhé kouli rozměru R. Platí: neboť V našem případě platí pro úhly: 2 +  =    = /2 - /2  sin  = cos (/2) Parametr srážky: b=Rsin = Rcos(/2) (db/d) = (R/2)sin(/2) Pak dostáváme ( sin = 2sin(/2)cos(/2) ): Totální účinný průřez je: Odpovídá názorné představě, že totální účinný průřez je efektivní plochou (průřezem) koule, na které probíhá rozptyl. Účinný průřez – ploška nastavena dopadajícím částicím → pravděpodobnost reakce roste s σ. Hodnota totálního účinného průřezu reakcí s jádrem bude přibližně rovna průřezu jádra – tedy  ~ 10-28 m2 = 1 barn (předpoklad blízkosti účinného průřezu geometrickému). Ve skutečnosti σ závisí na interakci a energii svazku → nemusí se rovnat geometrického průřezu.

Makroskopické veličiny: Průchod částic materiálem: interagující částice zmizí ze svazku (N0 – počet dopadajících částic): ln N – ln N0 = – njσx Počet nedotčených částic N klesá exponenciálně s tloušťkou x: Počet interagujících částic: Pro x→0 : N0 – N  N0 – N0(1-njx)  N0njx a tedy: absorpční koeficient  = nj - makroskopický účinný průřez Střední volná dráha l = je střední vzdálenost kterou urazí částice v materiálu před interakcí. Kvantová fyzika  všechny měřené makroskopické veličiny , l jsou středními hodnotami (l je statistická veličina i v klasické fyzice).

Velikost účinných průřez: Velice silná závislost účinných průřezů na energii nalétávající částice a povaze interakce. Hodnoty se pohybují ve velmi širokém rozmezí:  10-47 m2 ÷  10-24 m2 →  10-19 barn ÷  104 barn Silná interakce (vzájemná interakce nukleonů a dalších hadronů):  10-30 m2 ÷  10-24 m2 →  0.01 barn ÷  104 barn Elektromagnetická interakce (reakce nabitých leptonů nebo fotonů):  10-35 m2 ÷  10-30 m2 →  0.1 μbarn ÷  10 mbarn Slabá interakce (reakce neutrin):  10-47 m2 = 10-19 barn Účinné průřezy různých reakcí neutronů s jádrem zlata