str. 1 TMF045 letní semestr 2006 III Časová propagace vlnové funkce na mřížce II. (propagační metody) (Lekce III)

str. 2 TMF045 letní semestr 2006 III Evoluční operátor úkol: získat řešení časové Schrödingerovy rovnice s danou počáteční podmínkou: – počáteční podmínka (známe): – neznámá je vlnová fce v čase t : – pohybová rovnice: obecné řešení = evoluční operátor : pro časově nezávislý Hamiltonián platí:

str. 3 TMF045 letní semestr 2006 III Evoluční operátor odvození evolučního operátoru z časové Schrödingerovy rovnice: – 1. Taylorův rozvoj pro časově závislou funkci: – 2. vyšší časové derivace dosadíme ze Schrödingerovy rovnice: – 3. dosazení do Taylorova rozvoje:

str. 4 TMF045 letní semestr 2006 III Evoluční operátor – 4. srovnání s Taylorovým rozvojem exponenciely: – 5. srovnání s definicí evolučního operátoru: numerická aplikace evolučního operátoru pro funkce na mřížce – není možná přímo – evoluční operátor je základem propagačních metod

str. 5 TMF045 letní semestr 2006 III Příklad: Zdůvodněte, proč níže odvozený tvar evolučního operátoru platí pouze pro časově nezávislý Hamiltonián.

str. 6 TMF045 letní semestr 2006 III Výčet propagačních metod metoda diferencí 2. řádu „SOD“ (second order differences) –velmi jednoduchý k programování –vytváří kumulativní chyby –chyby se projevují v normě, která má poté tendenci vytvářet obrovská čísla –záludnost: chyby vlnové funkce vznikají dříve, než se projeví v normě rozdělený propagátor (split propagator) –také přesnost do 2. řádu –chyby nemají takovou tendenci se kumulovat jako u SOD –ve srovnání se SOD dosahuje větší přesnosti pro stejné časové kroky –z definice zachovává normu

str. 7 TMF045 letní semestr 2006 III Výčet propagačních metod Taylorův rozvoj evolučního operátoru do vyšších řádů –jednoduchý –použití v kontextu metody (tt’) pro časově závislé Hamiltoniány –může být použit i pro běžnou propagaci s bezčasovým Hamiltoniánem rozdělený propagátor do 4. řádu –poměrně jednoduchý –vylepšení přesnosti oproti obyčejnému rozdělenému propagátoru Čebyševův propagátor –dlouhé časové kroky –nehodí se pro časově závislé Hamiltoniány ani jako aproximace Lanczosův propagátor

str. 8 TMF045 letní semestr 2006 III Taylorův rozvoj evol. op. konstrukce propagačního kroku pomocí rozvoje evolučního operátoru do Taylorovy řady: problém asymetrie pro konečný rozvoj: –exaktně platí symetrie pro zpětnou propagaci: –(1) napíšeme zpětnou propagaci pro konečný rozvoj

str. 9 TMF045 letní semestr 2006 III Taylorův rozvoj evol. op. –(2) dosadíme za vlnovou funkci podle dopředné propagace: –(3) úprava sumy: –součet podle mocnin delta t …. –podmínky pro n’:

str. 10 TMF045 letní semestr 2006 III Taylorův rozvoj evol. op. (4) binomický trojúhelník… –součet binomických čísel pro jednotlivé řádky –pro m=0 získáme 1 –pro m>0 díky omezení M získáme nenulový součet m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 n'=0n'=1n'=2n'=3n'=4n'=5 M=2 M=3 M=1

str. 11 TMF045 letní semestr 2006 III Taylorův rozvoj evol. op. M=1 – přispívá m=0 a m=2: M=2 – přispívá m=0 a m=4: M=3: Závěr: Aplikace Taylorova rozvoje pro výpočet evolučního operátoru nesplňuje přesně časovou symetrii, chyba je řádu M+1:

str. 12 TMF045 letní semestr 2006 III Metoda diferencí II. řádu (SOD) zajištění časové symetrie propagace: – jiné vyjádření evolučního operátoru: – pokud aproximujeme pravou stranu Taylorovým rozvojem sin, pak P(Δt)= –P(–Δt), a získáme symetrickou vlastnost propagace:

str. 13 TMF045 letní semestr 2006 III Metoda diferencí II. řádu (SOD) často používanou metodou je rozvoj do II. řádu (M=2) chyba propagátoru je 3. řádu: – součin časového kroku a energie musí být u propagace založené na Taylorově rozvoji < < 1, např průběh propagace:

str. 14 TMF045 letní semestr 2006 III Metoda diferencí II. řádu (SOD) inicializace propagace: – máme Ψ t – potřebujeme Ψ t–Δt – použití nesymetrického propagátoru pro 1. poloviční krok – další poloviční krok pomocí SOD: – získáme počáteční chybu 3. řádu, což je v rámci SOD v pořádku:

str. 15 TMF045 letní semestr 2006 III Metoda diferencí II. řádu (SOD) Příklad: Navrhněte program pro propagaci vlnové funkce zadané v minulé lekci (Gaussián v Morseho potenciálu) metodou SOD. 1.Odhadněte maximální energii kvantové částice pro dané zadání a podle ní navrhněte vhodný časový krok. (Pro odhad maximální kinetické energie použijte vzdálenost bodů na mřížce x.) 2.Napište funkci, jejíž první vstupní parametr je vlnová funkce ψ na mřížce x a výstupní parametr je H ψ na mřížce, také v souřadnicové reprezentaci. (Návod: použijte metody Fourierovy transformace pro aplikaci kinetického operátoru.) 3.Napište funkci, jejíž vstupní parametr bude vlnová funkce ψ na mřížce x a výstupní parametr je funkce ψ(t) na mřížce x, kde t=NΔt, (N=100,1000, apod.).

str. 16 TMF045 letní semestr 2006 III Metoda diferencí II. řádu (SOD) …pokračování… Během propagačního cyklu provádějte kontrolní výpočty a jejich výsledky tiskněte během propagace pod sebe na řádek: výpočet normy vlnové funkce výpočet kinetické, potenciální a celkové energie * výpočet předpokládané chyby v normě a v energii Dále přidejte do propagačního cyklu příkazy pro vykreslení propagované vlnové funkce pro každý n-tý krok (např. n=10 nebo 100). Pod funkcí vykreslete také potenciál. (Abyste dosáhli v Matlabu vykreslení grafiky v průběhu výpočtu, je nutné použít příkaz pause(a), který zastaví běh na a sec.)

str. 17 TMF045 letní semestr 2006 III Kontrola správnosti výpočtu zachování normy a energie – s přesností např % kontrola vlnové funkce v souřadnicové reprezentaci – vlnová funkce nesmí unikat z mřížky na okrajích – je dobré provést kontrolu také v log škále (tj. zobrazit log 10 |ψ|) – hodnota na okrajích by měla být o několik řádů nižší než max hodnota |ψ| kontrola vlnové funkce v momentové reprezentaci – převedení ψ(x) a zobrazení ψ trans (p) – pokud vlnová funkce uniká na okrajích z mřížky v p  příliš velký interval Δx v souřadnicové reprezentaci, který neumožňuje dostatečnou kinetickou energii

str. 18 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor aproximace založená na rozdělení evolučního operátoru na součin typu: (1) chyba nejjednodušší aproximace: –ukážeme, že chyba je řádu (Δt) 2, tato aproximace se v praxi nepoužívá (2) a (3) symetrizované verze s chybou řádu (Δt) 3 (4) rozdělený propagátor 3. řádu

str. 19 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor přesný evoluční operátor rozepíšeme podle Taylorovy řady takto: – V a T nekomutují, proto

str. 20 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor aproximativní evoluční operátor (1) napíšeme jako součin dvou mocninných řad: použijeme substituci m=n+n'… aproximace oproti přesnému operátoru: – uvedená rovnost platí jen pro n<2

str. 21 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor chyba u druhého řádu: chyba u třetího řádu:

str. 22 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor aproximativní evol. operátor získaný symetrizací jako aritm. průměr: – pozn. ukážeme, že chyba tohoto propagátoru je 3. řádu chyba u 2. řádu – u 1. členu: – u 2. členu: – po sečtení se chyba u 2. řádu vyruší

str. 23 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor chyba u 3. řádu: – u prvního členu: – u druhého členu: – po sečtení:

str. 24 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor (ad 3) rozdělený propagátor 2. řádu získaný symetrizací součinu: – nejběžněji užívaný rozdělený propagátor – vyžaduje menší počet aritmetických operací nežli v předchozím případě – nebo analogicky:

str. 25 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor chyba propagátoru: –rozložení exponenciálních členů do mocninných řad: –substituce m=n+n'+n„ –chyba v m-tém řádu:

str. 26 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor chyba ve 2. řádu (m=2) – ukážeme, že je nulová… – pravá strana (napíšeme do tabulky) – součet: nn"n"n+n"2- (n+n") 1/ 2 n+n" 1/n!1/ n"! 1/[2- (n+n")]! /2 V2V VT 02201/411/211/8T2T /2111 TV 11201/4111 T2T /2111/8T2T2

str. 27 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor chyba ve 3. řádu – použijeme podobného postupu jako v předchozím případě a získáme…: Příklad: Ověřte!

str. 28 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor aplikace rozděleného propagátoru: 1.převedeme vlnovou funkci do p-reprezentace a aplikujeme kinetický evoluční operátor jako skalární součin (T komutuje s p) 2.převedeme získanou funkci zpět do x- reprezentace a aplikujeme potenciální evoluční operátor (V komutuje s x) 3.převedeme vlnovou funkci opět do p- reprezentace a aplikujeme kinetický evoluční operátor

str. 29 TMF045 letní semestr 2006 III Rozdělený propagátor Příklad: Zopakujte předchozí úlohu, kde jsme počítali propagaci pomocí propagátoru SOD, nyní pomocí rozděleného propagátoru. Pokuste se také vypočítat odhad chyby. Srovnejte závislost chyby na energii u propagátoru SOD a rozděleného propagátoru. Svůj závěr doložte příkladem numerického výpočtu. literatura: R. Kosloff, Annu.Rev.Phys.Chem. 45 (1994) 145.

str. 30 TMF045 letní semestr 2006 III Doplnění – kumulace chyby Kumulace chyby u aproximace 1. řádu: –lze ilustrovat změnu normy vlastního vektoru Hamiltoniánu na jednotkové kružnici: –nastane změna fáze o která se zachová i u aproximativní propagace –nenastane změna normy, ale u aproximativní propagace ano:

str. 31 TMF045 letní semestr 2006 III Doplnění – kumulace chyby –Závěr: pro vlnové klubko, které obsahuje větší množství energií nastanou tyto chyby: –soustavná chyba kvůli odlišné změně normy pro jednotlivé složky –zesílení vyšších energetických složek, jejichž původni norma byla na úrovni numerického šumu způsobí po čase nárůst normy do nekonečna změna normy pro SOD viz TMF045_2.m Příklad: Dokažte, že se v každém druhém propagačním kroku změní norma vlastního vektoru Hamiltoniánu takto: