5.2.3. Zpomalování v nekonečném prostředí s absorpcí Při každé srážce neutronu s jádrem existuje jistá pravděpodobnost pohlcení neutronu. Pravděpodobnost pohlcení neutronu při srážce je rovna: a pravděpodobnost rozptylu: kde St(E)=Sa(E)+Ss(E) je totální makroskopický účinný průřez při energii E. Neutron může být během zpomalovacího procesu pohlcen.  q(E) nebude konstantní

I. Zpomalování s absorpcí ve vodíku prostředí tvořené homogenní směsí vodíku a těžkého absorbátoru (např. uran) předpoklady pro přesné řešení rovnice pro hustotu zpomalení: nekonečné prostředí je tvořeno pouze vodíkem (A=1); jinými slovy předpokládáme, že jádra uranu jsou nekonečně veliká (x=0); proto při rozptylu na jádrech uranu nedochází ke změně energie neutronu účinný průřez pro absorpci neutronů je různý od nuly (Sa0) vydatnost zdroje neutronů s energií E0 se rovná q0 jádra vodíku jsou v klidu

Hustota srážek: V ustáleném stavu je počet neutronů, které vstupují do elementárního intervalu energie dE po rozptylu na jádrech vodíku, bude roven počtu neutronů, které jsou rozptýleny z elementu dE zvětšenému o počet absorbovaných neutronů v tomto elementu, tj. První člen představuje celkový počet neutronů s energií E0 rozptýlených do elementu dE po první srážce s respektováním absorpce. Sa(E0) << Ss(E0), tj. Ps(E0) 1 (absorpce je významnější pro energie menší než E0, tj.:

V diferenciálním tvaru: Po separaci proměnných a integraci dostaneme: Víme, že: a Ps(E’) = 1-Pa(E’) 

Pravděpodobnost rezonančního záchytu při zpomalování ve vodíku Odpovídající integrální rovnice: S využitím vztahu pro hustotu srážek obdržíme pro hustotu zpomalení: Exponenciální funkci v předchozí rovnici označíme symbolem p(E), má význam pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu při zpomalování ve vodíku:

Obr. 5. 12 – Rezonance v účinném průřezu pro absorpci: Obr. 5.12 – Rezonance v účinném průřezu pro absorpci: a) struktura rezonance b) široká rezonance

Charakteristika rezonancí: - maximální hodnotou účinného průřezu pro absorpci v rezonančním i-tém píku, - šířkou rezonance (zpravidla šířka rezonančního píku v polovině maximální hodnoty ) Rezonance je úzká  Na předchozím obrázku můžeme rezonanci při energii Er1 považovat za úzkou a rezonanci při Er2 za rezonanci širokou.

II. Zpomalování s absorpcí v prostředí s A>1 v prostředí s A > 1 se při rezonanční absorpci uplatňují neutrony s energií nižší než je energie neutronů ze zdroje využijeme podmínku rovnováhy pro asymptotickou oblast, tj. pro E << aE0 Tuto rovnici již nelze převést derivováním na jednoduchou diferenciální rovnici a řešit ji pomocí okrajové podmínky pro E=E0, protože její pravá strana je funkcí jak E tak E/a.

Odvodíme nyní vztahy pro pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu pro tyto případy :   když rezonance jsou úzké a daleko od sebe - Wignerova aproximace pro velmi slabé rezonance - Fermiho aproximace když absorpční účinný průřez se mění pozvolna - Goertzel-Greulingova aproximace

a) Wignerova aproximace víme že oblast, ve které hustota srážek osciluje, je v rozmezí od energie zdroje E0 až asi do energie a3E0 a pak se ustálí na konstantní hodnotě úzká rezonance působí jako záporný zdroj neutronů a způsobuje poruchu v hustotě srážek v oblasti energie od rezonanční energie Er až do E >> a3Er tento závěr vyjádříme pomocí letargie, obdržíme interval letargie, ve kterém dochází k fluktuacím hustoty srážek v rozmezí u - ur = 3 ln(1/a) pokud jsou další rezonance od sebe vzdáleny asi o hodnotu 4 ln(1/a), je absorpce v oblasti další rezonance nezávislá na jejich vzdálenosti.

Pro další odvozování učiníme následující předpoklady : Rezonance můžeme považovat za úzké, tj. šířky rezonancí ve stupnici letargie jsou malé ve srovnání s průměrnou změnou letargie při jedné srážce x. Rezonance jsou v asymptotické oblasti energie, tj. V intervalech mezi rezonancemi je absorpční průřez nulový. Za těchto předpokladů je hustota srážek F(u) konstantní pro E>Er1 alespoň do Er1, kde Er1 je energie maxima první rezonance. Pokud bude DEr1 šířka první rezonance, f(Er1) zeslabená hustota toku při Er1 a fo(Er1) hustota toku neutronů nezeslabená absorpcí, pak bude: Sa(Er1) f(Er1) DEr1 - počet neutronů zachycených v intervalu DEr1, Ss(Er1) fo(Er1) DEr1 - počet neutronů vstupujících do intervalu DEr1

Rovnost mezi celkovým počtem neutronů vstupujících do intervalu DEr1 a počtem neutronů opouštějících tento interval, zvětšenému o počet neutronů v něm absorbovaných: Za hustotu toku neutronů dosadíme:  Pravděpodobnost zachycení neutronu v intervalu energie Er1:

Pravděpodobnost, že neutrony nebudou zachyceny v první rezonanci: Pravděpodobnost, že neutrony nebudou zachyceny v druhé rezonanci: Pravděpodobnost, že neutrony při zpomalování nebudou absorbovány v prvních dvou rezonancích: Pokud má absorpční účinný průřez v dané oblasti n úzkých rezonancí, pravděpodobnost, že neutron nebude v těchto rezonancích absorbován:

Zlogaritmováním, použitím Taylorova rozvoje pro logaritmus a omezením na první člen tohoto rozvoje dostaneme: Rozdělením rezonanční oblasti na m úzkých intervalů energie šířky DEj : Pravděpodobnost, že neutron nebude rezonančně pohlcen: Dosazením za Pa(E') 

Ke stejnému závěru můžeme dospět i jinak Ke stejnému závěru můžeme dospět i jinak. Předpokládejme, že nekonečný monoenergetický zdroj neutronů ve zpomalujícím prostředí má při letargii u=0 jednotkovou vydatnost, tj. q0 = 1 neutron/m3s, pak hustota zpomalení q(u) při u se rovná pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu p(u) při u: Počet neutronů absorbovaných v 1 m3 za 1 s během zpomalování na letargii u je 1-p(u). Hustota srážek v asymptotické oblasti při Sa = 0 a při q0 = 1/m3s je rovna 1/x. Při zpomalování na letargii u je však neutronů absorbováno. Celková hustota srážek v asymptotické oblasti: Po transformaci proměnných: kde e=ln(1/a).

Hustota zpomalování v asymptotické oblasti: Hustota zpomalení q(u) klesá s letargií u účinkem absorpce neutronů v intervalu od u do u+du z hodnoty q na hodnotu q-dq. Můžeme psát: a po úpravě: po integraci: Vztah byl odvozen za předpokladu, že neutrony ze zdroje mají vysokou energii a že absorpce se uplatňuje při energiích podstatně nižších a oscilace způsobené zdrojem nehrají žádnou roli.

Wignerova aproximace pravděpodobnosti úniku rezonančnímu záchytu: Platí přesně pouze pro vodík, to je způsobeno tím, že ve vodíku nevznikají oscilace v hustotě srážek v blízkosti zdroje. Přesnější vyjádření hustoty srážek s respektováním oscilací vyvolaných rezonancemi:

b) Fermiho aproximace případ tzv. velmi slabé absorpce Sa(E)<<Ss(E), tj. hustota srážek v asymptotické oblasti se nebude lišit od hodnoty, kterou bychom očekávali, kdyby nebylo absorpce, proto můžeme zanedbat oscilace od rezonancí 

c) Goertzel–Greulingova aproximace účinný průřez pro absorpci se mění se změnou energie pozvolna Hustota zpomalení v nekonečném prostředí, ve kterém vznikají neutrony s energií E0 , (u0=0), pro letargie u >ln(1/a): Pokud se hustota srážek Fs(u) v intervalu letargie mění pomalu, můžeme použít Taylorova rozvoje v okolí bodu u = u’ ( stačí první dva členy) a po dosazení:

Po integraci: položíme: dostaneme: Změna hustoty zpomalení je způsobena ztrátou neutronů absorpcí: Pro malou absorpci v prvním přiblížení platí: 

Vyloučením derivace ze vztahu pro hustotu zpomalení dostaneme: Rovnice je vhodným přiblížením asymptotického vztahu mezi hustotou zpomalení a hustotou toku neutronů pro moderující prostředí, ve kterém se hustota srážek nemění příliš rychle se změnou letargie. Vyloučením funkce F(u) dostaneme diferenciální rovnici: a po integraci:

Pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu: Po zavedení proměnné E  Goertzel-Greulingova aproximace