CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 10. PŘEDNÁŠKA Březen 2009

lineárního programování. ….. METODY ŘEŠENÍ s úvodem patřícím do oblasti lineárního programování. ☺ POKRAČOVÁNÍ

lineární programováníLP V matematice se lineární programování (LP) týká optimalizace lineární cílové funkce, která je subjektem lineárních rovnic a nerovnic. Při řešení rozhodovacích problémů je nezbyt- né respektovat větší či menší počet omezují- cích podmínek a předpokladů a přitom je nez- bytné i tehdy najít nejlepší (pokud možno optimální) řešení. Lineární programování Březen 2009

Při reprezentaci optimalizace matematickými formulacemi se používá lineárních matem. ro- vnic, nerovnic, funkcí, … = lineární modelová- ní, programování nebo lin. optimalizač. model. Tato varianta řešení rozhodovacích problémů je jednou z nejoblíbenějších typů optimalizač. úloh. I tyto modely obsahují určitou dávku ne- přesností vyplývající z nutného předpokladu linearity zobrazovaných procesů. Lineární programování Březen 2009

Malé modely lze řešit celkem jednoduše gra- ficky – geometrickou interpretací lin. nerov- nic, pomocí vlastností konvexních množin a grafickým sčítáním vektorů. Větší a složitější modely - univerzální sim- plexová metoda založená na Jordanově eli- minační metodě pro řešení soustavy lin. rov- nic – byla speciálně vyvinuta pro oblast lineár- ního programování. Lineární programování Březen 2009

Historie lineárního programování se datuje do poválečných let a je spojena hlavně se jmény George B. Dantzig, který publikoval práci o simplexové metodě v roce 1947, John von Neumann, který vypracoval teorii duality v tomtéž roce, Leonid Kantorovich, ruský matematik, který použil obdobných technik (postupů) v ekonomice dříve než Datzing.. Lineární programování - historie Březen 2009

Zadání obecné úlohy, s řešením v nalezení bodů: x Є R n (tj. množiny reálných čísel), v nichž nabývá lineární forma n proměnných: L (x) = c T * x = ∑c j x j = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … +c n x n pro j = 1 až n Má maximum na množině: S  R n všech bodů x = ( x 1, x 2, …, x n ) T vyhovujících rovnicím a …. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

…. vyhovujících rovnicím a nerovnicím: ∑ a ij * x j ≤ b i pro sumaci j = 1 až n a pro index i = 1 až p ∑ a ij * x j = b i pro sumaci j = 1 až n a pro index i = p+1 až m x j  0 pro j = 1 až n. Pozn.: na čísla b i, i = 1 až m nejsou kladena žádná omezení – mohou být kladná, záporná nebo nulová. Někdy se požaduje nezápornost všech x j, pro j = 1 až n. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Protože se s rovnicemi pracuje lépe než s nerovnicemi, lze je na rovnice převést (tzv. kanonický tvar úlohy LP – používají se i názvy normovaný nebo standardní tvar) a- platí: ∑ a ij1 * x j1 + ∑ δ ij2 * x n+j2 = b i pro sumaci j 1 = 1 až n, a j 2 = 1 až p a pro index i = 1 až p kde δ ij … je Kroneckerův symbol (Krocknerovo delta) – umožňující kratší formáty zápisu – definovaný podmínkami, že pro přirozená i a j bude platit: δ ij = 1, pro i = j δ ij = 0, pro i ≠ j. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

sumační rovnice Podrobný rozpis sumační rovnice - soustava lineárních rovnic: a 11 * x 1 + a 12 * x 2 + … + a 1n * x n + x n+1 = b 1 a 21 * x 1 + a 22 * x 2 + … + a 2n * x n + x n+2 = b 2 ……………… a p1 * x 1 + a p2 * x 2 + … + a pn * x n + x n+p = b p Nově zavedeným proměnným x n+j pro j = 1 až p se jmenují přídatné proměnné. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Zadání - podrobný kanonický tvar jednoduché úlohy LP: a) nalézt body: k x Є R n+p v nichž nabývá lineární forma n + p proměnných: k L ( k x ) = c T * x = ∑c j1 * x j1 + ∑0 * x j2 = c 1 * x c 2 * x 2 +…+ c n * x n + 0 * x n * x n+2 +…+ 0 * x n+p pro sumaci j 1 = 1 až n a pro sumaci j 2 = n + 1 až p Lineární programování – matematický popis Březen 2009

b) maximum na množině: k S  R n+p všech bodů k x = ( x 1, x 2, …, x n+p ) T vyhovujících ∑ a ij1 * x j1 + ∑ δ ij2 * x n+j2 = b i pro sumaci j 1 = 1 až n, j 2 = 1 až p a index i = 1 až p ∑ a ij1 * x j1 = bi pro sumaci j 1 = 1 až n a pro index i = p + 1 až m x j  0 pro j = 1 až n + p. V praxi se používá i maticový (respektive maticově – vektorový) zápis. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Pojmy: přípustné řešení úlohy LP v obecném a kanonickém tvaru * základní řešení úlohy LP optimální řešení úlohy LP Pojmy: * každý bod množiny S resp. v kanonickém tvaru k S, se nazývá přípustné řešení úlohy LP v obecném a kanonickém tvaru * každý krajní bod množiny S, respektive k S se na- zývá základní řešení úlohy LP (bázové či basické) * každý bod x Є S, respektive k x Є k S v němž na- bývá L(x), resp. k L( k x) maxima na množině S, resp. k S se nazývá optimální řešení úlohy LP Lineární programování – matematické definice Březen 2009

účelová (cílová nebo kriteriální) funkce * optimální řešení * funkce L(x), resp. k L( k x) se nazývá účelová (cílová nebo kriteriální) funkce * optimální řešení se obvykle označuje „hvězdič- kou“ – tj. x* … nebo se používá označení: arg max L(x) na množině S Lineární programování – matematické definice Březen 2009

graficky Pokud se má tato úloha řešit graficky, je nutno provést dva kroky: * velmi přesně nakreslit množinu přípust- ných řešení S * znázornit v grafu danou účelovou funkci – nejjednodušším znázorněním jsou vrstevnice (izočáry), které tvoří soustavu rovnoběžek. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Formulace modelu lineár. programování * vektor proměnných Formulace modelu lineár. programování Model LP má svoje pravidla, podle nichž se sestaví a použije - má prvky s mat. popisem: * vektor proměnných sloužící k popisu jed- notlivých složek hledaného rozhodnutí má tvar účelové (kriteriální) funkce x = ( x 1, x 2, x 3,......, x n ) Є R n Lineární programování – matematický popis Březen 2009

* účelová (kriteriální) funkce * účelová (kriteriální) funkce popisující cíl (kritérium) hledaného rozhodnutí má tvar z ( x ) = c T * x → MIN nebo MAX omezující podmínky popisující reálná omezení vplývající z konkrétní situace při hledání reál- ných omezení a ….. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

…. a mají tvar: A * x ≤ nebo = nebo ≥ b pro i = 1, 2,..., m vyjádřená omezení kde: ** c T = (c 1, c 2,... c n ) je vektor sazeb nebo hodnota ocenění proměnných Lineární programování – matematický popis Březen 2009

**A = (aij) je matice technicko-ekonomických koeficientů **b = ( b 1, b 2,..., b n ) T je vektor pravých stran soustavy omezujících podmínek Lineární programování – matematický popis Březen 2009

**x ≥ 0 je podmínka nezápornosti (což zároveň pre- zentuje reálnost situace i modelu – a simple- xový algoritmus neumí se zápornými hodno- tami počítat) **x j ≥ 0 pro j = ( 0, 1, 2..., n )... je rozpis jednotli- vých podmínek. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Cíl modelu LP - Cíl modelu LP - nalézt řešení splňující ome- zující podmínky. Řešení zde nabývá požado- vaného extrému. U lin. modelu jsou omezující podmínky zob- razeny pomocí lin. matem. vztahů (rovnic, nerovnic, funkcí). Při řešení musí - nejprve definovat jednotlivé procesy – vyjádřené pomocí proměnných (ve vhodných jednotkách reálných veličin). Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Pomocí lineárních rovnic a nerovnic musí být definována jednotlivá omezení. Určí hodnoty technicko-ekonomických koeficientů a jedno- tlivé kapacity, požadavky nebo bilanční nero- vnováhy a poměry. Poslední se opisuje kritérium rozhodnutí po- mocí cenových koeficientů vyjadřujících vý- hodnost nebo nevýhodnost. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Přitom nelze říci, že nevýhodné procesy se (zásadně) nebudou realizovat, protože někte- ré procesy s méně výhodným cenovým koe- ficientem v rámci daných omezení k hodnotě kritéria, přispějí v rozhodovacím procesu více než proces s koeficientem výhodnějším. Metoda LP je poměrně jednoduchá, její apli- kovatelnost je složitější, než se na první po- hled zdá – neexistuje univerzální návod. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Základní úlohy Základní úlohy vhodné pro LP: * optimalizace výrobní struktury – omeze- ním jsou dané výrobní kapacity a struktura výrobního parku * alokační problémy – rozdělení nebo přiřa- zení zdrojů, optimalizace portfólia, optimali- zace reklamy, volba technologií, atd. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

* směšovací problémy – nalezení optimál- ního poměru složek ve směsi se zaručenými (optimálními) vlastnostmi * problematika dělení materiálů s minimál- ním odpadem (zbytky) – tzv. řezné nebo dě- licí plány * distribuční problémy – ptimalizace dodá- vek odběrateli. Lineární programování – matematický popis Březen 2009

Pro úlohy LP s pouze dvěma proměnnými nebo dvěma omezujícími podmínkami, lze použít grafického způsobu řešení. V praxi se moc neužívá, protože se tak jedno- duchá zadání prakticky nevyskytují. Ale případné použití na druhé straně dává velmi dobrý názor na postup a vyhodnocová- ní. Její význam je spíš historický a teoretický. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

prostor řešení Množina přípustných řešení Při grafickém zpracování - prostor řešení je prostor - leží všechna přípustná řešení pro- blému. Musí se vhodným způsobem zobrazit i účelová funkce a její chování. Množina přípustných řešení úlohy LP je pak průnikem poloprostorů představujících jednotlivé omezující podmínky. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

konvexní polyedr polyedrický kužel. Protože poloprostor je konvexní množina, je i jejich průnik konvexní množinou – je-li omezená, nazývá se konvexní polyedr. Je-li neomezená, nazývá se polyedrický kužel. Neomezená konvexní množina vždy obsahu- je alespoň jednu polopřímku – znázorňuje body patřící do daného prostoru. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

Lineární účelová funkce Lineární účelová funkce je znázorněna: * přímkou... pokud je jen jedna proměnná * rovinou... v případě, že existují dvě proměnné * nadrovinou... pokud je více proměn. než dvě. Lze ji také zobrazit s pomocí gradientu, který je vektorem prvních parciálních derivací (je tedy shodný s vektorem cen – tento vektor má směr kolmý na zobrazené přímky. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

Podmínkou řešitelnosti množinu přípustných ře- šení množina je prázdná Podmínkou řešitelnosti lineárních optimali- začních úloh je splnění jednoho z následují- cích vztahů pro množinu přípustných ře- šení: * množina je prázdná – omezující podmínky jsou nekonzistentní a model nemá řešení Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

množina je konvexní polyedr množina je neomezená * množina je konvexní polyedr – lineární optimalizační model má optimální řešení * množina je neomezená (je polyedrickým kuželem) – účelová funkce může v jednom směru na množině přípustných řešení nabývat libovolně malých nebo velkých hodnot. Lineární programování – grafické úlohy Březen 2009

březen 2009 …..… cw05 – 10. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… SIMPLEXOVÁ METODA

……… Březen 2009