Normální (Gaussovo) rozdělení
Karl Friedrich Gauss 1777-1855
Pravděpodobnosti při hodu kostkou
Pravděpodobnosti při hodu 2 kostkami
Pravděpodobnost při hodu 3 kostkami
Pravděpodobnosti při „hodu nekonečně mnoha“ kostkami
f(x) =1 / σ.sqrt(2π) * exp ((x-μ)2/2 σ2) Normální rozdělení f(x) =1 / σ.sqrt(2π) * exp ((x-μ)2/2 σ2)
Exponenciální rozdělení Hustota pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení 1/δ * exp (-x/ δ) Distribuční funkce 1- exp (-x/ δ)
Exponenciální rozdělení Distribuční funkce F(x) = 1-exp(-x/delta)
Úkol Tabelujte hodnoty distribuční funkce exponenciálního rozdělení pro střední hodnoty 1,2,5,10,50 minut a pro časové intervaly 0,1 0,2 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 100 minut
Exponenciální rozdělení delta = 1 min
Exponenciální rozdělení, střední doba 2 min
Exponenciální rozdělení, střední doba 5 min
Exponenciální rozdělení, střední doba 10 min
Exponenciální rozdělení, střední doba 50 min
Náhodný proces Funkce f(t), kde f(t) je náhodná veličina
Siméon Denis Poisson 1781-1840
Poissonovský proces Stacionární (nezávislý na čase) Ordinální (Markovovský) S nezávislými přírůstky Interval mezi událostmi je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením
Generování náhodných čísel
Generování náhodných čísel Generátory obvykle generují náhodná čísla s rovnoměrným rozložením na intervalu <0,1> Například funce RANDOM resp. NÁČÍSLO v Excelu
Hustota pravděpodobnosti Rovnoměrné rozložení na intervalu <0,1> 1
Hustota pravděpodobnosti Rovnoměrné rozložení na intervalu <a,b> b a
Rovnoměrně rozložená čísla na <a,b> R = RANDOM()*(b-a)+a
Obecné rozložení
Metoda inverzní funkce RANDOM Výsledné n.č.
Metoda inverzní funkce R = F-1 (RANDOM) Nevýhoda: Musím být schopen explicitně vyjádřit inverzní funkci k distribuční funkci.
Metoda vylučovací zamítnuto
Metoda vylučovací Je-li bod (R1,R2) nad grafem hustoty pravděpodobnosti, zamítni Je-li bod (R1,R2) pod grafem hustoty pravděpodobnosti, je R1 generovaná hodnota
Výhody a nevýhody Stačí mi znát vyjádření hustoty pravděpodobnosti Pro jedno číslo musím vygenerovat minimálně dvě (obvykle ale více) hodnoty.
Cvičení Vygenerujte pomocí excelovské funkce RANDOM náhodná čísla s normálním rozložením se střední hodnotou 0 a rozptylem 1 Generujte čísla z intervalu <-10,10>