VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3

Pokrytí a vzdálenost Seznámíme se s následujícími pojmy: pokrytí grafu, Eulerův graf, Eulerův tah nezávislá podmnožina uzlů, nezávislost grafu, klika, klikovost grafu, dominující podmnožina uzlů, dominance, barevnost (chromatické číslo) grafu, bichromatický graf, úplný bichromatický graf vzdálenost na grafu, excentricita uzlu v grafu, průměr grafu, poloměr grafu, střed grafu Skripta odstavec 3.1, str. 37 - 49 Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

Vzpomeňme si na okružní jízdu pražskou MHD ... chceme projet všechny úseky všech linek právě jednou a v rámci jediné okružní jízdy problém čínského pošťáka Zkusíme to nejdříve se sedmi mosty v Královci ... Problém sedmi mostů města Královce Pokrytí (neorientovaného) grafu = {Hi} ... rozklad množiny hran H do tříd, kde každá třída Hi je tahem grafu G. Minimální pokrytí má minimální počet tahů Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

Jak asi vypadají grafy, které lze pokrýt jediným uzavřeným tahem ??? Eulerův graf : (u) je sudé pro všechny uzly u U Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

?Jaké vlastnosti mají Eulerovy grafy? V: G je Eulerův graf  G = Ki, Ki  Kj =  (hranově) Být Eulerovým grafem k pokrytí NESTAČÍ: V: Graf lze pokrýt jedním uzavřeným tahem  je-li souvislý a Eulerův. ?A co když netrváme na uzavřeném tahu? V: Nechť má souvislý graf G právě 2n uzlů lichého stupně. Potom každé jeho minimální pokrytí tvoří n otevřených tahů. Orientovaný Eulerův graf: +(u) = -(u) ?A jak to dopadlo s čínským pošťákem? O tom později ... Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

Nezávislost, klikovost, dominance Nezávislá podmnožina uzlů I  U : I(I) =  maximální nezávislá podmnožina (v sobě) ... Nezávislost grafu (G) = max |I| pro IInd(G) Klika grafu – maximální úplný podgraf Klikovost (G): platí (G)= (-G) I I Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

(G) = min |D| pro DDom(G) Dominující podmnožina uzlů D  U : D(D) = U minimální dominující podmnožina (v sobě) ... Dominance grafu G (G) = min |D| pro DDom(G) D Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

V: Nezávislá podmnožina IU je maximální  podmnožina I je dominující. ? Obecné vlastnosti ? V: Nezávislá podmnožina IU je maximální  podmnožina I je dominující. Důsledek: (G)  (G) Příklady aplikací: úlohy o dámách x úlohy o strážích ? Složitost určování nezávislosti a dominance ? Strom generování nezávislých podmnožin - exponenciální Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

(G) = minimální počet barev postačující k obarvení Barevnost grafu ? Co znamená "barvit" graf (uzly, hrany) ? Stejně obarvené uzly nesmí sousedit (tj. být spojeny hranou). ? Jak definovat barvení hran? Chromatické číslo grafu G: (G) = minimální počet barev postačující k obarvení ?Jak se určí chromatické číslo grafu? Těžko! Jednoduchá zjištění o barevnosti:  (G) . (G)  |U|  (G)  (G)  (G)  max + 1  (G) = 2  G neobsahuje kružnici liché délky Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

n1n2 + n1n3 + ... n1nk + n2n3 + ... + nk-1nk = Bipartitní graf - (G) = 2 uzly se rozpadají do dvou tříd Úplný bipartitní graf Km,n má všechny možné hrany m n ?Jak vypadá maximální k-chromatický graf? označíme n1, n2, ..., nk počty uzlů jednotlivých barev počty hran budou n1n2 + n1n3 + ... n1nk + n2n3 + ... + nk-1nk = =  ninj ... přes i<j ?Pro jaké hodnoty ni bude počet hran maximální ? Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

Kontrolní otázky Vyslovte tvrzení o tom, kdy lze orientovaný graf pokrýt jedním uzavřeným orientovaným tahem. Je možné prohlásit, že orientovaný Eulerův graf je silně souvislý? Pokud ano, dokažte, pokud nikoliv, vyvraťte protipříkladem. Nechť {S1, S2, ..., Sk} je pokrytí grafu G tvořené k otevřenými tahy. Je možné něco prohlásit o stupních uzlů grafu G? Graf G vzniknul jako sjednocení několika hranově disjunktních kružnic. Lze tento graf pokrýt jediným uzavřeným tahem? Mějme libovolný orientovaný graf. Jak určíme minimální počet hran, jejichž přidáním se tento graf stane orientovaným Eulerovým grafem? Bude třeba ještě přidávat nějaké hrany, aby šel vzniklý graf pokrýt jedním uzavřeným tahem? Dokažte následující tvrzení: Neorientovaný graf G je Eulerův právě tehdy, pokud pro libovolný rozklad {U1, U2} jeho množiny uzlů platí, že má sudý počet hran s jedním krajním uzlem v U1 a druhým v U2. Prohledávání do hloubky - odst. 4.2

Vzdálenost na grafu Jak daleko je z uzlu u do uzlu v ?? d(u,v) = 7 = 6 + 5 + 4 + ... + 1 = = 7 . 6 / 2 = 21 d(u,v) = 7 počet různých nejkratších cest ? Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

(pro stromy dokonce T(G)=2.r(G) nebo T(G)=2.r(G)-1 ) d(u,v) = délka (počet hran) nejkratší cesty z u do v (0) d(u,v) je nezáporné celé číslo (1) d(u,v) 0, přičemž d(u,v)=0, právě když u=v (2) d(u,v) = d(v,u) (3) d(u,v)  d(u,z) + d(z,v) (4) je-li d(u,v)>1, pak z: zu,v: d(u,v) = d(u,z) + d(z,v) Průměr grafu T(G) = max d(u,v) u,vU Excentricita uzlu u v grafu G: e(u,G) = max d(u,v) vU Poloměr grafu G: r(G) = min e(u,G) uU, střed(-y) grafu Věta: r(G)  T(G)  2.r(G) (pro stromy dokonce T(G)=2.r(G) nebo T(G)=2.r(G)-1 ) Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

Jak učíme poloměr, průměr, středy pro ... cestu o n uzlech kružnici o n uzlech úplný graf o n uzlech Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

Problém určování vzdáleností (nejkratších cest) ?Jak to bude se vzdáleností v orientovaném grafu? Uvažuje se opět nejkratší cesta – ale orientovaná. ?Další možné zobecnění? Grafy s (nezáporným) ohodnocením hran w: H  R+ w-délka orientovaného spojení S=h1, h2, ..., hn:  w(hi) dw(u,v)= w-délka nejkratšího orientovaného spojení Problém určování vzdáleností (nejkratších cest) budeme řešit později. Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1

Kontrolní otázky H4 H0 H1 H2 H3 Určete poloměr a průměr hyperkrychle Hk dimenze k. Hyperkrychle dimenze k má množinu uzlů tvořenou všemi binárními posloupnostmi délky k. Hranou jsou spojeny vždy ty dvojice uzlů, jejichž binární posloupnosti se liší pouze v jediném místě. H4 H0 H1 H2 H3 Mějme dva disjunktní grafy G1 a G2 s poloměry r1 a r2. Graf G vytvoříme tak, že jeden uzel grafu G1 spojíme hranou s uzlem grafu G2. Určete minimální a maximální možný průměr vzniklého grafu G. Pokrytí a vzdálenost - odst. 3.1