Soustava lineárních nerovnic Název projektu: Moderní škola Soustava lineárních nerovnic Mgr. Martin Krajíc   15.9.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Soustava lineárních nerovnic V minulých hodinách jsme se naučili, jak řešit lineární nerovnice s jednou neznámou. V některých případech však potřebujeme nalézt čísla, která vyhovují několika nerovnicím zároveň, neboli řešíme soustavu nerovnic s jednou neznámou. Postup řešení soustavy nerovnic: Vyřešíme postupně jednotlivé nerovnice zvlášť. Uděláme průnik všech jednotlivých množin řešení, které nám vyšly. Tím získáme řešení celé soustavy, neboli všechna x, která jsou řešením všech nerovnic současně.

Soustava lineárních nerovnic K řešení jednotlivých nerovnic využíváme ekvivalentní úpravy. Několik si jich zopakujeme: Přičtení stejného čísla nebo výrazu, který je definován v celém oboru nerovnice, k oběma stranám nerovnice. Odečtení stejného čísla nebo výrazu, který je definován v celém oboru nerovnice, od obou stran nerovnice. Násobení obou stran nerovnice stejným kladným číslem nebo výrazem, který je definován v celém oboru nerovnice. Dělení obou stran rovnice stejným kladným číslem nebo výrazem, který je definován v celém oboru nerovnice. !!! Při násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem musíme otočit nerovnítko nerovnice !!!

Soustava lineárních nerovnic Při určování průniku jednotlivých množin řešení využíváme grafické znázornění na číselné ose. Před výpočtem jednotlivých soustav si zopakujeme tento postup grafického znázornění. Př: Vyznač na číselné ose průnik jednotlivých nerovnic: x ˃ 3 x ≤ 5 3 5

Soustava lineárních nerovnic x ˃ 2 x ≤ 4 x ˃ 1 1 2 4 x ≥ 5 x ˂ 3 3 5 Průnik neexistuje, výsledkem je prázdná množina.

Soustava lineárních nerovnic Nyní již vyzkoušíme několik příkladů na řešení soustavy lineárních nerovnic. Př 1: Řešte v R soustavu nerovnic: 3(x – 1) ˃ 2x – 7 3(2x – 4) ≤ 2(2x + 2) nejprve vyřešíme každou nerovnici zvlášť 3(x – 1) ˃ 2x – 7 3(2x – 4) ≤ 2(2x + 2) 3x – 3 ˃ 2x – 7 6x – 12 ≤ 4x + 4 x ˃ – 4 2x ≤ 16 x ≤ 8 K1 = (-4, ∞) K2 = (-∞, 8˃

Soustava lineárních nerovnic uděláme průnik obou množin řešení -4 8 zapíšeme výsledek pomocí intervalu K = K1 ∩ K2 = (-4, 8˃

Soustava lineárních nerovnic Př 2: Řešte v R soustavu nerovnic: 5x – 3 ˃ 3x + 7 2x – 7 ≤ 5x + 2 11x + 1 ˃ 6x + 16 vyřešíme každou nerovnici zvlášť 5x – 3 ˃ 3x + 7 2x – 7 ≤ 5x + 2 11x + 1 ˃ 6x + 16 2x ˃ 10 -3x ≤ 9 5x ˃ 15 x ˃ 5 x ≥ -3 x ˃ 3 K1 = (5, ∞) K2 = ˂-3, ∞) K3 = (3, ∞)

Soustava lineárních nerovnic uděláme průnik jednotlivých množin řešení -3 3 5 zapíšeme výsledek pomocí intervalu K = K1 ∩ K2 ∩ K3 = (5, ∞)

Soustava lineárních nerovnic Př 3: Řešte v R soustavu nerovnic: x – 3 ˂ 3x + 5 ≤ 5x + 3 x – 3 ˂ 3x + 5 3x + 5 ≤ 5x + 3 -2x ˂ 8 -2x ≤ -2 x ˃ -4 x ≥ 1 K1 = (-4, ∞) K2 = ˂1, ∞) -4 1 K = K1 ∩ K2 = ˂1, ∞) Daný příklad rozdělíme na soustavu dvou nerovnic: x – 3 ˂ 3x + 5, 3x + 5 ≤ 5x + 3.

Soustava lineárních nerovnic - příklady Př: Řešte soustavy lineárních nerovnic a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Albert Einstein: „Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ….. moje jsou stále větší.“ 1) x + 1 ≥ 1 – x 5x – 2 ˂ x – 10 a) T = Ø b) S = (1, ∞) 2) 2x + 1 ˃ 4x – 5 x – 2 ≥ 6x + 7 x + 2 ˂ 2x + 3 a) Y = Ø b) I = (3, ∞)

Soustava lineárních nerovnic – správné řešení Albert Einstein: „Nedělejte si starosti ohledně vašich potíží v matematice. Můžu vás ujistit, že ……. moje jsou stále větší.“ TY

Soustava lineárních nerovnic – použité zdroje Matematické citáty. [online]. [cit. 2013-09-15]. Dostupné z: elmartin.txt.cz/clanky/50290/matematicke-citaty/