Název školyIntegrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380 Číslo a název projektuCZ.1.07/1.5.00/ Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK Číslo a název klíčové aktivityIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT AutorIng. Pavel Novotný Číslo materiáluVY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_11 NázevHyperbola – vzájemná poloha přímky a hyperboly Druh učebního materiáluPrezentace PředmětMatematika Ročník4 Tématický celekAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině AnotaceSpecifikace vzájemné polohy přímky a hyperboly, řešení zadaných příkladů Metodický pokynMateriál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (45 min) Klíčová slovaHyperbola, vzájemná poloha, sečna, tečna, vnější přímka Očekávaný výstupŽáci jsou schopni určit vzájemnou polohu přímky a hyperboly Datum vytvoření

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY - o vzájemné poloze rozhodujeme podle počtu řešení soustavy lineární (přímka) a kvadratické (hyperbola) - řešení vede buď na kvadratickou nebo na lineární rovnici 1) kvadratická rovnice - přímka může být vzhledem k hyperbole: a) sečnou - přímka protíná hyperbolu ve dvou bodech; D > 0 b) tečnou - přímka se dotýká hyperboly v jednom bodě; D = 0 c) vnější přímkou - přímka s hyperbolou nemá společný žádný bod; D < 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY 2) lineární rovnice - přímka může být vzhledem k hyperbole: a) sečnou - přímka protíná hyperbolu v jednom bodě (přímka je || s asymptotou) b) asymtotou - přímka nemá s hyperbolou žádný společný bod, ale hyperbola se k ní neustále přibližuje P P

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY Příklad 1: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod h: x 2 – 2y 2 + 2x – 8y – 9 = 0 p: x – y – 2 = 0y = x – 2 x 2 – 2(x – 2) 2 + 2x – 8(x – 2) – 9 = 0 x 2 – 2(x 2 – 4x + 4) + 2x – 8(x – 2) – 9 = 0 x 2 – 2x 2 + 8x – 8 + 2x – 8x + 16 – 9 = 0 – x 2 + 2x – 1 = 0 D = 2 2 – 4.(-1).(-1) = 0 přímka je tečnou k hyperbole y = 1 – 2 = – 1 T = [1, -1]

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY Příklad 2: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod h: 4x 2 – y 2 – 16x + 2y + 7 = 0 p: 2x – y – 5 = 0y = 2x – 5 4x 2 – (2x – 5) 2 – 16x + 2(2x – 5) + 7 = 0 4x 2 – (4x 2 – 20x + 25) – 16x + 2(2x – 5) + 7 = 0 4x 2 – 4x x – 25 – 16x + 4x – = 0 8x – 28 = 0 přímka je sečnou hyperboly s průsečíkem P = [3,5; 2] T = [1, -1]

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY Příklad 3: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod h: 4x 2 – 9y x + 36y – 8 = 0 p: 2x – 3y + 14 = 0 přímka je asymptotou hyperboly 9y 2 – 84y – 9y y – y – 8 = 0 – 36 = 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY Příklad 4: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod h: x 2 – 9y 2 – 4x + 36y – 41 = 0 p: 3x – y – 4 = 0 přímka je vnější přímkou hyperboly y = 3x – 4 x 2 – 9(3x – 4) 2 – 4x + 36(3x – 4) – 41 = 0 x 2 – 9(9x 2 – 24x + 16) – 4x + 36(3x – 4) – 41 = 0 x 2 – 81x x – 144 – 4x + 108x – 144 – 41 = 0 – 80x x – 329 = 0 D = – 4.(– 80).(– 329) = – 2880 D < 0

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY Příklad 5: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod h: 2x 2 – 3y x + 18y – 15 = 0 p: x = 3t y = 1 – 2t t є R přímka je sečnou hyperboly 2(3t) 2 – 3(1 – 2t) t + 18.(1 – 2t) – 15 = 0 18t 2 – 3(1 – 4t + 4t 2 ) + 36t + 18 – 36t – 15 = 0 18t 2 – t – 12t t + 18 – 36t – 15 = 0 6t t = 0 t 2 + 2t = 0 t.(t + 2) = 0 t 1 = 0 t 2 = – 2

VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A HYPERBOLY Příklad 5: Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly h, popř. určete průsečíky nebo tečný bod h: 2x 2 – 3y x + 18y – 15 = 0 p: x = 3t y = 1 – 2t t є R P 1 = [0,1] 1) t 1 = 0:x = 3.0 = 0 y = 1 – 2.0 = 1 2) t 2 = – 2:x = 3.(– 2) = – 6 y = 1 – 2. (– 2) = 5 P 2 = [– 6,5]