Výroková logika

Syntaxe Proměnné (označení atomických výroků): A,B,… Výrokové spojky: ┐ & v → ↔ Závorky ( ) Pravidla pro postupný zápis těchto symbolů

Sémantika Přirazení pravdivostních hodnot atomickým výrokům

Tabulka sémantiky spojek A V B A → B 1

Syntaktická pravidla ┐ ┐A A ┐ (A & B) ┐A v ┐B ┐ (A v B) ┐A & ┐B ┐ (A → B) A & ┐B A spousta dalších

Cvičení Znegujte následující výrok „Kočka leze dírou, pes oknem, nebude-li pršet, nezmoknem“

Řešení ┐(A & B & (┐ C → ┐ D)) ┐A v ┐B v ┐(┐ C → ┐ D)

Řešení Kočka neleze dírou, nebo pes neleze oknem, nebo nebude pršet a přesto zmoknem.

Tautologie Výrok, který je sémanticky platný pro všechny hodnoty proměnných Příklady A v ┐A A → (B → A)

Cvičení Vymyslete další tři příklady tautologií výrokové logiky

Úplnost výrokové logiky Všechny tautologie se dají mechanicky odvodit pomocí syntaktických odvozovacích pravidel

Intucionistická (konstruktivistická) logika Není k dispozici pravidlo ┐ ┐A A.

Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice  Judy má ráda banány Z hlediska VL jsou to jednoduché výroky p, q, r a z p, q nevyplývá r Všichni studenti jsou chytří Karel není chytrý  Karel není student Jaké je zde platné úsudkové schéma?

Úsudkové schéma Ve VL nemůžeme (roz)analyzovat jednoduché výroky. Zkusme je přeformulovat: Každé individuum, je-li Opice, pak má rádo Banány Judy je individuum s vlastností být Opice  Judy je individuum s vlastností mít rádo Banány x [O(x)→ B(x)], O(J) |= B(J), kde x je individuová proměnná, O, B predikátové symboly, J funkční symbol Jde opět o schéma: Za O, B, J můžeme dosadit jiné vlastnosti či jiné individuum, např. po řadě člověk, smrtelný, Karel. O, B, J jsou zde pouze symboly zastupující vlastnosti a individua

Formální jazyk PL1 Abeceda Logické symboly individuové proměnné: x, y, z, ... Symboly pro spojky: , , , →,↔ Symboly pro kvantifikátory: ,  Speciální symboly Predikátové: Pn, Qn, ... n – arita = počet argumentů Funkční: fn, gn, hn, ... -- „ -- Pomocné symboly: závorky (, ), ...

Formální jazyk PL1 Gramatika termy: každý symbol proměnné x, y, ... je term jsou-li t1,…,tn (n  0) termy a je-li f n-ární funkční symbol, pak výraz f(t1,…,tn) je term; pro n = 0 se jedná o individuovou konstantu (značíme a, b, c, …) jen výrazy dle i. a ii. jsou termy

Formální jazyk PL1 Gramatika atomické formule: je-li P n-ární predikátový symbol a jsou-li t1,…,tn termy, pak výraz P(t1,…,tn) je atomická formule formule: každá atomická formule je formule je-li výraz A formule, pak A je formule jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy (A  B), (A  B), (A →B), (A ↔ B) jsou formule je-li x proměnná a A formule, pak výrazy x A a x A jsou formule

Formální jazyk PL1 1. řád Jediné proměnné, které můžeme používat s kvantifikátory, jsou individuové proměnné Nemůžeme kvantifikovat přes proměnné vlastností či funkcí Příklad: Leibnizova definice rovnosti. Mají-li dvě individua všechny vlastnosti stejné, pak je to jedno a totéž individuum P [ P(x) = P(y)] → (x = y) jazyk 2. řádu, kvantifikujeme přes vlastnosti

Příklad: jazyk aritmetiky Má tyto (speciální) funkční symboly: nulární symbol: 0 (konstanta nula) – konstanta je nulární funkční symbol unární symbol: s (funkce následník) binární symboly: + a  (funkce sčítání a násobení) Příkladem termů jsou (používáme infixní notaci pro + a ): 0, s(x), s(s(x)), (x + y)  s(s(0)), atd. Formulemi jsou např. výrazy (= je zde speciální predikátový symbol): s(0) = (0  x) + s(0)

Převod z přirozeného jazyka do jazyka PL1 „všichni“, „žádný“, „nikdo“, ...  „někdo“, „něco“, „někteří“, „existuje“, ...  Větu musíme často ekvivalentně přeformulovat Pozor: v češtině dvojí zápor ! Žádný student není důchodce: x [S(x) → D(x)] Ale, „všichni studenti nejsou důchodci“ čteme jako „ne všichni studenti jsou důchodci“: x [S(x) → D(x)] x [S(x)  D(x)]

Volné, vázané proměnné x y P(x, y, t)  x Q(y, x) vázané, volná volná, vázaná Formule s čistými proměnnými: pouze volné výskyty nebo pouze vázané, ale každý kvantifikátor má své proměnné. Např. x ve druhém konjunktu je jiné než v prvním, tak proč jej nazývat stejně? x y P(x, y, t)  z Q(u, z)

Sémantika PL1 !!! P(x) → y Q(x, y) – je tato formule pravdivá? Nesmyslná otázka, vždyť nevíme, co znamenají symboly P, Q. Jsou to jen symboly, za které můžeme dosadit jakýkoli predikát. P(x) → P(x) ANO, je, a to vždy, za všech okolností.

Sémantika PL1 !!! x P(x, f(x)) musíme se dohodnout, jak x P(x , f(x)) budeme tyto formule chápat O čem mluví poměnné: zvolíme universum, jakákoli neprázdná množina U Co označuje symbol P; je binární, má dva argumenty, tedy musí označovat nějakou binární relaci R  U  U Co označuje symbol f ; je unární, má jeden argument, tedy musí označovat nějakou funkci F  U  U, značíme F: U  U

Sémantika PL1 !!! A: x P(x, f(x)) musíme se dohodnout, jak B: x P(x , f(x)) budeme tyto formule chápat Nechť U = N (množina přirozených čísel) Nechť P označuje relaci < (tj. množinu dvojic takových, že první člen je ostře menší než druhý: {0,1, 0,2, …,1,2, …}) Nechť f označuje funkci druhá mocnina x2, tedy množinu dvojic, kde druhý člen je druhá množina prvního: {0,0, 1,1, 2,4, …,5,25, …} Nyní můžeme teprve vyhodnotit pravdivostní hodnotu formulí A, B

Sémantika PL1 !!! A: x P(x, f(x)) B: x P(x , f(x)) Vyhodnocujeme „zevnitř“: Nejprve vyhodnotíme term f(x). Každý term označuje prvek universa. Který? Záleží na valuaci e proměnné x. Nechť e(x) = 0, pak f(x) = x2 = 0. e(x) = 1, pak f(x) = x2 = 1, e(x) = 2, pak f(x) = x2 = 4, atd. Nyní vyhodnocením P(x , f(x)) musíme dostat pravdivostní hodnotu: e(x) = 0, 0 není < 0 Nepravda e(x) = 1, 1 není < 1 Nepravda, e(x) = 2, 2 je < 4 Pravda

Sémantika PL1 !!! A: x P(x, f(x)) B: x P(x , f(x)) Formule P(x , f(x)) je pro některé valuace e proměnné x v dané interpretaci Pravdivá, pro jiné nepravdivá Význam x (x): formule musí být pravdivá pro všechny (některé) valuace x Formule A: Nepravdivá v naší interpretaci I: |I A Formule B: Pravdivá v naší interpretaci I: |=I B

Model formule, interpretace A: x P(x, f(x)) B: x P(x , f(x)) Našli jsme interpretaci I, ve které je formule B pravdivá. Interpretační struktura N, <, x2 splňuje formuli B pro všechny valuace proměnné x, je to model formule B. Jak upravíme interpretaci I, aby v ní byla pravdivá formule A? Nekonečně mnoho možností, nekonečně mnoho modelů. Např. N, <, x+1, {N/{0,1}, <, x2, N, , x2 Všechny modely formule A jsou také modely formule B („co platí pro všechny, platí také pro některé“)

Příklad Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolù uvedených v textu. a) Někdo má hudební sluch (S) a někdo nemá hudební sluch. b) Některé děti (D) nerady čokoládu (C). c) Nikdo, kdo nebyl poučen o bezpečnosti práce (P), nesmí pracovat v laboratořích (L). d) Ne každý talentovaný malíř (T) vystavuje obrazy v Národní galerii (G). e) Pouze studenti (S) mají nárok na studené večeře (V ). f) Ne každý člověk (C), který má drahé lyže (D), je špatný lyžař (S)

Příklad Pro následující věty uveďte predikáty, konstantní symboly a funkční symboly, které potřebujete k formalizaci a napište formule odpovídajících vět. a) Eva mluví anglicky i francouzsky. b) Každý, kdo mluví německy, mluví i anglicky. c) Každý mluví anglicky nebo německy. d) Někdo mluví anglicky i německy. e) Někteří studenti neumí ani německy ani anglicky.