TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM Speciální rovnice Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

další proměnné – parametry ROVNICE S PARAMETREM Rovnice s parametrem jsou rovnice, které kromě neznámé x obsahují ještě další proměnné – parametry Poznámka: V zadání je uvedeno, co je parametr nebo je vždy x neznámá, ostatní jsou parametry. Příklad: x(a + 2) + a(x2 – 2) = x + a; a - parametr ; p - parametr

Řešení rovnic s parametrem parametr = proměnná, která zastupuje konkrétní číslo - značí se malými písmeny, nejčastěji p, a, b, m parametrická rovnice = zápis nekonečně mnoha rovnic, které získáme dosazením čísla za parametry řešení param. rce = určení jejích kořenů v závislosti na přípustných hodnotách parametrů Na závěr provedeme DISKUSI - výsledky shrneme do tabulky (vlevo: parametr, vpravo: řešení)

Lineární rovnice s parametrem = rovnice s parametrem a proměnnou x pouze v první mocnině Příklad: V R řešte rovnici s parametrem p: Řešení: p = 0 rce nemá smysl p  0 1–p2 = 0 p = 1 K = 0 1 = –1 :(1–p2) p = –1 K = 0 1 = –1

Cvičení: Příklad 1: Řešte v R rovnice s parametrem a nebo p: x(a+2) + a(x–2) = x + a p2x – x = p – 1 2(a + 3x) = x(2 – a) 2x – 2px = px – 1 a(x–1) + x(a–1) = a – x px(1 – p) = p – 1 a2(x + 1) – 2(ax + 2) = 0 (2a – 1)x – 3 = ax + 2a (a2 – 1)x = a – 1 . Příklad 2: Pro která čísla b má rovnice 7x + b = 0 řešení a) v Z b) v R

Kvadratické rce s parametrem = rovnice s parametrem a proměnnou x nejvýše ve druhé mocnině Příklad: V R řešte rovnici s parametrem p: 2px2 + px = –1 Řešení: 2px2 + px +1 = 0 ?? kvadratická p = 0 K = 0 D = p2 – 42p1 = p2 – 8p 20x2 + 0x +1 = 0 1 = 0 p2 – 8p = 0 p = 0; 8 ?? p pro D<0 p2 – 8p < 0 v R nemá řešení p  (0;8) p2 – 8p > 0 DISKUSE p  (-;0) (8;)

Cvičení: Příklad 1: Řešte v R rovnice s parametrem a nebo p: ax2 + 2ax + a = 1 px2 + (p – 1) – 1 = 0 (p – 1)x2 – 2(p + 1)x + p – 2 = 0 Příklad 2: Určete, kdy má rovnice právě jeden reál. kořen: (p – 2)x2 – (p2 – 2p + 2)x + 2p = 0 2(a + 3)x + (a + 3)x2 = 1 – a Příklad 3: Určete, kdy má rovnice dva reálné kořeny: (p – 1)x2 – 2(p + 1)x + (p – 2) = 0 x2 – 2ax + a2 = 1

ROVNICE S ABS. HODNOTOU ?? absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo, pro něž platí: a = a  a  0 a = –a  a < 0 Rovnice s absolutní hodnotou = rovnice, v níž se neznámá vyskytuje v absolutní hodnotě Řešení rovnic s absolutní hodnotou - metodou intervalů, které vyplývají z nulových bodů

Řešení rovnic s abs. hodnotou nulový bod = bod, ve kterém je výraz v abs. hodnotě = 0 - př. x – 3  nulový bod: x = 3 (x – 3=0) Postup řešení: určíme nulové body všech absolutních hodnot interval (–;) rozdělíme nulovými body na intervaly provedeme dílčí řešení v jednotlivých intervalech řešení rovnice = sjednocení dílčích řešení

znaménko určíme dosazením libov. čísla z intervalu Příklad 1: V R řešte rovnici x + 1 = 3. Řešení: nulové body: x + 1 = 0 x  (–; –1) x = –1 –(x + 1) = 3 znaménko určíme dosazením libov. čísla z intervalu ? –1 –x – 1= 3 (–; –1) –1;) x + 1 (x + 1) x = –4 – x  –1;) + +(x + 1) = 3 ? x + 1= 3 K = {–4; 2} x = 2

Příklad 2: Řešte rovnici 2x – 7 – 2 – x = 3. Řešení: nulové body: x = 2 x  (–; 2) –(2x–7)–(+(2–x)) = 3 ? 2 x = 2 (–; 2) 2;3,5) 3,5;) 2x – 7 (2x – 7) 2 – x (2 – x) x  2;3,5) – – + –(2x–7)–(–(2–x)) = 3 ? – – + x = 2 x  3,5;) K = {2; 8} +(2x–7)–(–(2–x)) = 3 ? x = 8

Cvičení: Příklad: Řešte v R rovnice: x + x – 3 = 5 4x – 2 + 4 = 0 x – x2 – 1 =  2x – 3 –x2 .

IRACIONÁLNÍ ROVNICE ?? ekvival. úprava = rovnice s výrazem s neznámou pod odmocninou Řešení rovnice: umocnění obou stran rovnice ?? ekvival. úprava Poznámka: Umocnění rovnice je ekvivalentní úpravou pouze pro nezáporné strany rovnice. Důsledek: U těchto rovnic musíme VŽDY dělat podmínky nebo provést zkoušku. Co nejjednodušší řešení: pouze jedna odmocnina  odmocnina na jedné straně rovnice, vše ostatní na druhou více odmocnin  na každé straně rovnice pouze jedna  opakované umocnění rce

Příklad 1: V R řešte rovnici Řešení: x + 11> 0 x > 1 x – 1> 0 umocňovat celé strany 2 Zk: L(5): = 5 P(5): 5 L = P L(–2): = 4 x1 = 5 x2 = –2 P(–2): –2 L  P K = {5}

Příklad 1: V R řešte rovnici Zk.: Řešení: L(20): = 1 2 P(20): L = P 1 2 Zk.: L(4): –1 P(4): 1 L  P x1 = 20 x2 = 4 K = {20}

Cvičení: Příklad: Řešte v R rovnice:

ŘEŠENÍ ROVNIC SUBSTITUCÍ substituce = nahrazení výrazu neznámou - použití: zjednodušení výpočtu Příklad: V R řešte rovnici x4 – 3x2 + 2 = 0. Řešení: x4 – 3x2 + 2 = 0 substituce: x2 = y y2 – 3y + 2 = 0 x2 = 1 y1 = 1 y2 = 2 x2 = 2