Algebra II.

Opakování z minulé přednášky Co je to grupoid, pologrupa, monoid, grupa? Co jsou to zbytkové třídy? Jakou algebraickou strukturu tvoří zbytkové třídy s operací sčítání? A násobení? Jakou strukturu tvoří ({0,1},+) a ({0,1}, )

Podstruktury Nechť (A,*) je grupoid / pologrupa / monoid / grupa a nechť BA. Jestliže je i (B,*) grupoid / pologrupa / monoid / grupa, nazýváme jej / ji podgrupoid / podpologrupa / podmonoid / podgrupa. Například (S0, +) je podmonoidem monoidu (N0, +), kde S značí množinu všech sudých přirozených čísel.

Podgrupy O podgrupě (H, ) grupy (G, ) mluvíme tehdy, pokud a  H  a-1  H a,b  H  a  b  H Pomocí množiny M  G můžeme generovat podgrupu (M, ) grupy (G, ) – hovoříme o podgrupě generované množinou M Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická

Vnoření je prostý homomorfismus Morfismy Zobrazení : G  H nazýváme homomorfismem z grupy (G, ) do grupy (H, ) tehdy, pokud a,b  G: (a  b) = (a)  (b) Vnoření je prostý homomorfismus Izomorfismus je bijektivní homomorfismus Platí: (eG) = eH, (a-1) = ((a))-1

Klasifikace grup Libovolná nekonečná cyklická grupa je izomorfní grupě (Z,+) Libovolná n-prvková (n  N) cyklická grupa je izomorfní grupě (Zn, +) Součin dvou grup (G, ) a (H, ) definujeme po složkách (G, )*(H, ) = (GH,*) (g1, h1)*(g2,h2) = (g1g2, h1h2) Libovolné konečné komutativní grupy jsou izomorfní součinu (Zn, +) grup s n prvočíselným

Algebraické struktury se dvěma operacemi Doposud jsme se zabývali strukturami s jednou operací Obvykle používáme více operací typicky sčítání a násobení

Uspořádaná trojice (R, +, ) se nazývá okruh, je-li Okruhy Uspořádaná trojice (R, +, ) se nazývá okruh, je-li (R, +) komutativní grupa (R, ) pologrupa platí distributivní zákony a,b,c  R: a  (b + c) = a  b + a  c (a + b)  c = a  c + b  c Mluvíme o komutativních okruzích, pokud (R, ) je komutativní monoid

Značení v okruzích Nula 0 je neutrální prvek v (R, +) Opačný prvek –a je inverzí k a v (R, +) Jednička 1 je neutrální prvek v (R, ) Rozdíl a – b definujeme jako a + (–b) Hovoříme o triviálním okruhu pro |R| = 1

Obor integrity Okruh (R, +, ) nazýváme oborem integrity, je-li netriviální, komutativní, obsahuje-li jedničku a platí-li, že a,b  R: (ab = 0  a = 0  b = 0) Tedy v oboru integrity neexistují „dělitelé nuly“ Příklad: (Zn, +, ) je obor integrity pro n prvočíselné Proč ne pro n neprvočíselné?

Tělesa Okruh (R, +, ) nazýváme tělesem, je-li (R – {0}, ) komutativní grupa Je-li R těleso, je také oborem integrity (těleso je speciální případ oboru integrity), protože nenulové prvky musí být v oboru integrity uzavřeny na násobení Např. (Q,+,), (R,+,), (C,+,) jsou tělesa

Podstruktury Zavádíme podokruhy, podobory integrity, podtělesa Zavádíme generování těchto útvarů Zavádíme homomorfismus, vnoření a izomorfismus (na obou operacích, na nule a na jedničce)

Polynomy I. Polynomem nad okruhem R nazýváme nekončenou posloupnost f = (f0, f1, f2, …), kde téměř všechny prvky jsou nulové Téměř všechny = všechny s výjimkou konečně mnoha Nejčastější zápis polynomu: f = f0x0 + f1x1 + f2x2 + … Značíme R[x] jako množinu všech polynomů nad okruhem R Operace definujeme jako sčítání po složkách a polynomové násobení

Polynomy II. Stupeň polynomu = největší n takové, že fn  0 Kořen polynomu = takové číslo, které při dosazení za x způsobí, že f = 0 Řekneme, že těleso (T, +, ·) je algebraicky uzavřené právě tehdy, když kořeny všech polynomů nad T jsou prvky T.

Tělesa (Z, +, ·), (Q, +, ·) a (R, +, ·) nejsou algebraicky uzavřená Základní věta algebry Tělesa (Z, +, ·), (Q, +, ·) a (R, +, ·) nejsou algebraicky uzavřená Existují v nich ireducibilní polynomy Základní věta algebry: těleso (C,+,·) je algebraicky uzavřené

Kam dál míří algebra… Další typy objektů – svazy (jiné operace), modulární svazy, Booleovy svazy Zavádíme pojem algebry jako objektu s libovolným počtem operací Z předchozích (univerzálnějších) objektů lze využít řadu vlastností i ve speciálních objektech (např. v algebrách)

K zamyšlení Jakou strukturu tvoří množina všech zobrazení na neprázdné množině X spolu s operací skládání zobrazení? Zobrazení f(x) = ex je homomorfismus (dokonce izomorfismus) grup. Kterých? Najděte inverzní izomorfismus.