Nekomutativita & Geometrie Proč potřebujeme nekomutativní geometrii ? Geometrický přístup ve fyzikálních teoriích není jednotný.

Obecná relativita & Teorie pole Prostor – „pasivní“ jeviště, v němž se vyvíjejí pole Elektromagnetická, slabá a silná interakce OTR Časoprostor – dynamický objekt Geometrie (křivost) – rozložení hmotnosti Gravitace

Narušení harmonie Planckova délka L=√(κħ/c3) ~ 10-35 m Kvantování gravitace ? Renormalizace ! Sjednocení za cenu silných fyzikálních hypotéz: teorie strun (dimenze=11), supersymetrie (2x více částic) Experiment – zatím není

Obnovení harmonie Sjednocení prostřednictvím geometrie ? Relativita – jednoduchá interpretace geometrie Kvantová teorie – jak zavést geometrii ? Pomocí algebraických struktur !!

Geometrie & Algebra Geometrie -vzdálenosti || x – y || Algebra - operace αf(x)+βg(x), f(x)g(x) sup |f’(x)|1 | f(x) – f(y) |

Proč to tak je – ukázka první Věta o střední hodnotě

Vzdálenosti a okolí & Operace Topologická struktura X … [lokálně] kompaktní prostor Algebraická struktura ... komutativní algebra [C0(X)] C(X) ... [mizející] spojité funkce f: XC Metrická struktura ||f || = supxX |f(x)| norma  metrika  topologie Involuce f* = f Jednotka [v C0(X)...neexistuje], v C(X)...f(x)  1

Prostory & Algebry funkcí Prostor  Komutativní algebra Kompaktní topologický prostor X  komplexní komutativní algebra spojitých funkcí na X s normou ||f||=sup {|f(x)| | xX} a obvyklou involucí má strukturu C*- algebry Libovolná komutativní C*- algebra A  topologický prostor, jehož algebra spojitých funkcí je izomorfní s A (konstrukce: Gelfand – Najmark – Segal) ???????  Nekomutativní algebra Nebude možné sestrojit X tak, aby algebra funkcí na něm představovala danou nekomutativní algebru, neboť algebra funkcí je vždy komutativní.

Proč právě C*- algebra ? Základní schéma fyzikální teorie geometrický podklad X algebraické výpočty, derivování Klasické teorie (lokálně) kompaktní Hausdorffův prostor X  komplexní funkce spojité na X s obvyklou „supremovou“ normou a obvyklou involucí tvoří komutativní C*- algebru Kvantová teorie Hilbertův prostor  omezené lineární operátory (fyzikální veličiny) tvoří nekomutativní C*- algebru

C*- algebra: výčet struktur Algebraická struktura Involuce (sdružení) Topologická struktura norma  metrika  topologie Dodatečné podmínky - na algebraické operace (asociativita, jednička) - na involuci - na topologickou strukturu (spojitost operací) Reprezentace obecně omezené operátory v Hilbertově prostoru

C*- algebra: algebraická struktura Operace (struktura algebry) A sčítání … vektorový prostor nad C násobení … (asociativní, obecně nekomutativní) okruh s jedničkou, jedničku lze doplnit, pokud ji algebra neobsahuje: [,a]+[,b] = [+,a+b] [,a].[,b] = [, b+a+a.b], I = [1,0] příklad neasociativní a nekomutativní algebry Lieovy algebry: antikomutativita, Jacobiho identita

C*- algebra: involuce (sdružení) Involuce (involutivní algebra, * - algebra) A  a  a*A (a+b)*=a*+b*, (a.b)* = b*. a*, (a*)*= a a* ... sdružený k prvku a, a = a* … hermiteovský prvek * - ideál oboustranný vlastní *-podalgebra B  A a.b B , b.a B pro libovolné prvky aA, bB ideál nemůže obsahovat jedničku Faktorová algebra A/B

C*- algebra: topologická struktura Norma a metrika na algebře A  a  ||a||R ||a||  0, rovnost  a = 0 ||a+b||  ||a||+||b||, ||a|| = || ||a||, ||a.b||  ||a|| ||b||, ||I||=1 při rozšíření o jedničku právě jedno rozšíření normy ||[,a]|| = sup{||b+ab|| | ||b||1} … opět C*- algebra Banachova algebra úplnost vzhledem k normě, každou normovanou algebru A lze zúplnit (úplný obal B – Banachova algebra - obsahuje A jako hustou podalgebru) Topologická struktura … indukovaná normou ||.|| báze topologie: U(a,r)={bA | ||b - a|| < r}

C*- algebra: spojitost involuce Normovaná * - algebra dodatečná podmínka ||a*|| = ||a||  spojitost involuce C*- algebra Banachova *- algebra A s dodatečnou podmínkou ||a*a||=||a||2  ||a||  ||a*|| a ||a*||  ||a||  ||a*|| = ||a|| Příklad: komutativní algebra C (X) funkcí spojitých na kompaktním Hausdorffově prostoru X * … komplexní sdružení, ||f ||=supxX |f(x)|. lokálně kompaktní X … C0(X) … funkce zanedbatelné v nekonečnu … nemá jedničku

C*- algebra: příklady Příklad: operátory Nekomutativní algebra B(H) omezených lineárních operátorů na nekonečněrozměrném Hilbertově prostoru, * ... adjunkce, ||B||=sup{||B|| | H , ||||  1} Příklad a protipříklad: matice Nekomutativní algebra čtvercových matic Mn(C), T* = (TT)kompl.sduž a) ||T|| ... odmocnina z největší vlastní hodnoty matice T*T b) ||T|| = sup{Tij} ... nesplňuje podmínku C*- algebry Obě normy definují stejnou topologii na Mn(C).

C*- algebra: spektrum Spektrum prvku (a) = {C | (a-I)-1 neexistuje} Rezolventní množina prvku, rezolventa r(a)={C | (a-I) je invertibilní}, rezolventa a = (a-I)-1 Spektrální poloměr (a) = sup{ || |   (a) } v C*- algebře r(a) je otevřená, (a) je neprázdná uzavřená r(a)    (a-I)-1A analytická funkce (a)=||a|| … jediná norma jednoznačně daná alg. strukturou hermiteovské prvky … (a)  (-||a||, ||a||) pozitivní prvky … hermiteovské a (a)  [0, ), a=b*b

C*- algebra: morfismy * - morfismy lineární zobrazení algeber : A  B splňující navíc (a.b) = (a) . (b), (a*) = (a)* pro libovolné a,b  A Spojitost a norma morfismy C*- algeber jsou automaticky spojité ||(a)||  ||a|| pro libovolné a A , rovnost … izometrie * - izomorfismy bijektivní *- morfismy, -1 automaticky *- morfismus izometrické *- izomorfismy … stejná topologická i algebraická struktura algeber A a B

C*- algebra: reprezentace Reprezentace C*- algebry A dvojice (H , ) … H Hilbertův prostor *- morfismus : A  B(H)  je *- izomorfismus  je izometrie … věrná reprezentace Ireducibilní reprezentace H nemá netriviální invariantní podprostory vůči akci (A ) Cyklický vektor reprezentace   H … (A )() = { (a)() | a  A } je hustá v H příklad: A = Mn(C), (T)() = T.  , každý vektor   0 je cyklický

Stavy na C*- algebře Stav na C*- algebře lineární funkcionál f : A  C, pozitivní ... f(a*a)  0 ||f || = sup{|f(a)| | ||a||  1}, pro algebru s jednotkou f(I)=1  spojitost f a vlastnost ||f || = f(I) = 1 S(A) ={f | f stav na A}... konvexní, tf1+(1-t)f2 SA , 0t1 Čisté a smíšené stavy čisté stavy…extremální body množiny S(A) nejsou tvaru tf1+(1- t)f2 , 0 < t < 1 (např. vrcholy trojúhelníka)

Proč to tak je – ukázka druhá ||f||=1 ? To je přece zřejmé! Kolika kroků je ale třeba, než to ověříme? pozitivní prvek pA … p=a*a ... hermiteovský,(p)[0,)  f(p)0  f[r(b*b)I- b*b] 0  r(b*b)f(I) - f(b*b) 0 [a,b]  f(a*b)... pozitivní seskvilineární forma  |f(a*b)|2  f(a*a) f(b*b)  |f(b)|2  f(I)f(b*b)  f(I)2 r(b*b)  f(I)2 ||b||2  |f(b)|  f(I)||b|| přechod k supremům … ||f || = sup{|f(a)| | ||a|| 1} sup |f(b)|  f(I) sup||b||  ||f ||  f(I), pro stavy ||f||  1 naopak platí ||I||=1  f(I)  ||f || , tj. pro stavy 1  ||f|| opravdu ... nakonec je || f || = 1

Stavy na C*-algebře - topologie topologie na S(A) *- slabá topologie … nejhrubší topologie, ve které jsou spojité lineární funkcionály â: S(A)  C a  â izomorfsimus A  S(A)  S(A)dual kompaktnost S(A)…lokálně kompaktní a Hausdorffův I A S(A)…kompaktní

Konstrukce GNS – reprezentace Reprezentace asociované se stavy f  S(A ) … (Hf , f) Nf = {aA | f(a*a) = 0} Nf ... uzavřený levý ideál v A z f(a*a) = 0 neplyne a=0 … nutno faktorizovat skalární součin v A /Nf … (a+ Nf , b+Nf)  f(a*b)  C nezávisí na volbě reprezentantů a, b 0 (a)(b + Nf ) = a.b + Nf … omezený lineární operátor na A /Nf … nezávisí na volbě reprezentanta b zúplnění … Hf = úplný obal A /Nf … Hilbertův prostor f (a) B(Hf) … jediné rozšíření operátoru 0 (a) na omezený lineární operátor v Hilbertově prostoru Hf

Konstrukce GNS – reprezentace GNS – trojice … (f , Hf , f ) vektor f = I + Nf  Hf je cyklický … množina f (a)(f ) je hustá v Hf a platí (f , f (a)(f )) = f(a) pro lib. a  A ||f || = || f || = 1 Ireducibilita reprezentace GNS je ireducibilní  lib.   0 je cyklický  stav f je čistý, komutant množiny (A) ... {I | C} Ekvivalence reprezentací GNS trojice je určena až na unitární transformaci U : Hf  Hf , f = Uf , f (a) = Uf (a) U-1

Konstrukce GNS – reprezentace Izometrická reprezentace C*- algebry Pro každou C*- algebru A s jedničkou existuje izometrická reprezentace : A  B(H) na jistém Hilbertově prostoru. H =  Ha … a  A probíhá nenulové prvky algebry A (a , Ha , a) … GNS trojice odpovídající funkcionálu fa pozitivnímu s vlastností fa (a*a) = ||a||2 (a)() = {a (b)(a ) | 0  a  A } ,  = {a | 0  a  A } Existenční věta – nepraktická – prostor H „příliš velký“, reprezentace „příliš reducibilní“ .

Komutativní geometrie Komutativní GNS – konstrukce Každá komutativní C*- algebra A s jedničkou je izometricky *- izomorfní algebře C (X) spojitých funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru X. Charaktery Ireducibilní reprezentace komutativní C*- algebry jsou jednorozměrné (ve vícerozměrných H vždy existují netriviální invariantní podprostory – vlastních vektorů) existují lineární funkcionály f : A  C které jsou homomorfismy tj. f(a.b) = f(a) f(b)  f(I)=f(I2)  f(I)=1

Proč to tak je – ukázka třetí Jak víme, že ireducibilní reprezentace (H, ) jsou jednorozměrné ? Reducibilita operátoru (a) ... neexistence netriviálního invariantního podprostoru, tj. neexistence projektoru P, pro který P(a) = (a)P a (E-P)(a)= (a)(E-P) a PH a (E-P)H jsou invariantní podprostory v H Reprezentace je ireducibilní  komutant množiny (A ) je tvořen jen násobky identického operátoru E. Pro komutativní algebru A je (A ) podmnožinou komutantu  reprezentace je reducibilní s výjimkou, kdy je triviální. A to je právě pro dim H =1.

Komutativní geometrie Topologie na množině charakterů  topologie definovaná bodovou konvergencí: {f}  f  {f(a)}  f (a) báze V={g | g(a1)U1,..., g(ak) Uk, ajA, UjC} prostor charakterů  … lokálně kompaktní a Hausdorffův, A obsahuje I  je kompaktní (a=I, 1C  V= ) C*-algebra funkcí na  â:   f  â(f) = f(a)  C, ||â|| = sup{|f(a)| | a A}= ||a|| A    C(Â)  A izometrický izomorfismus

Proč to tak je – ukázka čtvrtá Jak souvisí kompaktnost prostoru charakterů s jednotkou algebry ? Obecně – prostor charakterů s topologií bodové konvergence je Hausdorffův (různé body lze oddělit disjunktními okolími) a lokálně kompaktní (každý bod má okolí s kompaktním uzávěrem) Jednotka v algebře  kompaktnost: Z každého otevřeného pokrytí celého prostoru ze vybrat konečné podpokrytí.

Proč to tak je – ukázka čtvrtá Jak oddělit body ? pro g, h  Â , g  h , existuje a A : g(a)h(a), pak v C…disjunktní okolí Ug,Uh,g(a)Ug,,h(a)Uh Wg ={fÂ | f(a1)U1 , ... , f(ak)Uk , f(a)Ug } Wh ={fÂ | f(b1)V1 , ... , f(am)Vm , f(a)Uh } gWg , hWh  Wg  Wh = Ø

Komutativní geometrie-jinak Ekvivalentní konstrukce  … prostor maximálních ideálů algebry A jádra ireducibilních reprezentací … maximální ideály v A f  … A = Ker f  C  Ker f … maximální ideál v A nechť I … maximální ideál, pak přirozená reprezentace A v A/I je ireducibilní  jednorozměrná  A/I  C faktorový homomorfismus A A/I lze ztotožnit s f přičemž I = Ker f Prostor maximálních ideálů s Jacobsonovou topologií je homeomorfní s  opatřeným Gelfandovou topologií.

Komutativní geometrie-příklad Příklad Y … (lokálně) kompaktní Hausdorffův prostor A = C(Y) … C*- algebra komplexních funkcí na Y a : C(Y)  y  a(y)  C norma ||a||=sup{|a(y)| | yY}, involuce ... a*(y) = a(y) Â ={ ŷ... homomorfismus | ŷ : C(Y)  a  ŷ (a)=a(y)C} Ker ŷ = {a  C(Y) | a(y) = 0} ... maximální ideál v C(Y) homeomorfismus ...  : Y  y  ŷ  Â Prostor Y a prostor charakterů C*- algebry jeho funkcí jsou topologicky ekvivalentní

Nekomutativní geometrie-příklad GNS-reprezentace algebry matic M2(C) komutativní podalgebra A = {T | diag (, )} charaktery f(T)=,g(T)= rozšíření na M2(C) F: M2(C)  C, F(I)=1  F11+F22=1 g(T)=a11 , f(T)=a22

Proč to tak je – ukázka pátá Jak víme, že F11+F22 = 1 ? Lineární zobrazení je určeno obrazy báze.

Nekomutativní geometrie-příklad Ireducibilní reprezentace přísluší čistým stavům f: M2(C)  C a g: M2(C)  C Faktorizující ideály g(T1*T1)=0, f(T2*T2)=0 N1 ={T1M2(C)| a11=a21=0}, N2 ={T22M2(C)|a12=a22=0}

Nekomutativní geometrie-příklad Asociované Hilbertovy prostory H1 =M2(C)/N1 = {T1 | a11= x1 , a21= x2 , a12= a22 =0}  C2 H2 =M2(C)/N2 ={T2 | a11= a21= 0 , a12= y1 , a22 = y2}  C2 Skalární součin (X , X’) = x1* x1’+ x2* x2’ (Y , Y’) = y1* y1’+ y2* y2’

Nekomutativní geometrie-příklad Reprezentační morfismy a cyklické vektory 1: H1  T1  1(T1)  H1 , 1 … x1 = 1, x2 = 0 2: H2  T2  2(T2)  H2 , 2 … x2 = 0, x2 = 1

Nekomutativní geometrie-příklad Ekvivalence C*-algebra M2(C) má jedinou ireducibilní reprezentaci. Tato reprezentace je dvojrozměrná. Reprezentace C*-algebry M2(C) odpovídající čistým stavům f a g jsou ekvivalentní.

Ne-Komutativní omluva závěrem Fyzikům (a některým matematikům) Vím, že jste zklamaní, že jste dnes neviděli žádnou přímou fyzikální aplikaci. Algebra M2(C) však má velmi blízko ke spinorům. Matematikům (a některým fyzikům) Vím, že to bylo příliš triviální. Opomíjet triviální příklady je však špatný zvyk, který nás vzdaluje od pochopení.