STATISTIKA (PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA) Ivan Kolomazník A851 Katedra matematiky a deskriptivní geometrie – 714

Literatura Otipka, P., Šmajstrla,V.: Pravděpodobnost a statistika. Skriptum VŠB, Ostrava 2006. (http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/) Pavelka,L., Doležalová,J.: Pravděpodobnost a statistika. Skriptum VŠB, Ostrava 2005

Požadavky pro udělení zápočtu Účast na cvičení je povinná, maximálně přípustná omluvená neúčast je 20%. Povinné absolvování testů, každý test je možno jedenkrát opakovat (max. 15 bodů). Odevzdání programů v požadovaném termínu a v předepsané úpravě (5 bodů).

Požadavky ke zkoušce Zkouška se skládá z části písemné (praktické - příklady) a části ústní (teoretické). Písemná část (praktická) se skládá z pěti příkladů, maximální počet bodů je 60, minimální nutný bodový zisk je 25 bodů. Ústní část (teoretická) obsahuje otázky z teorie v odpřednášeném rozsahu, maximální počet bodů 20, minimální nutný bodový zisk je 5 bodů. Celkem společně s hodnocením ze cvičení je možno získat 100 bodů. Hodnocení 100-86 výborně, 85-66 velmi dobře, 65-51 dobře, 50-0 nevyhověl.

Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus činnost, která se uskutečňuje za jistého, předem stanoveného systému podmínek; realizaci tohoto systému podmínek lze přitom teoreticky neomezeně opakovat výsledek závisí na náhodě výsledek nejsme schopni s jistotou předpovědět výsledek je ovlivněn řadou drobných ne úplně zjistitelných nebo nezjistitelných činitelů množinu všech možných výsledků náhodného pokusu označujeme  Příklady: hod kostkou, sledování doby bezporuchového chodu stroje, sledování počtu výskytu události během definovaného časového intervalu.

Náhodný jev výsledek náhodného pokusu náhodné jevy značíme velkými latinskými písmeny z počátku abecedy A,B,C, . . . jev A je podmnožina množiny  celá množina  = I je jev jistý prázdná množina Ø je jev nemožný Příklady: hod kostkou, sledování doby bezporuchového chodu stroje, sledování počtu výskytu události během definovaného časového intervalu.

Elementární jev prvky prostoru Ω značíme ω a mluvíme o elementárních jevech ωi, i = 1, 2, . . . jsou možné výsledky náhodného pokusu ωi jsou minimální jevy různé od jevu nemožného elementární jevy jsou párove neslucitelné (ω1, ω2 různé elemetární jevy, pak ω1∩ ω2 = Ø) elementární jevy tvoří úplný systém neslučitelných jevů každý jev A lze vyjádřit jako množinu elementárních jevů ( A = {ω1, ω2, . . . } )

Operace s jevy A  B jev A je podjevem jevu B A = B shodné jevy Ᾱ jev opačný, doplněk jevu A = B Ᾱ A

Operace s jevy A B A B (A ∩ B) součin (průnik) jevů, jev A a současně jev B A+B (A  B) součet (sjednocení) jevů, jev A nebo jev B A - B rozdíl jevů A B A B

Definice Náhodné jevy se nazývají neslučitelné (disjunktní), jestliže platí A  B = Ø. Jevy A1, A2, … , An tvoří systém neslučitelných jevů, je-li Ai  Aj = Ø pro všechna i  j. Systém neslučitelných jevů se nazývá úplný, je-li A1+ A2 + A3 + … An = I = 

Pravděpodobnost Reálnou funkci P, která přiřazuje každému jevu A reálné číslo P(A) nazveme pravděpodobnost, platí-li: P(A)  0 P(Ᾱ ) = 1 – P(A) P(A1+ A2 + A3 + … ) = P(A1) + P(A2)+ P(A3)+ … kde jevy A1, A2, A3, … jsou po dvou neslučitelné. Z této definice se dají odvodit další vlastnosti pravděpodobnosti: P(I) = 1, P(Ø) = 0 0  P(A)  1 A  B  P(A)  P(B) P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Klasická definice pravděpodobnosti Nechť Ω = {ω1, ω2, ω3, . . . , ωn } množina elementárních jevů - možných výsledků pokusu je konečná a neprázdná (0 < n < ), každý jev A se skládá z m ( m < n ) elementárních jevů ωi – výsledků pokusu příznivých jevu A, pak . Pro elementární jevy musí platit: P(ω1) = P(ω2) = . . . = P(ωn) =

Geometrická definice pravděpodobnosti Definice geometrické pravděpodobnosti je založena na porovnávání ploch, objemů nebo délek různých geometrických útvarů. Nechť náhodný pokus se základním prostorem  má nekonečně mnoho výsledků a každý z těchto výsledků má stejnou možnost nastat. Potom pravděpodobnost P(A) náhodného jevu A z množiny  definujeme jako podíl: kde: |A| je míra geometrického útvaru, reprezentujícího náhodný jev A a |S| je míra geometrického útvaru, reprezentujícího základní prostor S.

Statistická definice pravděpodobnosti Uvažujeme náhodný pokus a sledujme náhodný jev A, který může nastat po provedení pokusu . Zopakujme náhodný pokus n-krát za stejných podmínek. Nechť m udává, kolikrát v dané sérii pokusů nastal jev A. Poměr nazýváme relativní četností jevu A. Jestliže s rostoucím počtem opakování pokusu se relativní četnost jevu A blíží určitému číslu, potom toto číslo můžeme považovat za statistickou pravděpodobnost daného jevu. Statistickou pravděpodobnost jevu A tak definujeme jako limitu podílu:

Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost uskutečnění jevu A za předpokladu, že nastal jev B , se zapisuje P(A/ B) a nazývá se podmíněná pravděpodobnost. Je rovna: Poznámka: Vzorec můžeme upravit na tvar P(A B) = P(A/B) P(B) . S ohledem na komutativnost součinu jevů můžeme také psát P(A B) = P(B/A) P(A) .

Podmíněná pravděpodobnost Příklad: Dva dělníci vyrábějí stejný druh výrobků. První vyrábí 60 % a druhý 40 % denní produkce. Mezi výrobky prvního je 10 % zmetků a u druhého 5 % zmetků. Z produkce určitého dne vybereme náhodně jeden výrobek. Určete pravěpodbnost toho, že vybraný výrobek je zmetek vyrobený prvním dělníkem, zmetek vyrobený druhým dělníkem, zmetek.

Podmíněná pravděpodobnost Řešení: Označme jevy A … byl vybrán výrobek prvního dělníka, Ᾱ … byl vybrán výrobek druhého dělníka, B … byl vybrán zmetek. Podle podmínek zadání platí: P(A) = 0,6 P(Ᾱ) = 0,4 , P(B / A) = 0,1 P(B / Ᾱ) = 0,05. ad a) P(B A) = P(B / A)  P(A) = 0,1  0,6 = 0,06 ad b) P(B A) = P(B / A)  P(A) = 0,05  0, 4 = 0,02 ad c) Platí B = B  A + B  Ᾱ (byl vybrán zmetek vyrobený prvním dělníkem nebo byl vybrán zmetek vyrobený druhým dělníkem) Jevy BA a B Ᾱ jsou neslučitelné (disjunktní), tedy P(B) = P(BA + B Ᾱ) = P(B  A) + P(B  Ᾱ) = 0,06 + 0,02 = 0,08

P(A/ B) = P(A) nebo P(B / A) = P(B) . Nezávislé jevy Dva jevy A , B se nazývají nezávislé, jestliže p-st jednoho z nich nezávisí na tom, zda se druhý jev uskutečnil či neuskutečnil, tj. platí-li P(A/ B) = P(A) nebo P(B / A) = P(B) . Jevy A , B z nichž jeden má p-st rovnu nule jsou nezávislé. Věta: Dva jevy A , B jsou nezávislé právě tehdy, když P(A  B) = P(A)  P(B) .

Opakované pokusy Nezávislé pokusy Mějme náhodný pokus, jehož výsledkem je jev A. Opakujeme tento pokus n- krát po sobě při zachování stejného systému podmínek. Pokud pravděpodobnost jevu A při každém opakování nezávisí na výsledcích předcházejících pokusů, hovoříme o nezávislých pokusech (Bernoulliho posloupnosti nezávislých pokusů - např. hod kostkou). Závislými pokusy pak nazveme takové opakované pokusy, při nichž je pravděpodobnost "nastoupení" jevu A v určitém pokusu závislá na výsledcích předchozích pokusů (např. výběry z osudí bez vracení). Nezávislé pokusy Věta: Má-li jev A při každém pokusu stejnou p-st P(A) = p , pak p-st Pk (A), že se jev A v Bernoulliho posloupnosti n nezávislých pokusů uskuteční právě k krát, je dána vzorcem:

Nezávislé pokusy Věta: Má-li jev A při každém pokusu stejnou p-st P(A) = p , pak p-st Pk (A), že se jev A v Bernoulliho posloupnosti n nezávislých pokusů uskuteční právě k krát, je dána vzorcem: pk pravděpodobnost, že jev A nastal právě v k pokusech (1-p)n-k pravděpodobnost, že jev A nenastal právě v n - k pokusech jev A může nastat celkem tolika způsoby

Závislé pokusy Mějme soubor N prvků, z nichž M má jistou vlastnost. Vybereme náhodně n prvků, přičemž vybrané prvky nevracíme. Jaká je p-st jevu A, že mezi vybranými je právě k prvků takových, že mají sledovanou vlastnost. N počet všech prvků M počet těch, které mají sledovanou vlastnost N −M počet těch, které nemají sledovanou vlastnost n počet vybraných k počet vybraných, které mají sledovanou vlastnost n − k počet vybraných, které nemají sledovanou vlastnost počet případů možných počet možností jak vybrat k prvků, které mají sledovanou vlastnost počet možností jak vybrat n − k prvků, které nemají sledovanou vlastnost počet případů příznivých Hledaná pravděpodobnost: