A. Soustavy lineárních rovnic.

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Matematická analýza Lineární algebra Diferenciální rovnice
Advertisements

Téma 5 Metody řešení desek, metoda sítí.
Komplexní čísla. Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová,
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
VEKTOR A POČETNÍ OPERACE S VEKTORY
Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti
Práce s vektory a maticemi
MATLAB LEKCE 7.
Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín
Rovnice roviny Normálový tvar rovnice roviny
Algoritmy I Cvičení č. 5.
Rozhodněte o její pohyblivosti (určete počet stupňů volnosti).
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Lineární rovnice se dvěma neznámými
Sylabus V rámci PNV budeme řešit konkrétní úlohy a to z následujících oblastí: Nelineární úlohy Řešení nelineárních rovnic Numerická integrace Lineární.
Lineární algebra.
 př. 5 výsledek postup řešení Zjistěte, zda body A[3;-1], B[-1;5], C[2;-4] leží v přímce.
Matice D.: Matice je systém m .n čísel, uspořádaný do m řádků a n sloupců. Je to jenom symbol, nemá to žádnou číselnou hodnotu! Označení: řádek, řádkový.
POZNÁMKY ve formátu PDF
Vektory v geometrii a ve fyzice
Gaussova eliminační metoda
obecný rovinný pohyb tělesa analytické řešení pólová konstrukce
Analýza napjatosti Plasticita.
Vektory Práce s vektory Př.: Mějme dva vektory z Udělejme kombinace
Analytická geometrie pro gymnázia
Inverzní matice potom Že je to dobře:.
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matice.
Způsob řešení soustavy lineárních rovnic
Soustavy Lineárních rovnic
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Diferenciální rovnice
Funkce více proměnných.
Oskulační rovina křivky
Odvození matice tuhosti izoparametrického trojúhelníkového prvku
Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) –
Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) –
FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce
Parametrické vyjádření přímky v prostoru
Vektorové prostory.
Diferenciální geometrie křivek
Lineární programování - charakteristika krajních bodů
8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny
Polohové úlohy 2 Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková.
Matice přechodu.
Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie
(řešení pomocí diskriminantu)
Kvadratické nerovnice
Soustavy lineárních rovnic. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b.
Obecná rovnice přímky v rovině
Parametrické vyjádření přímky v rovině
Ryze kvadratická rovnice
VEKTORY.
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Matice Přednáška č.4. Definice: Soubor prvků nazýváme maticí typu i-tý řádek j-tý sloupec prvky matice.
EMM21 Ekonomicko-matematické metody 2 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík,CSc.
A. Soustavy lineárních rovnic. y = 2x + 5 2x – y = -5 a 1 x 1 + a 2 x 2 = b a 1 = 2 a 2 = -1 b = - 5 x + y = 5 3x + 3y = 18 x + y = 5 3x + 3y = 15 x +
KIV/ZD cvičení 7 Tomáš Potužák.
A. Soustavy lineárních rovnic.
Matematika pro ekonomy Jaro 2012 Ivana Vaculová
Soustava tří lineárních rovnic Řešení Gaussovou eliminační metodou
Soustava tří lineárních rovnic Řešení Gaussovou eliminační metodou
Ryze kvadratická rovnice
1 Lineární (vektorová) algebra
Funkce více proměnných.
Lineární funkce a její vlastnosti
Střední škola obchodně technická s. r. o.
Definiční obory. Množiny řešení. Intervaly.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Analytická geometrie je část geometrie, která v euklidovské geometrii zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických.
KŘIVKY Cílem této přednášky není prezentovat kompletní teorii vektorových funkcí a diferenciální geometrii křivek, ale nastínit jen tu část, která nám.
Transkript prezentace:

A. Soustavy lineárních rovnic. y = 2x + 5 2x – y = -5 a1x1 + a2x2 = b a1 = 2 a2 = -1 b = - 5 x + y = 5 3x + 3y = 18 x + y = 5 3x + 3y = 15 x + y = 5 x + 3y = 18 žádné řešení nekonečně mnoho řešení jedno řešení

x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 vektory koeficientů matice 3 x 3 koeficientů x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 rozšířená matice soustavy 3 x 4 Ekvivalentní úpravy (tj. množina řešení se nemění): výměna řádků násobení řádků konstantou přičtení násobku řádku k jinému řádku

x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 k 2. rovnici přidám (-2)-násobek 1. rovnice k 3. rovnici přidám (-3)-násobek 1. rovnice x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3x + 6y – 5z = 0 2. rovnici násobím 1/2 x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3y – 11z = -27 k 3. rovnici přidám (-3)-násobek 2. rovnice x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 3y – 11z = -27

x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 -1/2z = -3/2 3. rovnici násobím -2 x + y + 2z = 9 y – 7/2z = -17/2 z = 3 k 1. rovnici přičtu (-1)-násobek 2. rovnice x + 11/2z = 35/2 y – 7/2z = -17/2 z = 3 k 1. rovnici přičtu (-11/2)-násobek 3.rovnice a k 2. rovnici přičtu (7/2)-násobek 3.rovnice x + = 1 y = 2 z = 3

B. Gaussova – Jordanova eliminace. Smyslem je převést rozšířenou matici soustavy na redukovanou „stupňovitou“ matici: B1. Gaussova eliminace. jestliže řádek neobsahuje pouze nuly, pak první nenulový prvek zleva je 1 (vedoucí 1) všechny řádky obsahující pouze nuly jsou umístěny dole jako poslední jestliže dva následující řádky neobsahují pouze nuly, pak vedoucí 1 u dolního je vpravo od vedoucí 1 u horního. splňuje body 1-3 z = 5 y = 2 – 6z = -28 x = 7 – 3z – 4y = 104 matice soustavy matice ve stupňovitém tvaru B2. Gaussova - Jordanova eliminace. každý sloupec, který obsahuje „vedoucí“ jedničku, má na ostatních místech nuly z = 5 y = - 28 x = 104 matice v redukovaném stupňovitém tvaru

Příklad. (soustava 3 rovnic s 5 proměnnými) a) vytvoření stupňovité matice (Gaussova eliminace) matice ve stupňovitém tvaru b) Zpětný chod (Gauss – Jordanova eliminace) x3 = 1, x5 = 2 x1 = u x2 = v x4 = 7/3 -2v/3 – u/3 soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení

C. Homogenní soustavy lineárních rovnic. Jedná se o soustavy lineárních rovnic s nulovou pravou stranou. Příklad. jedničky, které nejsou vedoucí (nejsou první zleva v řádku) vedoucí jedničky matice je v redukovaném stupňovitém tvaru, protože jedničky v 2. a v 5. sloupci nejsou vedoucí 2 možnosti: x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 0 (pro s = t = 0) triviální řešení nekonečně mnoho řešení pro s nebo t různé od 0 x5 = t x4 = 0 x3 = -t x2 = s x1 = -s -t x4 = 0 x3 + x5 = 0 x1 + x2 + x5 = 0 Řešení homogenní soustavy rovnic (m rovnic s n neznámými): má vždy triviální řešení pokud m < n, pak má soustava nekonečně mnoho řešení

Transponováním matice A vzniká matice B. D. Operace s maticemi. A má 3 řádky a 2 sloupce , je to matice 3 x 2 A = B má 2 řádky a 3 sloupce, je to matice 2 x 3 B = Řádky matice A = sloupce matice B, B = AT, A = BT. Transponováním matice A vzniká matice B. Transponováním matice B vzniká matice A. Násobení matice A konstatou c znamená násobení každého prvku matice A = cA =

Sčítání (odčítání) matic znamená sčítání (odčítání) příslušných prvků. A + C = = Sčítání (odčítání) matic znamená sčítání (odčítání) příslušných prvků. Matice musejí být stejného typu (v příkladu jsou 3 x 2) Nulová matice má všechny své prvky rovny 0 A = B = AB = = = Součin matic AB je možno provést pouze v případě, že matice A je typu m x n a matice B je typu n x p. Výsledná matice AB je pak typu m x p.

Jednotková matice E je čtvercová matice, Jestliže i-tý řádek matice A obsahuje prvky ai1, ai2, ..., ain a j-tý sloupec matice B obsahuje prvky b1j, b2j, ... ,bnj, pak prvek cij matice AB tvar cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj Jednotková matice E je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále 1 a všude jinde 0. Je-li A čtvercová matice a E je jednotková matice stejného typu jako A, pak AE = EA = A. Pro čtvercové matice A, B obecně platí AB ≠ BA, záleží tedy na pořadí násobení. = = Příklad. A = B = E = AB = BA = E, kde E je jednotková matice.

Nechť A je čtvercová matice Nechť A je čtvercová matice. Matice A-1, pro kterou platí A-1A = AA-1 = E, kde E je jednotková matice stejného typu jako A, se nazývá inverzní matice k A. Matice A, ke které existuje A-1, se nazývá regulární. Pokud existuje A-1, je určena jednoznačně. Pokud ke čtvercovým maticím A, B existují matice inverzní, pak (AB)-1 existuje a (AB)-1 = B-1A-1. Metoda nalezení inverzní matice. Dá se ukázat, že je platný následující postup: Na rozšířenou matici (A, E), kde A je čtvercová regulární matice a E jednotková matice stejného typu, uplatňujeme opakovaně řádkové úpravy definované při Gaussově eliminačním algoritmu, dokud nedostaneme rozšířenou matici (E, B). Pak B = A-1. Příklad. A = (A,E) = Řádkové úpravy provádíme na celou matici 3 x 6.

Následující tvrzení jsou ekvivalentní: matice A je regulární ~ ~ ~ ~ ~ A-1 = Následující tvrzení jsou ekvivalentní: homogenní soustava rovnic má pouze triviální řešení matice A je regulární

E. Nehomogenní soustavy lineárních rovnic. Jedná se o soustavy lineárních rovnic s nenulovou pravou stranou. Nechť A je regulární (čtvercová, n x n) matice, nechť b, x jsou nenulové (n x 1) matice (vektory). Řešením rovnice Ax = b je x = A-1b. Pro každý Vektor b toto řešení existuje a je jediné. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: homogenní soustava rovnic má pouze triviální řešení matice A je regulární Pro každý vektor b má rovnice Ax = b právě jedno řešení tvaru x = A-1b. Determinant matice A (det A) je číslo, pro které platí: det A = 0 právě když A není regulární, tj. právě když A-1 neexistuje. det A ≠ 0 právě když A je regulární, tj. právě když A-1 existuje. Jestliže A = , pak det A = a11a22 – a12a21 minus Jestliže A = plus pak det A = a11a22a33 +a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12

Následující tvrzení jsou ekvivalentní: homogenní soustava rovnic má pouze triviální řešení matice A je regulární Pro každý vektor b má rovnice Ax = b právě jedno řešení tvaru x = A-1b. det A ≠ 0. Výpočet determinantu pro obecnou čtvercovou matici A přesahuje rámec této přednášky. (Cramerovo pravidlo). Řešení systému lineárních rovnic Ax = b, kde A je typu n x n a det A ≠ 0 je tvaru x1 = det A1/det A, x2 = det A2/det A, …, xn = det An/det A, kde Aj vznikne z matice A nahrazením j-tého jejího sloupce sloupcem b.

Příklad. x1 + 2x3 = 6 -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 - x1 - 2x2 + 3x3 = 8 A = A1 = A2 = A3 = x1 = det A1/ det A = -40/44 = -10/11 x2 = det A2/ det A = 72/44 = 18/11 x3 = det A3/ det A = 152/44 = 38/11

F. Výpočet inverzní matice pomocí determinantu. Máme regulární čtvercovou matici A s prvky aij, i = 1, …, N, j = 1, …, N. Prvky matice A-1 označíme bij. Platí , kde Aji je čtvercová matice, která vznikne z matice A vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce. Poznámka: Pozor na pořadí indexů ve vzorci!! Máme bij, ale Aji

Příklad. Nechť jsou dány matice A, B. Vypočtěte matici X, jestliže A.X = B Řešení. X = A-1.B . Vypočteme prvky inverzní matice. det A = 5

G. Analytická geometrie. Rn = {[x1, x2, ..., xn] T; xi  R, i = 1, 2, ..., n}, prvky lze chápat jako vektory, speciálně R2 = {[x1, x2] T; xi  R, i = 1, 2} u Příklad. 3 vektor u  R2 1 vektor opačný -u  R2 -3 3 -1 1

násobení reálným číslem. Operace s vektory. Sčítání násobení reálným číslem. (1, 2) (-2, 1) (-3, 1) k je reálné číslo (jednosložkový vektor = skalár) (3, 6) (1, 2)

Délka vektoru. x =(x1, x2, ..., xn) T. Délka (velikost) vektoru je reálné číslo Jestliže x má délku | x |, pak y = x / | x | má délku | y | = 1. y se nazývá normalizovaný vektor. Příklad. Normalizujte vektor Normalizovaný vektor Zkouška. x =(x1, x2, ..., xn) T, y =(y1, y2, ..., yn) T. Skalární součin

Odchylka vektorů. x =(x1, x2, ..., xn) T, y =(y1, y2, ..., yn) T. Odchylka vektorů Dva vektory x a y jsou kolmé, jestliže (x, y) = 0. Poznámka. Jestliže 2 vektory jsou kolmé, pak cos a = 0, kde a je jejich odchylka. Proto (x, y) = 0. Orientace úhlu odchylky vektorů je proti směru hodinových ručiček. a

Přímka v R2. Rovnici přímky y = px + q lze přepsat ve tvaru ax + by + c = 0. Pak vektor u = (-b, a) je směrový vektor přímky. vektor n = (a, b) je směrový vektor přímky kolmé k ax + by + c = 0. Říkáme mu normálový vektor k přímce. (n je kolmý k u.) Příklad. n . u = n1u1 + n2u2 = -ab + ab = 0. Normálový a směrový vektor přímky jsou kolmé vektory. ax + by + c = 0 n = (a, b) normálový vektor přímky u = (-b, a) směrový vektor přímky [0, 0]

Příklad. Přímka p prochází body [1, 2] a [3, 5]. Napište její rovnici a rovnici přímky q, která je k ní kolmá a která prochází bodem [1, 2]. směrový vektor p je u = (-2, -3) = (-b, a). p: -3x +2y + c = 0 Zbývá určit c. Přímka prochází bodem [1, 2]. -3 + 4 + c = 1 + c = 0, c = -1 p: -3x +2y - 1 = 0 Normálový vektor n = (-3, 2). q: 2x + 3 y + c = 0 Přímka prochází bodem [1, 2]. 2 + 6 + c = 8 + c = 0, c = -8 q: 2x + 3 y - 8 = 0 Parametrická rovnice přímky v R2 je parametrická rovnice přímky procházející bodem [x0, y0] se směrovým vektorem u, t je reálné číslo.

Vzájemná poloha přímek v rovině. Přímky v rovině mohou být rovnoběžné, nebo různoběžné. Nechť přímka p prochází bodem A = [a1, a2] a její směrový vektor je u = (u1, u2), přímka q prochází bodem B = [b1, b2] a její směrový vektor je v = (v1, v2). Přímky p a q jsou rovnoběžné, jestliže existuje konstanta k taková, že u = kv, neboli u1 = kv1 a u2 = k v2, rovnoběžné různé, jestliže libovolný bod na p neleží na q, rovnoběžné stejné, jestliže všechny body přímky p jsou body přímky q. různoběžné, jestliže neexistuje konstanta k tak, že u = kv. Příklad. p: 3x + 2y + 1 = 0, q: -6x - 4y +10 = 0. Směrové vektory u = (-2, 3), v = (4, -6). Zvolíme k = -1/2 a platí (-2, 3 ) = -1/2(4, -6). Přímka p prochází bodem [0, -1/2]. Dosazením do rovnice pro q je zřejmé, že tento bod neleží na přímce q. Přímky jsou tedy rovnoběžné různé.

Příklad. Přímky p : x = 1 + 2t, y = 2 – t, q: x + 3y + 1 = 0. Zjistěte vzájemnou polohu obou přímek. Napište rovnice přímek kolmých k těmto přímkám v bodě x = 0. Směrový vektor přímky p je u = (2, -1), směrový vektor přímky q je v = (-3, 1). Jestliže jsou přímky rovnoběžné, pak existuje konstanta k tak, že 2 = -3k, -1 = k. Obě tyto rovnice nemohou být současně splněny. Přímky jsou tedy různoběžné. Směrový vektor kolmice k p je w = (w1, w2). Pro směrový vektor přímky p a směrový vektor kolmice k p musí platit, že jejich skalární součin je roven 0. Tedy 2w1-w2 = 0. Nejjednodušší je zvolit kolmý vektor w = (-u2, u1) = (1, 2), ale například také (u2, -u1) nebo všechny k-násobky w. Všechny tyto vektory vyhovují podmínce kolmosti, tj. w u = 0. Kolmice k přímce p v bodě [0, 5/2] je tedy x = t, y = 5/2 + 2t. Směrový vektor kolmice ke q je z = (1, 3) (nebo jeho libovolný k-násobek) a kolmice prochází bodem [0, -1/3]. Můžeme tedy psát rovnici kolmice 3x - y + c = 0, 0 + 1/3 + c = 0, c = -1/3. Tedy kolmice ke q má tvar 3x + y – 1/3 = 0 nebo parametricky x = t, y = -1/3 + 3t.

Příklad. Napište rovnici tečny a normály ke křivce y = x 2 + 3 v bodě x = 1. x = 1, y = 4. Směrový vektor je dán derivací funkce v bodě 1. Derivace v bodě x = 1 je rovna 2x = 2. Směrový vektor tečny tedy je (1, 2). Parametrická rovnice tečny Neparametrická rovnice = vektorová rovnice přímky (1, 2) = (-b, a). Rovnice 2x – y + c = 0, 2 – 4 + c = - 2 + c = 0, c = 2. 2x – y + 2 = 0 Normálový vektor (2, -1) = (a, b) je směrový vektor normály. Rovnice -x - 2y + c = 0, -1 - 8 + c = -9 + c = 0, c = +9 x + 2y – 9 = 0.

Příklad. K přímce p: y = 3x v bodě x = 1 je vedena kolmice, která protíná osu x v bodě [K, 0]. Vypočtěte K. p : 3x – y = 0, směrový vektor (-b, a) = (1, 3), x = 1, y = 3. Pro normálu je (1, 3) = (a, b). Rovnice normály je x + 3y + c = 0, 1 + 9 + c = 10 + c = 0 x + 3y -10 = 0. y = 0, pak x = K = 10.

Úkol k procvičení. Trojúhelník má vrcholy v bodech P = [0, 0], Q = [4, 0], R = [4, 3]. Vpočtěte délku všech 3 stran trojúhelníka rovnice 3 těžnic, jejich délku a souřadnice těžiště.

Aplikace (Matice Leslie). Rozmnožování řady druhů je věkově závislé. Předpoklady. Sledujeme samice v populaci. Předpokládáme, že k množení dochází jen jednou za sezónu Na konci sezóny spočítáme potomky každého jedince. Jedinci stáří 4 roky a starší neexistují. Označme Nx(t ) počet samic věku x v čase t, Předpokládáme: 40% jedinců věku 0 30% jedinců věku 1 10% jedinců věku 2 jsou naživu v okamžiku sčítání jedinců na konci sezóny

N(t + 1) = L N( t ) Leslie matice Nechť N0( t ) = 1000, N1( t ) = 200, N2( t ) = 100, N3( t ) = 10

Obecně: Pi část samic stáří i, která přežije do následující sezóny. Fi průměrný počet živých potomků samice stáří i na 1 samici.

Aplikace (Lineární regrese). Pro hodnoty nezávisle proměnné x1, x2, …, xn měřím veličinu y =(y1, y2, … , yn )T Předpokládám, že nezávisle proměnná není zatížena chybou měření a y je zatíženo chybou měření. x nadmořská výška y délka vegetační sezóny Hledám přímku, která by “nejlépe odpovídala“ měřením.

Součet čtverců odchylek bodů přímky a měření Odchylky přímky a dat: Některé jsou kladné, Některé jsou záporné Některé jsou nulové. Součet čtverců odchylek bodů přímky a měření kvadratická funkce 2 proměnných lineární funkce 2 proměnných

Příklady k procvičení. Gaussovým, Gauss-Jordanovým algoritmem a Cramerovým pravidlem řešte soustavy Vypočítejte AB-BA, pokud

Zjistěte, zda je matice regulární nebo singulární Řešte rovnici Dokažte, že x = A je řešením rovnice , kde Je dán trojúhelník ABC, kde A = [1, 1], B = [2, 4], C = [5,-1]. Zjistěte výpočtem, zda je trojúhelník pravoúhlý. Určete V průsečík výšek v trojúhelníku. Určete T průsečík těžnic v trojúhelníku. Napište parametrické a obecné rovnice stran trojúhelníka, všech jeho výšek a těžnic. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem B a která je rovnoběžná se stranou AC trojúhelníka. Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem C a která je rovnoběžná se stranou AB trojúhelníka. Vypočtěte souřadnice bodu D, který je průsečíkem přímek z bodů 5. a 6. Vypočtěte obvod a obsah rovnoběžníka ABDC.