Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_85 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:2.E/ druhý ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Funkce Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Monotónnost funkce Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Práce obsahuje potřebnou teoretickou část, ale především příklady. Danou vlastnost se učí žáci určovat z grafu (prezentace ve spojení s pracovními listy) i početně. Klíčová slova:Rostoucí funkce; Klesající funkce; Konstantní funkce; Neklesající funkce; Nerostoucí funkce Druh učebního materiálu:pracovní list, prezentace

I) MONOTÓNNOST FUNKCE Mezi monotónní funkce řadíme funkce: rostoucí klesající neklesající nerostoucí konstantní ryze monotónní funkce x y 0 f f f f f

f(x1)f(x1) f(x2)f(x2) x1x1 x2x2 Funkce je rostoucí na D f  pro libovolná čísla x 1  x 2  D f platí f (x 1 )  f (x 2 ) například: D f = R volíme: x = 2; 3 z grafu f (x): f (2) = 1 f (3) = 2 2  3  f (2)  f (3) 0x y –1 f Narůstají-li hodnoty argumentu, narůstají také funkční hodnoty.

f(x1)f(x1) f(x2)f(x2) x1x1 x2x2 Funkce je klesající na D f  pro libovolná čísla x 1  x 2  D f platí f (x 1 )  f (x 2 ) například: D f = R volíme: x = 1; 3 z grafu f (x): f (1) = 1 f (3) = –1 1  3  f (1)  f (3) 0x –1 f y Narůstají-li hodnoty argumentu, funkční hodnoty klesají.

Příklad: Určete na základě grafu monotonii funkcí. f... klesající f... nerostoucí f... rostoucí a) x y ff f b) x y není funkce f x d) y e) x y f... konstantní f f) x y f... nelze jedno- značně rozhodnout c) y x

f... neklesající f... rostoucí f... nelze jedno- značně rozhodnout f f f není funkce g) x y h) x y j) x y i) x y f f... klesající k) x y f... rostoucí l) x y f

f... nelze jedno- značně rozhodnout f... nerostoucí f není funkce f f... konstantní f x y q) x y m) x y f... klesající f o)n) x y není funkce p) x y r) x y

Příklad: Dokažte monotonii funkcí Daná funkce je rostoucí.

Daná funkce je klesající. Daná funkce je rostoucí.

Daná funkce je klesající.

Na D 1 je funkce klesající. x  (– ∞; 0)x  (0; ∞) Daná funkce je na celém definičním oboru klesající. Na D 2 je funkce klesající.

Na D 1 je funkce rostoucí. x  (– ∞; –1)x  (–1; ∞) Daná funkce je na celém definičním oboru rostoucí. Na D 2 je funkce rostoucí. Znak nerovnosti vždy měníme, hledáme-li převrácenou hodnotu, násobíme-li záporným číslem. Odvození pro interval (–1; ∞) je tudíž naprosto stejné jako v intervalu (– ∞; –1)