Lineární rovnice a nerovnice, slovní úlohy řešené pomocí lineárních rovnic

Lineární rovnice Lineární rovnice s jednou neznámou máj vzorec ax + b=0 kde a,b R, se nazývá lineární rovnice (s neznámou x) Lineární se často nazývají i mnohé další rovnice, které lze snadno na rovnici tvaru ax+b=0 převést. Abychom mohli pracovat s rovnicemi, musíme znát ekvivalentní úpravy

Ekvivalentní úpravy Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice Přičtení stejného násobku neznáme k oběma stranám rovnice Vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem (stručně řečeno: vynásobení rovnice nenulovým číslem „ekvivalentní“ úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice

Pojďme si ukázat první příklad lineární rovnice ZADANÍ ZNÍ: Najděte kořen rovnice a proveďte zkoušku První krokem jsme si dali x k sobě. Následným krokem osamostatníme x, tím že ho vytkneme.

Dále jen převedeme a rozšíříme rovnici, abychom se vyvarovali odmocninám ve jmenovateli Zkouška platí: Označíme-li vypočítaný kořen

V tomto příkladě bylo řešením lineární Rovnice s jednou neznámou právě jedno číslo. Nemusí tomu být tak vždy. Mohou nastat ještě dva příklady: Lineární rovnice nemusí mít žádné řešení nebo jejím řešením může být každé reálné číslo.

Hned si názorně předvedeme na příkladu Řešte rovnici: Poslední rovnici nevyhovuje žádné číslo x, proto daná rovnice nemá žádné řešení . Jinak řečeno, množina všech řešení dané rovnice je prázdná

A teď ten zmíněny druhý příklad Řešte rovnici: Tato rovnice je splněna pro každé reálné číslo x. Množina všech jejích řešení je R.

Lineární nerovnice Lineární nerovnice máj vzorce : ax + b> 0 ax + b< 0 ax + b 0 ax + b 0 kde a,b R, se nazývá lineární nerovnice (s neznámou x)

Nerovnice jsou velmi podobné rovnicím , ale jsou zde jiný „ekvivalentní úpravy“ Z pravidla bývá výsledkem interval, ale může být to i jedno číslo nebo prázdná množina……jak si ukážeme

Ekvivalentní úpravy Přičtení stejného čísla nebo stejného výrazu obsahujícího neznámou (definovaného pro všechny hodnoty neznám z množiny čísel, v níž nerovnice řešíme) k oběma stranám nerovnice Vynásobení obou stran nerovnice stejným kladným číslem (znak nerovnosti se nemění) Vynásobením obou stran nerovnice záporným číslem a současné obracení znaků nerovnosti v nerovnici „ekvivalentní“ úpravy výrazů na jednotlivých stranách nerovnice

Nejprve, výsledek jako množina čísel (interval) Řešte nerovnici: Řešením jsou všechna čísla . Jinak řečeno, množina všech řešení dané nerovnice je k= .

Grafické znázornění na číselné ose 3 x

Výsledek=1 číslo Řešte v oboru přirozených čísel Vynásobíme /.(-1)

V oboru přirozených čísel má daná nerovnice jediné řešení n=1 Je důležité se také zmínit o podmínkách v nerovnice, které by se měli udávat na začátku rovnice. Např.. Zde musí být podmínka, že

A teď slovní úlohy řešené pomocí lineárních rovnic Slovní U. se řeší stejně jako L. rovnice. Akorát se musí z textu převést do Matematického zápisu Slovní úlohy zpravidla používáme při příkladech:

V dílně jsou tři stroje. Na prvních dvou strojích lze vykonat určitou práci za 12 hodin, na prvním a třetím stroji ji lze vykonat za 14 hodin a na druhém a třetím stroji za 16 hodin 48 minut. Za jak dlouho by bylo možné vykonat tuto práci na každém stroji zvlášť?

Dvě letadla vzlétnou současně z míst A a B, letí proti sobě a potkají se 105 km od místa S, ležícího uprostřed cesty z A do B. Kdyby první letadlo (tj. letadlo letící z místa A) vzlétlo o půl hodiny později než druhé, setkají se obě letadla právě uprostřed cesty. Kdyby však první letadlo vzlétlo o půl hodiny dříve než druhé, setkají se ve čtvrtině cesty od B. Určete rychlosti obou letadel a vzdálenost míst A, B.

V nádobě je 8 litrů 26% roztoku kyseliny solné V nádobě je 8 litrů 26% roztoku kyseliny solné. Kolikaprocentní musí být druhý roztok téže kyseliny, aby po smíšení jeho 10 litrů s 8 litry prvního roztoku vznikl roztok nejméně 50% a nejvýše 60%?