Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_68 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:3.E/ třetí ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Komplexní čísla Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje potřebnou teoretickou část, ale také řešené i neřešené příklady s výsledky, včetně názorného postupu. Klíčová slova:Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty (ryze kvadratická, úplná); Diskriminant; Imaginární kořeny; Reálné kořeny Druh učebního materiálu:prezentace

Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty vzorec pro kořeny s diskriminantem: D = b 2 – 4ac  D > 0 2 různé reálné kořeny:  D = 0 1 dvojnás. reálný kořen:  D < 0 2 kompl. sdruž. kořeny:

Příklad: Rozhodněte jaké kořeny má daná rovnice. Rovnice má 1 dvojnásobný reálný kořen. Rovnice má 2 různé reálné kořeny. Rovnice má 2 komplexně sdružené kořeny.

Rovnice má 1 dvojnásobný reálný kořen. Rovnice má 2 komplexně sdružené kořeny.

Ryze kvadratická rovnice Neúplná kvadratická rovnice:  bez lineárního členu (např. x 2 – 5x = 0) kořeny v R jsou dvě reálná čísla, z nichž jedno je vždy nula(např.: x 1 = 0, x 2 = 5; …)  nikdy se nemůže jednat o čísla komplexně sdružená  nebudeme procvičovat – učivo 1. ročníku  bez absolutního členu (např. x 2 – 9 = 0) kořeny v R jsou vždy dvě opačná čísla (např.: x 1,2 = ±3; …)  mohou to být i komplexně sdružená čísla: ±3i, …  nutné procvičit nové učivo – viz příklad

Příklad: Řešte ryze kvadratické rovnice v C. dva postupy řešení a) osamostatníme kvadratický člen a rovnici odmocníme (nezapomeňte na absolutní hodnotu neznámé – jedná se o sudou odmocninu) b) použijeme k rozkladu na součin algebraický vzorec: (A 2 – B 2 ) = (A – B)(A + B) Dva postupy řešení, výsledek ale musí být stejný!!

( 1. příklad )

sudá odmocnina – nelze odmocnit zápornou hodnotu neexistuje vzorec A 2 + B 2, pouze A 2 – B 2 = (A – B)(A + B)

Úplná kvadratická rovnice postup řešení:  rozklad na součin pomocí vietových vzorců kořeny v R jsou dvě různá reálná čísla (např.: x 1,2 = ±2; x 1,2 = ±1/3; …)  nikdy se nemůže jednat o čísla komplexně sdružená  nebudeme procvičovat – učivo 1. ročníku  použití vzorce pro kořeny s diskriminantem nutné procvičit nové učivo – viz příklad

Příklad: Řešte kvadratické rovnice v C.

Diskriminant – částečné odmocnění Jsou čísla, jejichž druhou odmocninou je číslo celé: Jiná čísla nelze takto odmocnit, ale lze je převést na takový součin, že jeden z činitelů je číslo, jehož odmocninou je celé číslo:

Příklady na procvičení  Kvadratická rovnice

Příklad: Řešte kvadratické rovnice v C.

Použitá literatura: PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 9–47 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 11–46