ÚČJF MFF UK1 5. dubna 2006 Spontánní narušení symetrie a počítání Goldstoneových bosonů v relativistických systémech při konečné hustotě Tomáš Brauner ÚJF AV ČR Řež

ÚČJF MFF UK2 5. dubna 2006 Program  Spontánní narušení symetrie.  Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.  Lineární σ-model s chemickým potenciálem.  Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.  Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK3 5. dubna 2006 Program  Spontánní narušení symetrie.  Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.  Lineární σ-model s chemickým potenciálem.  Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.  Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK4 5. dubna 2006 Spontánní narušení symetrie Nastává, když základní stav má nižší symetrii než lagrangián.  Symetrie není realizována unitárními operátory.  Degenerované, unitárně neekvivalentní základní stavy.  Nehmotné módy jako dlouhovlnné fluktuace parametru uspořádání.

ÚČJF MFF UK5 5. dubna 2006 Příklady  Feromagnetismus: spontánně narušené rotace spinů.  Supravodivost, supratekutost: fázové transformace vlnové funkce.  Silná interakce: chirální symetrie existence lehkých pseudoskalárních mezonů.  Elektroslabá interakce: Higgsův mechanismus vznik hmot elementárních částic.  Relativistické mnohočásticové systémy: barevná supravodivost.

ÚČJF MFF UK6 5. dubna 2006 Goldstoneův teorém Spontánní narušení spojité globální symetrie implikuje existenci nehmotného módu ve spektru teorie. Nerelativistická verze: existence excitace, pro niž. Goldstoneovy bosony = dlouhovlnné fluktuace parametru(ů) uspořádání.

ÚČJF MFF UK7 5. dubna 2006 Nízkoenergetické vlastnosti GB  Disperzní relace Goldstoneova bosonu?  Limita jednoduchá, popsatelná nízkoenergetickou efektivní teorií pole.  Vysokoenergetické chování závisí na detailech fyziky na malých vzdálenostech.  Ne univerzální, ale ne nezajímavé.

ÚČJF MFF UK8 5. dubna 2006 Počítání Goldstoneových bosonů  Původní Goldstoneův teorém předpovídá alespoň jeden Goldstoneův boson.  Počítání triviální pro vnitřní symetrie v Lorentz invariantních teoriích.  Prostoročasové symetrie: viz Low a Manohar.  Zde: vnitřní symetrie v nerelativistických systémech.  Těžký problém, dosud neexistuje obecné řešení.

ÚČJF MFF UK9 5. dubna 2006 Program  Spontánní narušení symetrie.  Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.  Lineární σ-model s chemickým potenciálem.  Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.  Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK10 5. dubna 2006 Nielsenovo-Chadhovo pravidlo H. B. Nielsen and S. Chadha, Nucl. Phys. B105, 445 (1976)  Mocninná závislost energie na impulsu.  Goldstoneovy bosony I. typu:.  Goldstoneovy bosony II. typu:. # GB typu I + 2 £ # GB typu II ¸ # narušených generátorů Důkaz využívá analytických vlastností Goldstoneova komutátoru. Velmi obecný výsledek: libovolná mocnina impulsu v disperzní relaci a nerovnost pro počet Goldstoneových bosonů.

ÚČJF MFF UK11 5. dubna 2006 Nielsenovo-Chadhovo pravidlo

ÚČJF MFF UK12 5. dubna 2006 Nielsenovo-Chadhovo pravidlo H. B. Nielsen and S. Chadha, Nucl. Phys. B105, 445 (1976)  Mocninná závislost energie na impulsu.  Goldstoneovy bosony I. typu:.  Goldstoneovy bosony II. typu:. # GB typu I + 2 £ # GB typu II ¸ # narušených generátorů Důkaz využívá analytických vlastností Goldstoneova komutátoru. Velmi obecný výsledek: libovolná mocnina impulsu v disperzní relaci a nerovnost pro počet Goldstoneových bosonů.

ÚČJF MFF UK13 5. dubna 2006 Příklady  Antiferomagnet: dva narušené generátory SU(2) spinových rotací, dva GB – magnony.  Feromagnet: dva narušené generátory SU(2) spinových rotací, jeden magnon s.  V čem je rozdíl?  Nenulová spinová hustota ve feromagnetickém stavu, narušená invariance vůči časové inverzi.

ÚČJF MFF UK14 5. dubna 2006 Počítání GB a hustota nábojů Modifikace počítání GB Nelineární disperzní zákon Nenulová hustota nábojů Nielsen & Chadha Leutwyler ???  Leutwyler: nenulová hustota neabelovských nábojů GB II. typu s kvadratickou disperzní relací.  Schäfer et al.: nulová hustota všech noetherovských nábojů obvyklý počet GB.

ÚČJF MFF UK15 5. dubna 2006 Efektivní teorie pole  Leutwyler: nejobecnější řešení Wardových identit,Leutwyler efektivní lagrangián ve vedoucím řádu.  Nenulová husota náboje člen s první mocninou časové derivace kvadratická disperzní relace GB a narušení časové inverze.  Efektivní lagrangián invariantní až na úplnou derivaci.  Přímočarý popis GB s lineární nebo kvadratickou disperzní relací.  Vyšší mocniny impulsu: Realizují se vůbec?

ÚČJF MFF UK16 5. dubna 2006 Efektivní teorie pole

ÚČJF MFF UK17 5. dubna 2006 Efektivní teorie pole  Leutwyler: nejobecnější řešení Wardových identit, efektivní lagrangián ve vedoucím řádu.  Nenulová husota náboje člen s první mocninou časové derivace kvadratická disperzní relace GB a narušení časové inverze.  Efektivní lagrangián invariantní až na úplnou derivaci.  Přímočarý popis GB s lineární nebo kvadratickou disperzní relací.  Vyšší mocniny impulsu: Realizují se vůbec?

ÚČJF MFF UK18 5. dubna 2006 Intuitivní obrázek počítání GB  Jeden narušený generátor jedna reálná souřadnice na kosetovém prostoru.  Lineární disperzní relace se objevuje ve tvaru.  Řešení s kladnou i zápornou energií lze z nich vytvořit jedno reálné pole.  Kvadratická disperzní relace se objevuje jako.  Jen řešení s kladnou energií potřebujeme komplexní pole, tj. dvě reálná pole.  1 kvadratický GB = 2 reálná pole = 2 narušené generátory.

ÚČJF MFF UK19 5. dubna 2006 Goldstoneův komutátor neabelovských nábojů  Noetherovský náboj jako parametr uspořádání.  Nutná neabelovská struktura grupy symetrie.  Jeden GB se váže na dva narušené proudy modifikované počítání Goldstoneových bosonů.

ÚČJF MFF UK20 5. dubna 2006 Program  Spontánní narušení symetrie.  Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.  Lineární σ-model s chemickým potenciálem.  Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.  Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK21 5. dubna 2006 Relativistické systémy při konečné hustotě  Mikroskopická dynamika Lorentz invariantní, makroskopické narušení přítomností média.  Aplikace na fázový diagram QCD.  Cíl: zesílit Nielsenovo-Chadhovo pravidlo za cenu omezení rozsahu platnosti.  Standardně používané modely: Nambu & Jona-Lasinio (střední pole), Blaschke et al. Lineární sigma model (stromová úroveň), Miransky a Shovkovy, Schäfer et al.

ÚČJF MFF UK22 5. dubna 2006 Lineární sigma model  Nejpoužívanější model pro popis spontánního narušení symetrie.  Potenciál „mexického klobouku“, SSB na stromové úrovni.  Poruchové výpočty nad základním stavem posunutým do minima klasického potenciálu.  Hlavní výsledek: přesná korespondence mezi počítáním GB, disperzní relací a hustotami noetherovských nábojů.

ÚČJF MFF UK23 5. dubna 2006 Lineární sigma model: SU(2) £ U(1)  Efekty nenulové hustoty zahrnuty prostřednictvím chemického potenciálu.  Výpočet na stromové úrovni: rozvoj skalárního pole kolem nového základního stavu, spektrum se získá z bilineární části lagrangiánu.  Relevantní pro kondenzaci kaonů v husté chladné QCD.

ÚČJF MFF UK24 5. dubna 2006 SU(2) £ U(1) pokračování  Exponenciální parametrizace.  Bilineární lagrangián.  Odkud pochází mixovací člen?

ÚČJF MFF UK25 5. dubna 2006 Bilineární lagrangiány  Směšování dvou polí chemickým potenciálem.  Sektor (H,  3 ): jeden GB s  Sektor (  1,  2 ): jeden GB s

ÚČJF MFF UK26 5. dubna 2006 Rovinné vlny Rovinná vlna – řešení klasické pohybové rovnice: Bilineární lagrangián pro kvadratický GB, Noetherovské SU(2) £ U(1) proudy:

ÚČJF MFF UK27 5. dubna 2006 Rovinné vlny II Izospinový vektor rotuje v rovině (1,2): rovinná vlna je kruhově polarizovaná. Nenulový proud a hustota nenarušeného náboje: rovinná vlna nese nenarušený náboj.

ÚČJF MFF UK28 5. dubna 2006 Obecný lineární sigma model  Skalární teorie pole s kvartickou interakcí.  Do hamiltoniánu se přidají chemické potenciály pro sadu vzájemně komutujících nábojů.  Do lagrangiánu se zavedou kovariantní derivace.  Přesná globální symetrie.

ÚČJF MFF UK29 5. dubna 2006 Obecný lineární sigma model II  Obecný lagrangián a parametrizace pole:  Bilineární lagrangián:  H-  mixování lineární Goldstoneovy bosony.   -  mixování kvadratické Goldstoneovy bosony, směšovací člen úměrný hustotě komutátoru dvou narušených generátorů.

ÚČJF MFF UK30 5. dubna 2006 Výsledky  GBs mají buď lineární nebo kvadratickou disperzi.  Lineární GB vzniká mixováním Goldstoneova pole a Higgsova pole chemickým potenciálem.  Kvadratický GB vzniká mixováním dvou Goldstoneových polí chemickým potenciálem.  Ke každému páru generátorů, jejichž komutátor má nenulovou hustotu, existuje jeden kvadratický GB.  Nielsenovo-Chadhovo pravidlo je splněno.

ÚČJF MFF UK31 5. dubna 2006 Program  Spontánní narušení symetrie.  Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.  Lineární σ-model s chemickým potenciálem.  Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.  Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK32 5. dubna 2006 Kondenzace SU(3) sextetu  Model s globální SU(3) £ U(1) symetrií.  Symetrické maticové skalární pole,.  Dvě různé upořádané fáze v parametrovém prostoru.  Fázové rozhraní a=0: rozšířená SU(6) £ U(1) symetrie, narušená spontánně na SU(5) £ U(1).

ÚČJF MFF UK33 5. dubna 2006 Fázový diagram  Boseho-Einsteinova kondenzace pro 2  >M  Všechny fázové přechody jsou druhého druhu.  GB uspořádané do multipletů nenarušené symetrie.  Nižší nenarušená symetrie složitější struktura spektra.

ÚČJF MFF UK34 5. dubna 2006 Spektrum excitací 6 narušených generátorů 6 lineárních GB 5 narušených generátorů 1 lineární GB 2 kvadratické GB

ÚČJF MFF UK35 5. dubna 2006 Program  Spontánní narušení symetrie.  Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.  Lineární σ-model s chemickým potenciálem.  Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.  Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK36 5. dubna 2006 Nielsenovo-Chadhovo pravidlo  V lineárním σ modelu GB buď lineární nebo kvadratický.  # linearních GB + 2 £ # kvadratických GBs vždy = # narušených generátorů, až na fázová rozhraní, kde vymizí fázová rychlost lineárních GB.  Dosud jediný generický případ, kde v nastává ostrá nerovnost v Nielsenově-Chadhově pravidle.  Jediný další příklad explicitně zmiňují Sannino a Schäfer.

ÚČJF MFF UK37 5. dubna 2006 Co dál Spočítat smyčkové korekce v lineárním sigma modelu.  Vliv interakce v normální fázi.  Rozpad lineárních Goldsoneových bosonů.  Chování v okolí fázového přechodu.  Kontrola platnosti Nielsenova-Chadhova pravidla.

ÚČJF MFF UK38 5. dubna 2006 Co dál II Rozšířit výsledky na širší třídu modelů.  Zobecnit výsledky na obecný relativický systém s chemickým potenciálem.  Velmi speciální způsob narušení Lorentz invariance.  Obnovit Lorentz invarianci zavedením vnějšího kalibračního pole pro chemický potenciál.  Wardovy identity – informace o disperzi GB?