Diskrétní Fourierova transformace

Základní idea transformace Inverzní Zpracování v transform. oblasti časové oblasti x(n) X(n) x(n)‘ X(n)‘

Diskrétní Fourierova transformace (exponenciální tvar) Spojitá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace (exponenciální tvar) Diskrétní Fourierova transformace (goniometrický tvar) k – index DFT ve frekvenční oblasti, k=1,2,…,N-1

Každá hodnota X(m) je určená součtem součinů vstupních vzorků s hodnotami komplexní sinusoidy cos(Φ)-jsin(Φ). Přesná frekvence sinusoidy fa(m) závisí na počtu vzorků vstupního signálu N a vzorkovací frekvenci fs: Př. Při vzorkování 500 Hz a počtu vzorků N=4 jsou frekvence fa následující: X(0 )= 0Hz X(1)=125 Hz X(2)=250 Hz X(3)=375 Hz

Polární tvar DFT Xreal Ximag Ф Xmag Xm(k)=Xreal(k)+jXimag(k)

Při použití polární reprezentace DFT – pozor na následující možné problémy : správnou konverzi fáze - sw většinou vrací fázový úhel v radiánech a to v rozsahu <–π/2, π/2 > při výpočtu fáze pozor na nulovou reálnou část ( přetečení) (fáze je v tomto případě ±90º pozor na správnou konverzi úhlu z intervalu <–π/2, π/2 > na interval <0, π > fáze u velmi nízkých amplitud, které se ztrácí v šumů může chaoticky kmitat okolo nulové hodnoty

Př : Uvažujme signál x(t) vzorkovaný frekvencí 8kHz reprezentovaný 8 vzorky x(0) = 0.3535 x(1) = 0.3535 x(2) = 0.6464 x(3) = 1.0607 x(4) = 0.3535 x(5) = -1.0607 x(6) = -1.3535 x(7) = -0.3535

Vlastnosti DFT Linearita k1x1(n)+ k2x2(n) ↔ k1X1(n)+ k2X2(n) Periodičnost - funkce x(n) a X(n) jsou periodické s periodou P=N Kruhový časový posun Kruhový frekvenční posun

Kruhová konvoluce v časové oblasti Kruhová konvoluce ve frekvenční oblasti Obraz obrácené posloupnosti Vlastnosti spektra reálné posloupnosti

Vlastnosti spektra reálné a sudé posloupnosti je-li x(n) reálná a sudá je i X(k) reálná sudá Vlastnosti spektra reálné a liché posloupnosti je-li x(n) reálná a lichá, pak je X(k) imaginární, lichá Alternativní vzorec pro výpočet IDFT K výpočtu inverzní transformace je možné použít algoritmů pro výpočet DFT: nejprve obrátíme znaménka hodnot imaginární části X(k), vypočteme DFT obrátíme znaménka imaginárních částí vypočtených hodnot výsledek vydělíme N

Vlastnosti fázové charakteristiky

2-D DFT

vypočteme DFT pro jednotlivé řádky obrazu f(x,y) → F(u,y) Z předchozích vztahů vyplývá, že 2D DFT je možné počítat postupně s využitím 1D DFT: vypočteme DFT pro jednotlivé řádky obrazu f(x,y) → F(u,y) Určíme 1D DFT pro každý sloupec matice F(u,y) Zobrazení DFT – použití logaritmické transformace Log(u,v) = k log(1+ F(u,v))

Vlastnosti 2-D DFT Natočení obrazu

Lineární kombinace obrazů k1 f(x,y) + k2 g(x,y) <==> k1 F(u,v) + k2 G(u,v)

Posun obrazu – nemění se spektrum, ale fázový posun

Zvětšení obrazu

Sinusovka Čtverec Gausián Impulsy

Filtrace ve frekvenční oblasti Dolní propust Filtr DP = * = x

Filtrace ve frekvenční oblasti Holní propust Filtr HP = * = x

Filtrace ve frekvenční oblasti Pásmová propust Filtr PP = * = x

Filtrace šumu

původní – filtrovaný obraz