Soustavy Lineárních rovnic O více neznámých

Soustavy rovnic s více neznámými Z pravidla neřešíme ( v daném číselném oboru M) jednotlivé rovnice s více neznámými, nýbrž několik takových rovnic, které mají být splněny zároveň. Mluvíme pak o soustavě rovnic se dvěma, resp. více neznámými. Mezi jednotlivé rovnice soustavy bychom měli psát znak ۸ (“ a zároveň”). Obvykle se však mezi nimi píše čárka, resp. se rovnice píší pod sebou. Řešením soustavy rovnic o n neznámých x1, x2, ..., xn se rozumí každá uspořádaná n-tice [x1, x2, ...., xn] čísel z daného číselného oboru M, která splňují zároveň všechny rovnice soustavy, tj. Po dosazení do každé z rovnic soustavy dostaneme pravdivý výrok (rovnost). Množina všech řešení soustavy je průnikem množin všech řešení jednotlivých rovnic soustavy.

Druhy soustav rovnic s více neznámými Prakticky nejdůležitější jsou soustavy lineárních algebraických rovnic (stručně dále budeme mluvit o soustavách lineálních rovnic), tj. algebraických rovnic prvního stupně v neznámých x1, x2, …, xn. Obecněji se řeší soustavy algebraických rovnic vyšších stupňů, na střední škole se ovšem omezujeme na soustavy rovnic nejvýše 2. stupně (kvadratické rovnice) pro dvě neznámé. Lze vytvářet též soustavy nealgebraických rovnic, jež obsahují např. exponenciální, logaritmické nebo goniometrické rovnice vzhledem k neznámým.

Početní řešení soustav rovnic Metody početního řešení soustav rovnic užívají ekvivalentní úpravy soustavy rovnic, tj. takové úpravy, jimiž se nemění řešení soustavy. Nejdůležitější jsou souhrnně uvedeny v následujících snímcích. Při použití pouze ekvivalentních úprav soustavy není zkouška nutnou součástí postupu řešení, ale je vhodná pro kontrolu.

Přehled ekvivalentních úprav soustavy rovnic (USR 1) - Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí, která je s ní ekvivalentní, tj. má totéž řešení. Získává se zejména těmito dvěma ekvivalentními úpravami: K oběma stranám rovnic přičteme totéž číslo nebo výraz s neznámými, který je definován v celém oboru, v němž se rovnice řeší. Obě strany rovnice násobíme týmž číslem různým od nuly nebo výrazem s neznámými, který je definován a nenulový v celém oboru, v němž se rovnice řeší. (Stručně říkáme, že rovnici násobíme číslem, resp. výrazem.)

Přehled ekvivalentních úprav soustavy rovnic (USR 2) - Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné jiné rovnice soustavy. (USR 3) - Dosazení neznámé nebo výrazu s neznámou z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.

Soustavy lineárních rovnic Základním typem metod řešení soustav lineárních algebraických rovnic jsou eliminační metody, jejichž podstatou je postupná eliminace (vylučování) neznámých z rovnic soustavy.

Soustava dvou lineárních rovnic se dvěmi neznámými Podle způsobu, jímž eliminujeme (vyloučíme) jednu neznámou z některé rovnice soustavy, rozlišujeme tyto tři metody řešení: Metoda sčítací - rovnice soustavy násobíme čísly zvolenými tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá vyloučila. Metoda dosazovací (substituční) - vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice soustavy a dosadíme ji do druhé rovnice, čímž se jedna neznámá z této rovnice vyloučí. Metoda srovnávací (komparační) - z obou rovnic vyjádříme touž neznámou, výsledky porovnáme a tím získáme rovnici, ve které je tato neznámá vyloučena.

Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic s neznámými x, y Є R:

Řešení metodou sčítací První rovnici vynásobíme třemi, dostáváme rovnici 6x - 3y = 3. Získanou rovnici sečteme s druhou rovnicí soustavy, tím vyloučíme neznámou y a pro neznámou x dostáváme rovnici 7x = 14, odtud po dělení rovnice sedmi x = 2. Obdobně lze vyloučit neznámou x vynásobením druhé rovnice minus dvěma a sečtením s první rovnicí; dostáváme rovnici -7y = -21, odtud po dělení rovnice minus sedmi y = 3.

Řešení metodou dosazovací Z první rovnice vyjádříme y = 2x - 1 a dosadíme do druhé rovnice; dostáváme 7x - 3 = 11, odtud 7x = 14 čili x = 2. Obdobně, vyjádříme-li z druhé rovnice x = 11 - 3y a dosadíme do první rovnice, dostáváme 22 - 7y = 1, -7y = -21 čili y = 3.

Řešení metodou srovnávací Z první i druhé rovnice vyjádříme např. neznámou y, dostáváme y = 2x - 1 a y = (1/3)(11 - x). Porovnáním odtud plyne rovnice 2x - 1 = (1/3) (11 - x) čili 6x - 3 = 11 - x a odtud 7x = 14 čili x = 2. Po dosazení do rovnice y = 2x - 1 vypočteme y = 3.

Výsledek: Daná soustava rovnic má v množině R2 právě jedno řešení [x, y] = [2; 3]. Zkoušku provedeme dosazením do dané soustavy rovnic: L1 = 2 . 2 - 3 = 4 - 3 = 1 = P1 L2 = 2 + 3 . 3 = 2 + 9 = 11 = P2

Grafické řešení soustav lineárních rovnic se dvěma neznámými v R2 Soustavy rovnic se dvěma neznámými x, y є R lze rovněž řešit graficky. Vycházíme přitom z poznatku, že množinou všech bodů, jejichž kartézské souřadnice splňují lineární rovnici, je přímka. Jestliže sestrojíme přímky, které graficky znázorňují v soustavě kartézských souřadnic Oxy obě dané lineární rovnice, pak body jejich průniku mají souřadnice, jež představují řešení soustavy těchto lineárních rovnic. Přitom dvě přímky v rovině mohou být navzájem buď různoběžné, nebo rovnoběžné různé, anebo splývající, takže platí:

Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými má právě jedno řešení, jestliže přímky graficky znázorňující všechna řešení daných rovnic jsou různoběžné, žádné řešení, jestliže tyto přímky jsou rovnoběžné různé, nekonečně mnoho řešení, jestliže obě přímky splývají.

Příklady grafického řešení soustav dvou lineárních rovnic s neznámými x, y є R:

Řešení: Sestrojíme množinu bodů, jejichž kartézské souřadnice splňují první rovnici. Je to graf funkce y = 2x - 1, tj. přímka procházející body A [0; -1], B[1; 1]. Obdobně druhá rovnice vyjadřuje funkci y = Jejím grafem je přímka procházející body C [-1; 4], D[5; 2]. Přímky AB, CD jsou různoběžné, jejich průsečíkem je bod Q[2; 3]. Daná soustava má tedy právě jedno řešení [2; 3].

2x - y = 1 x + 3y = 11

První rovnici upravíme na tvar y = , který vyjadřuje funkci, jejímž grafem je přímka procházející body E [3; 1,5], F [-3; -2,5]. Druhou rovnici upravíme na tvar y = , který je vyjádřením funkce, jejímž grafem je přímka procházející body G = [-1; -2], H [5; 2]. Přímky EF, GH jsou dvě různé rovnoběžky. To odpovídá tomu, že daná soustava nemá žádné řešení, neboť obě rovnice si zřejmě odporují (dělíme-li první rovnici dvěma, dostáváme 2x - 3y = 1,5, dělíme-li druhou rovnici třemi, dostáváme 2x - 3y = 4).

4x - 6y = 3 6x - 9y = 12

Rovnice představují analytická vyjádření dvou sobě rovných funkcí, jejichž grafy jsou totožné přímky procházející body K [0; 2], L [4; 0]. To odpovídá tomu, že každá uspořádaná dvojice [x; y], která splňuje první rovnici, vyhovuje též druhé rovnici, tj. daná soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení.

x + 2y = 4 3x + 6y = 12

Řešte soustavu rovnic a proveďte diskusi podle parametru p є R: Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých s reálnými parametry: Řešte soustavu rovnic a proveďte diskusi podle parametru p є R: p2x + py = p3 + 1 p3x + y = p2 + p Řešení provedeme např. metodou dosazovací. Ze 2. rovnice vyjádříme: y = p2 + p - p3y a dosadíme do 1. rovnice: p2x + p3 + p2 - p4x = p3 + 1 Po úpravě dostáváme: p2(1-p2)x = 1 - p2 čili: p2(1 + p)(1 - p)x = (1 + p)(1 - p)

Diskuse řešení: Je-li p ≠ 0 ۸ p ≠ 1, plyne odtud, že x = 1/p2 , a tedy y = p2, tj. daná soustava má pak právě jedno řešení [x, y] = [1/p2, p2]. Je-li p = 0, dané rovnice nabývají tvaru 0x + 0y = 1, 0x + y = 0, první rovnici nelze však splnit pro žádná x, y є R, takže daná soustava v tomto případě nemá žádné řešení [x; y] є R2. Je-li p = 1, obě rovnice dané soustavy nabývají téhož tvaru x + y = 2, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y] = [x; 2 - x], kde x je libovolné reálné číslo. Je-li p = -1, obě rovnice dané soustavy nabývají tvaru x - y = 0, -x + y = 0, tj. Jsou obě ekvivalentní s rovnicí x = y, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y] = [x; x], kde x je libovolné reálné číslo.

Soustava dvou lineárních rovnic se třemi neznámými Jednu neznámou lze v této soustavě zvolit za parametr a získat tak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou řešíme některou z uvedených metod. Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic se třemi neznámými x, y, z є R: 6x + 2y + 3z = 2 2x - 3y + z = 8

Řešení: Danou soustavu upravíme na tvar 6x + 2y = 2 - 3z, Neznámou z zvolíme za reálný parametr. Tuto soustavu dvou rovnic o dvou neznámých x, y řešíme např. metodou sčítací: Druhou rovnici vynásobíme minus třemi a sečteme s první rovnicí, čímž se vyloučí neznámá x (a též parametr z), dostáváme: 2y + 9y = 2 - 24 čili 11y = -22, odkud y = -2. Dosazením do druhé rovnice soustavy dále plyne: 2x + 6 + z = 8 čili 2x = 2 - z, odkud x = 1 - 0,5z.

Výsledek: Daná soustava má v R3 nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y; z] = [1 - 0,5z; -2; z], kde z je libovolné reálné číslo. Zkouška (dosazením do dané soustavy): L1 = 6 - 3z - 4 + 3z = 2 = P1 L2 = 2 - z + 6 + z = 8 = P2

Bonus navíc Následujících šest snímků (až k testu) je rozšiřující učivo, které se probírá na dalším stupni, tedy na střední škole, popřípadě na gymnáziu.

Soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými Lze ji řešit obdobně jako soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, tj. zobecněnou metodou sčítací, dosazovací nebo srovnávací. Avšak výhodnější je použití Gaussovy eliminační metody (GEM), která spočívá v postupném převedení dané soustavy rovnic na tzv. trojúhelníkový tvar, kde ve druhé rovnici je eliminována první neznámá a ve třetí rovnici jsou eliminovány první a druhá neznámá. Převedení soustavy na trojúhelníhový tvar se provádí ekvivalentními úpravami tímto postupem (zvaným přímý chod GEM):

Obdobně eliminujeme člen s 2. neznámou ve 3. rovnici. Rovnice dané soustavy uspořádáme tak, aby koeficient 1. neznámé v 1. rovnici byl buď 1, anebo jiné číslo různé od nuly - v tomto případě 1. rovnici tímto číslem vydělíme, čímž dostaneme rovnici s koeficientem 1 u 1. neznámé. Od 2. a 3. rovnice odečteme takové násobky upravené 1. rovnice, aby se v nich po odečtení eliminovaly členy s 1. neznámou. Obdobně eliminujeme člen s 2. neznámou ve 3. rovnici. Ze získané soustavy lineárních rovnic v trojúhelníkovém tvaru určíme již snadno její řešení tímto postupem (zvaným zpětný chod GEM): Ze 3. rovnice vypočteme kořen z, pak dosazením do 2. rovnice kořen y a nakonec po dosazení do 1. rovnice kořen x.

Příklad řešení soustavy tří lineárních rovnic s neznámými x, y, z є R:

Danou soustavu rovnic převedem na trojúhelníkový tvar takto (přímý chod GEM): Nejprve ji upravíme tak, aby v 1. rovnici koeficient u 1. neznámé byl 1. Bylo by možné dosáhnout toho dělením této rovnice číslem 9, tím bychom ovšem dostali v upravené rovnici desetinná čísla. Při ručním výpočtu můžeme použít takové ekvivalentní úpravy, aby koeficienty zůstaly čísla celá; od 1. rovnice odečteme 2. rovnici, čímž dostaneme soustavu rovnic:

x - y - 5z = 0, (11) 8x + 6y + 3z = 15, (21) = (2) 3x - 7y + 4z = 27. (31) = (3) Dále od rovnice (21) odečteme 8. (11) a od rovnice (31) odečteme 3. (11), tím eliminujeme neznámou x v těchto rovnicích a dostáváme tuto ekvivalentní soustavu rovnic x - y - 5z = 0, (13) = (12) y + 43/14z = 15/14, (23) 219z = 219. (33) Tato soustava rovnic má trojúhelníkový tvar a její řešení určíme snadno takto (zpětný chod GEM): Z rovnice (33) po dělení číslem 219 dostáváme: z = 1. Dosazením do rovnice (23) vypočteme

y = 1/14(15 - 43) = -2 a po dosazení do rovnice (13) vychází x = -2 + 5 = 3. Výsledek: Daná soustava má v R3 právě jedno řešení [x; y; z] = [3; -2; 1]. Zkouška (dosazením řešení do dané soustavy rovnic): L1 = 9 . 3 + 5(-2) - 2 . 1 = 27 - 10 - 2 = 15 = P1 L2 = 8 . 3 + 6(-2) + 3 . 1 = 24 - 12 + 3 = 15 = P2 L3 = 3 . 3 - 7(-2) + 4 . 1 = 9 + 14 + 4 = 27 = P3

Krátký testík na závěr Uveďte kolik řešení mají následující soustavy rovnic. 5x - 3y = 8 2x - 5y = 26 4x - 6y = 3 6x - 9y = 12 x + 2y = 4 3x + 6y = 12 a)* b)* c)*

Děkuji za pozornost Toto jest konec