Pravděpodobnost a genetická prognóza Ing. Luboš Vostrý Katedra genetiky a šlechtění

Pravděpodobnost Se užívá k zjištění, zda se nějaký jev stane Příklad: „Je pravděpodobné, že zítra bude pršet.“ Jestliže můžeme spočítat, nebo můžeme udělat závěr o početu příznivých jevů -> můžeme vyjádřit pravděpodobnost. Je důležitá k zjištění závěrů o populaci jedinců.

Pojetí pravděpodobnosti Klasické pojetí (předcházející) Statistické (následující)

Klasické pojetí pravděpodobnosti Vychází z logické úvahy na základě předchozích zkušeností. Příklad: Naše zkušenosti nám říkají: Jestliže je zamračeno, můžeme očekávat s vysokou pravděpodobností, že bude pršet. Jestliže má zvíře určité specifické příznaky, je vysoká pravděpodobnost, že má, nebo bude mít specifické onemocnění.

Statistické pojetí pravděpodobnosti Chápe pravděpodobnost náhodného jevu jako výsledek získaný z dostatečně velkého počtu opakování. Zpravidla několik sérií

Příklad: Předpokládáme, že změna v krmné dávce krmné dávce může vést k zvýšení mléčné užitkovosti u krav. Ale pouze po experimentu můžeme usuzovat, zda je možné dané pravděpodobnosti zjistit i u ostatních jedinců.

Obecně Každý proces sběru dat je experiment.

Matematické vyjádření pravděpodobnosti m, n … Relativní četnost M, N … Absolutní četnost m,M … Počet případů příznivých n, N … Počet všech případů

Pravidla pravděpodobnosti Pravděpodobnost jednotlivých jevů musí vyskytovat v intervalu mezi 0 až 1 včetně. Suma pravděpodobnosti všech možných jevů je rovna 1.

Příklad: Předpokládejme pokus zahrnující vrhy kostkou. Možný výsledek je 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Každý z těchto možných výsledků je náhodný jev. Pravděpodobnost každého možného jevu je 1/6 tj. P(E1)=P(E2)=P(E3)= P(E4)=P(E5)=P(E6).

ΣiP(Ei)=1 Pozorování Jev (Ei) P(Ei) 1 E1 P(E1)=1/6 2 E2 P(E2)=1/6 3 E3 4 E4 P(E4)=1/6 5 E5 P(E5)=1/6 6 E6 P(E6)=1/6 ΣiP(Ei)=1

Obecně Nějaký jev A je soubor jevů – obsahuje jeden nebo více jevů. Pravděpodobnost jevu A je rovna pravděpodobnosti sumě jednotlivých náhodných jevů v jevu A-> P(A) Příklad: Náhodný jev je definován jako výskyt hodnoty mešní než hodnota 3 při hodnu kostkou. Jednotlivé jevy jsou 1 a 2 a každá má pravděpodobnost výskytu 1/6. Pravděpodobnost výskytu náhodného jevu A je 1/3

Teorie pravděpodobnosti pracuje s tzv. hromadnými náhodnými jevy Náhodný jev… takový jev, který může nebo nemusí nastat v závislosti na náhodných veličinách Teorie pravděpodobnosti pracuje s tzv. hromadnými náhodnými jevy za relativně stálých podmínek se vyznačují stabilitou svého výskytu

Rozdělení jevů Jev náhodný – A, B, C Jev opačný -

Kombinace náhodných jevů - Sjednocení jednotlivých jevů …“buď a nebo“ - „Průnik“ současná přítomnost jevu A i B

Příklad : Hody kostkou: jev A – výsledky hodu sudé, jev B – výsledky větší než 3. Jevy A: {2, 4, 6} Jevy B: {4, 5, 6}

Průnik jevů A a B: jsou jevy které jsou sudé a zároveň větší než 3. Pravděpodobnost: P(A∩B)=P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 Sjednocení jevů A a B: jevy které jsou sudé, nebo jsou větší než 3. (AUB) = {2, 4, 5, 6} Pravděpodobnost P(AUB) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6) = 4/6

Podmíněná pravděpodobnost Závislé – jaká je pravděpodobnost jevu A za předpokladu realizace jevu B -> Jev A se vyskytne pouze za předpokladu výskytu jevu B

Jevy nezávislé Jestliže jsou jevy na sobě nezávislé pak: P(A|B)= P(A) a P(B|A) = P(A)

Pravděpodobnost jednotlivých náhodných jevů Jevy náhodné Pravděpodobnost při binomickém rodělení četností

Jevy náhodné Náhodné jevy neslučitelné „buď a nebo“ Náhodné jevy slučitelné

Náhodný jev neslučitelný Příklad: Jaká bude pravděpodobnost výskytu jedince AA, pokud budu křížit dva jedince Aa × Aa?

Náhodný slučitelný (Př. 1) Příklad 1:Jev A – bude pršet v sobotu P(A) = 0,5 Jev B – bude pršet v neděli P(B) = 0,5 Jaká je pravděpodobnost že bude pršet v sobotu a v neděli? Jaká je pravděpodobnost že bude pršet o víkendu (alespoň jeden den)?

V sobotu a v neděli: P(A∩B) = P(A) x P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25 Během víkendu: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75

Během víkendu: Pravděpodobnost že nebude pršet v sobotu P(A´)=1-P(A) = 1 - 0,5 = 0,5 Pravděpodobnost že nebude pršet v neděli P(B´) = 1 – P(B) = 1 – 0,5 = 0,5 Pravděpodobnost že o víkendu nebude pršet P(A´∩B´) = P(A´) x P(B´) = 0,5 x 0,5 = 0,25 Pravděpodobnost že bude o víkendu pršet (alespoň jeden den) = 1 - P(A´∩B´) = 1 – 0,25

Náhodný slučitelný (Př. 2) Příklad: Chovatel provedl zpětné křížení (Cc × cc) a očekává narození 3 potomků, jaká je pravděpodobnost že: Alespoň jeden z nich bude cc

Pravděpodobnost že se z jednoho paření narodí jedinec cc – P(A) = 0,5 Pravděpodobnost že se z jednoho páření nenarodí jedinec cc – P(A´) = 1- P(A) = 0,5 Pravděpodobnost, že se chovateli nenarodí ze tří páření jedinec cc – P(B´) = P(A´) x P(A´) x P(A´) = 0,125 Pravděpodobnost že se chovateli narodí alespoň jeden jedinec cc – 1 – P(B´) = 0,875

Podmíněná pravděpodobnost Závislé – jaká je pravděpodobnost jevu A za předpokladu realizace jevu B -> Jev A se vyskytne pouze za předpokladu výskytu jevu B

Příklad Mezi 150 odchovanými telaty je 90 býčků a současně je v daném stádě 18 jedinců heterozygotních (Cc). Jaká je pravděpodobnost že vybraný býček je heterozygot?

Příklad 2: Z balíčku 52 karet vybereme náhodně dvě karty. Jaká je pravděpodobnost, že obě karty budou esa? V balíčku 52 karet jsou 4 esa.

První tah je jev A a druhý tah je jev B. V balíčku jsou 4 esa Pravděpodobnost že obě vytažené karty budou esa –> P(A∩B) Jedná se o jevy závislé –> Vytažení druhé karty závisí na faktu, která karta byla vytažená jako první

P(A=Eso) = 4/52 = 1/13 P(B=Eso|A=Eso) = 3/51 Jestliže první karta byla eso, v balíčku zůstalo 51 karet a 3 esa P(A∩B) = P(A) x P(B|A) = 1/13 x 3/51 = 1/221 Pravděpodobnost, že vytáhnome 2 esa je 1/221

Náhodné jevy podmíněné Nezávislé -

Příklad Očekáváme narození 3 potomků jaká je pravděpodobnost je všichni budou Cc

Pravděpodobnost při binomickém rozdělení četností Frekvence jednotlivých tříd rozvinutý binom Pravděpodobnost všech možných jevů

Příklad Porody dvojčat: Pravděpodobnost že daný porod bude mnohočetný (dvojčata) : q = 0,01 Pravděpodobnost že daný porod bude jedináček: p = 0,99 Vypočítejte pravděpodobnost všech možných variant?

p = pravděpodobnost, že nastane první alternativa (jedináčci) q= pravděpodobnost že nastane druha alternativa (dvojčata)

Pravděpodobnost při binomickém rozdělení četností b) Pravděpodobnost jednoho konkrétního jevu

Příklad Z křížení dvou heterozygotů očekáváme 6 potomků. Zjistěte jaká bude pravděpodobnost výskytu 3 DD, 3 Dd a 1 dd jedince Bez ohledu na pořadí V tomto pořadí

Bez ohledu na pořadí

V tomto pořadí Pravděpodobnost narození ve výše uvedeném pořadí, tzn. 3DD, 2Dd, dd; Jedná se o náhodný jev podmíněný nezávislý

B A C