Nelineární programování - úvod Brožová H.: Matematické programování I, Nelineární optimalizační modely, skripta ČZU, 2004 Pánková V.:Nelineární optimalizace pro ekonomy, Professional Publishing,2003

Klasifikace optimalizačních modelů Podle počtu kritérií jednokriteriální Vícekriteriální Podle typu použitých funkcí lineární optimalizační modely, nelineární optimalizační modely Podle typu kritéria minimalizační model maximalizační model cílovém modelu Podle charakteru množiny přípustných řešení a účelové funkce konvexních optimalizačních modelech nekonvexních optimalizačních modelech.

Konvexní optimalizační model Minimalizačním optimalizačním modelem nazveme úlohu nalezení minimální hodnoty účelové funkce za daných omezujících podmínek, tedy min f(x)  qi(x)  0 , i = 1, ..., m , x = (x1, x2, ..., xn)T  Rn , kde f(x) a qi (x) jsou reálné funkce více proměnných a x je prvek vektorového prostoru Rn. Konvexní optimalizační model s minimalizací účelové funkce obsahuje pouze konvexní funkce, resp. účelová funkce je konvexní funkce (musí existovat jediné minimum) a množina přípustných řešení je konvexní množina

Model lineárního programování Konvexní množina přípustných řešení X1=(0,3) X2=(2,4) Funkce f je konvexní, jestliže pro každé dva rozdílné body X1,X2 a ג platí:

Příklad 1 Firma chce zařadit do výrobního programu 2 typy výrobků. Průzkumem bylo zjištěno, že jednotkový zisk je v závislosti na prodaném množství (40-x1) resp. (60-2x2)na jeden prodaný kus. Na každý kus je potřeba 1 m2 plechu, kterého bylo nakoupeno 500 m2 ,a jedna hodina práce na první výrobek a dvě hodiny na druhý výrobek. K dispozici je 800 pracovních hodin. Kolik kterých výrobků má být vyrobeno, aby zisk byl maximální? Předpokládáme, že se všechny vyrobené výrobky prodají. Řešení: Graficky sestrojíme množinu přípustných řešení. První parciální derivace účelové funkce položíme rovny nule a zkoumáme, zda tento bod leží v množině přípustných řešení. Optimum je tedy: x1=20 a x2=15, maximální zisk 850.

Gradient funkce Vektor prvních parciálních derivací funkce f(x) se nazývá gradient a značí se

Gradient funkce pro příklad 1 Převedeme na formu v definici, tj. minimalizace:

pak matice H není pozitivně definitní. Hessova matice Hessova matice H je symetrická matice druhých parciálních derivací, kdy na místě ij je prvek: Je-li příslušná Hessova matice pozitivně definitní, je funkce konvexní. Jestliže pro prvky některé hii platí: pak matice H není pozitivně definitní.

Hessova matice pro příklad 1 Příslušná Hessova matice je pozitivně definitní (prvky na hlavní diagonále jsou kladné, funkce je konvexní.

Příklad 2: Zjistěte, zda funkce je konvexní

Lagrangeovy multiplikátory Úloha na vázaný extrém: min f(x)  qi(x) = 0 , i = 1, ..., m , x = (x1, x2, ..., xn)T  Rn , Hledání optima nelineární úlohy, jejíž množina přípustných řešení je omezena podmínkami typu qi(x) = 0, je možné převést na řešení soustavy rovnic. Pokud: funkce f a q jsou spojitě diferencovatelné gradienty funkcí q jsou lineárně nezávislé vektory xopt bod lokálního minima funkce, pak existují jednoznačné skaláry u1,u2,…,um takové, že platí:

Lagrangeova funkce Má-li funkce f(x) lokální minimum, pak: Vytvoří se soustavy n+m rovnic o n+m neznámých. Pokud je množina M konvexní a funkce f(x) také konvexní,je nalezený extrém je jediným globálním minimem. Hessova matice příslušné Lagrangeovy funkce je pozitivně definitní.

Příklad 3: Řešení soustavy rovnic: x1=20; x2=15; u1=0; u2=0

Příklad 4: Lineární model Řešení soustavy rovnic: x1=20; x2=30; u1=-10; u2=70

Příklad 5: Optimalizace portfolia Hodláme investovat 1 jednotku do 4 aktiv, které mají náhodné výnosy c1,…,c4 . Z jedné investované jednotky chceme získat 1,2 jednotky. Jsou známy očekávané výnosy (aritmetický průměr sloupce) a matice kovariance. Čím jsou její prvky blíž k 1, tím se investice vzájemně ovlivňují ve stejném směru. Negativní kovariance značí pohyb v opačném směru. c1 c2 c3 c4 0,5 1,1 1,5 1,7 0,2 1 1,2 0,7 0,9 1,6 0,8 0,6 1,4 1,9 1,8 1,3 0,4

 Matice kovariance 1 2 3 4 0,0249 0,0011 0,0069 -0,0118 0,0189 -0,0099 0,0288 0,0269 -0,0428 0,2616

Výsledky Vzhledem k tomu, že v tomto typu modelu nejsme schopní počítat s nerovnicemi, nelze vložit ani podmínky nezápornosti. x1 0,041989 x2 0,157962 x3 -0,57686 x4 1,376908 u1 0,013003 u2 -0,02504

Kuhn-Tuckerova věta o sedlovém bodě Konvexní optimalizační model min f(x)  qi(x)  0 , i = 1, ..., m , x = (x1, x2, ..., xn)T  Rn , Účelová funkce f(x) nabývá minima v bodě xopt modelu právě tehdy, když existuje vektor uopt  Rm a platí následující vztahy : xopt  0 a uopt  0 L(xopt, u)  L(xopt, uopt)  L(x, uopt) a existuje alespoň jeden vektor x Rn, že qi(x) < 0,i=1, ...m. V bodě xopt, uopt má Lagrangeova funkce sedlový bod. Min vzhledem k x a max vzhledem k u.

Kuhn - Tuckerovy podmínky Konvexní optimalizační úloha má řešení xopt právě tehdy, když existuje vektor uopt a platí :

Kuhn - Tuckerovy podmínky Zápis pomocí gradientů:

Příklad 4: Lineární model