Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín název materiálu:   Logaritmická funkce a její posunutí Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013 Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko.

Logaritmická funkce a její posunutí

Osnova pojem logaritmická funkce sestrojení grafu logaritmické funkce posunutí grafu logaritmické funkce ukázkové příklady příklady na procvičení včetně řešení

Logaritmická funkce předpis: f: y = loga x (čteme: logaritmus o základu a z hodnoty x) kde: x R+ (někdy se D(f) změní) a R+ - {1} nebo a (0;1) (1; ∞) pozn.: logaritmická a exponenciální funkce jsou si navzájem inverzní (převrácené)

Logaritmická funkce tvar grafu logaritmické funkce závisí na a (základ) klesající rostoucí a (0;1) a (1; ∞)

Ukázkový příklad: Sestrojte graf logaritmické funkce f: y= log2 x . Určete definiční obor a obor hodnot. definiční obor této funkce f je R+, protože hodnota logaritmu musí být x > 0 f´: y = 2x vytvoříme exponenciální funkci s D(f) = R k ní sestrojíme tabulku (pro funkci f´) jedna hodnota záporná v řádku x f: y = log2 x a tabulku pro funkci f´ pak následně převrátíme a dostaneme tabulku pro funkci f x - 1 1 y 1/2 2 x 1/2 1 2 y - 1

Ukázkový příklad: H(f) = R a sestrojíme graf podle tabulky pro funkci f a určíme H(f) H(f) = R

Příklady na procvičení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = log1/4 x . Určete H(f). Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = log3 x . Určete H(f). př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = log-2 x . Určete H(f). přeskočit

Sestrojte graf funkce f: y = log1/4 x. Určete H(f). Řešení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = log1/4 x. Určete H(f). D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 . Jelikož a (0; 1)  klesající expon. funkce: f´: y = logar. funkce: f : y = log1/4 x H(f) = R zpět x - 1 1 y 4 1/4 x 4 1 1/4 y -1

Sestrojte graf funkce f: y = log3 x. Určete H(f). Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = log3 x. Určete H(f). D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 . Jelikož a (1; ∞)  rostoucí expon. funkce: f´: y = 3x logar. funkce: f : y = log3 x H(f) = R zpět x - 1 1 y 1/3 3 x 1/3 1 3 y -1

Sestrojte graf funkce f: y = log-2 x . Určete H(f). Řešení př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = log-2 x . Určete H(f). D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 . Jelikož a není v rozmezí (0; 1) (1; ∞)  proto nelze sestrojit. Příklad nemá řešení. zpět

Posunutí logaritmické funkce zadaná funkce: f: y = loga (x+m) + n určíme základní funkci (je to jenom funkce f1: y = loga x) a k ní sestavíme tabulku, kterou získáme prostřednictvím expon. funkce, a sestrojíme graf určíme další funkci (f2: y = loga (x+m) ); graf této funkce vznikne posunutím grafu funkce f1 dle daných pravidel a vzniká u tohoto posunutí nová osa y´ právě v hodnotě + m či - m : jestli bude  f2: y = loga (x+m)  + m ... posuneme doleva dle osy x jestli bude  f2: y = loga (x-m)  - m ... posuneme doprava dle osy x

Posunutí logaritmické funkce určíme další funkci (f3: y = loga (x+m) + n); graf této funkce vznikne posunutím grafu předchozí funkce f2 dle daných pravidel: jestli bude  f3: y = loga (x+m) + n  + n ... posuneme nahoru dle osy y jestli bude  f3: y = loga (x+m) - n  - n ... posuneme dolů dle osy y pozn.: funkce f3 = f a příklad z hlediska grafu je hotov; ještě určit D(f) a H(f) všech funkcí

Ukázkový příklad: Sestrojte graf logaritmické funkce f: y = log1/3 (x+1) – 2 . Určete definiční obory a obory hodnot. D(f) funkce f je ( -1; ∞) , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x + 1 > 0 . Nejprve sestrojíme graf pro základní funkci f1: y = log1/3 x , ale k ní musíme nejprve vytvořit exponenciální funkci  f1´ : y = . f1´: y = sestrojíme tabulku pro funkci f1´; jedna hodnota záporná v řádku x f1 : y = log1/3 x převrátíme tabulku x - 1 1 y 3 1/3 x 3 1 1/3 y - 1

Ukázkový příklad: D(f1) = R+ H(f1) = R D(f2) = ( - 1; ∞) H(f2) = R Následně budeme posouvat graf základní funkce f1 a pak případně další nově vzniklý graf doleva nebo doprava  f2: y = log1/3 (x +1 )  + 1 ... doleva dle osy x + nová osa y´ dolů nebo nahoru  f3: y = log1/3 (x+1) - 2  - 2 ... dolů dle osy y D(f1) = R+ H(f1) = R D(f2) = ( - 1; ∞) H(f2) = R D(f3) = ( - 1; ∞) = D(f) H(f3) = R = H(f)

Příklady na procvičení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = log1/3 (x-2) . Určete D a H všech funkcí. Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = log4 x – 1. Určete D a H př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = log1/2 (x-4) + 3. Určete D a H přeskočit

Sestrojte graf funkce f: y = log1/3 (x - 2). Určete D a H všech Řešení př. 1: Sestrojte graf funkce f: y = log1/3 (x - 2). Určete D a H všech funkcí. D(f) funkce f je ( 2; ∞) , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x – 2 > 0 . základní funkce: f1: y = log1/3 x expon. funkce: f1´: y = logar. funkce: f1 : y = log1/3 x x - 1 1 y 3 1/3 x 3 1 1/3 y -1

Řešení př. 1: zpět D(f1) = R+ H(f1) = R D(f2) = ( 2; ∞) = D(f) H(f2) = R = H(f) zpět

Sestrojte graf funkce f: y = log4 x - 1. Určete D a H všech funkcí. Řešení př. 2: Sestrojte graf funkce f: y = log4 x - 1. Určete D a H všech funkcí. D(f) funkce f je R+ , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x > 0 . základní funkce: f1: y = log4 x expon. funkce: f1´: y = 4x logar. funkce: f1 : y = log4 x x - 1 1 y 1/4 4 x 1/4 1 4 y -1

Řešení př. 2: zpět D(f1) = R+ H(f1) = R D(f2) = R+ = D(f) H(f2) = R = H(f) zpět

Sestrojte graf funkce f: y = log1/2 (x – 4) + 3. Určete D a H všech Řešení př. 3: Sestrojte graf funkce f: y = log1/2 (x – 4) + 3. Určete D a H všech funkcí. D(f) funkce f je ( 4; ∞) , protože pro hodnotu logaritmu platí, že musí být x - 4 ≥ 0 . základní funkce: f1: y = log1/2 x expon. funkce: f1´: y = logar. funkce: f1 : y = log1/2 x x - 1 1 y 2 1/2 x 2 1 1/2 y -1

Řešení př. 3: zpět D(f1) = R+ H(f1) = R D(f2) = ( 4; ∞) H(f2) = R D(f3) = ( 4; ∞) = D(f) H(f3) = R = H(f) zpět

Shrnutí předpis: f: y = loga x podle a (základu) má logaritmická funkce dva tvary: a (0;1) ... klesá; a (1; ∞) ... roste posunutí: jestli bude  f: y = loga (x + m)  + m ... posuneme doleva dle osy x + nová osa y´ jestli bude  f: y = loga (x – m)  - m ... posuneme doprava dle osy x jestli bude  f: y = loga (x + m) + n  + n ... posuneme nahoru dle osy y jestli bude  f: y = loga (x – m) - n  - n ... posuneme dolů dle osy y

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., 2005. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-318-6