Matice
Matice typu n m m, n jsou přirozená čísla aijR pro každé i = 1, …, n a každé j = 1, …, m (aij) =
m n obdélníková matice typu n m m = n čtvercová matice řádu n prvek aij stojí v matici na místě ij
Totožné matice říkáme, že se rovnají mají stejný typ jejich prvky na odpovídajících místech jsou stejné
řádek matice a sloupec matice termíny používáme v obvyklém smyslu matice typu n m má tedy n řádků a m sloupců hlavní diagonála - prvky a11, a22, …, ann
Součet dvou matic A = (aij) a B = (bij) obě matice jsou typu n m A + B = (aij + bij) je typu n m na místě ij má součet prvků stojících v maticích A a B na místě ij matice sčítáme po složkách
Příklad A = B = C = A + B = B + C, A + C není definováno
Součin matic A, B (v tomto pořadí) A = (ais) je matice typu n m B = (bsj) matice typu m k AB = typu n k na místě ij je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B řádky matice A mají stejný počet prvků jako sloupce matice B (m)
Příklad A = AC = = C =
Příklad C = CA není definováno A =
Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích.
Matice A a B mají definovaný součet právě tehdy, mají-li matice A a B stejný typ. Součet A + B má potom stejný typ jako matice A a B. Součin AB matic A, B je definován jen tehdy, má-li matice A stejný počet sloupců jako matice B řádků; součin AB má pak stejný počet řádků jako matice A a stejný počet sloupců jako matice B.
Pro sčítání a násobení matic platí: A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C AB BA A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC
Nulová matice typu n m matice O = (aij), kde aij = 0 pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m O =
Opačná matice k matici A = (aij) typu m n matice –A = (–aij) stejného typu –A =
O je nulová matice typu n m A je matice typu n m A + O = O + A = A A + (–A) = (–A) + A = O
Jednotková matice řádu n matice E = (ij), kde ij = 1 pro i, j = 1, …, n, i = j ij = 0 pro i, j = 1, …, n, i j E =
E je jednotková matice řádu n m je přirozené číslo pro každou matici A typu n m EA = A pro každou matici B typu m n BE = B pro každou čtvercovou matici C řádu n CE = EC = C
Násobení matic skaláry A = (aij) je matice typu n m c je reálné číslo cA = (c.aij) c-násobek matice A cA je typu n m na místě ij má c-násobek prvku, který v matici A stojí na místě ij
Příklad A = –2A =
A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit; c, d R Potom platí: c(A + B) = cA + cB (c + d)A = cA + dA (cd)A = c(dA) c(AB) = (cA)B = A(cB)
Transponovaná matice k matici A A = (aij) je matice typu n m AT = (bji) typu m n , kde pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m bji = aij
Příklad A = AT =
A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit, c R Potom platí: (A + B)T = AT + BT (AB)T = BTAT (cA)T = cAT (AT)T = A
Hodnost matice Elementární úpravy
Diagonální matice každá matice, která má mimo hlavní diagonálu samé nuly Př.:
odstupňovaná matice každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející (pokud tento existuje) druhý řádek (pokud existuje) začíná alespoň jednou nulou třetí řádek začíná alespoň dvěmi nulami i-tý řádek alespoň (i – 1) nulami
Odstupňované matice
horní trojúhelníková A = (aij) je čtvercová matice řádu n pro každé i, j = 1, ..., n, i > j, je aij = 0 Př.:
dolní trojúhelníková A = (aij) je čtvercová matice řádu n pro každé i, j = 1, ..., n, i < j, je aij = 0 Př.:
Hodnost matice A Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A Značíme h(A)
h(A) = h(AT) Transponováním se hodnost matice nemění. Hodnost matice AT h(A) = h(AT) Transponováním se hodnost matice nemění. Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice AT Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A
Řádkové elementární úpravy matice Výměna dvou řádků. Vynásobení některého řádku nenulovým číslem. Přičtení c-násobku jednoho řádku k jinému řádku (c R). Podobně definujeme sloupcové elementární úpravy.
ekvivalentní matice A, B jednu z nich lze převést v druhou konečným počtem elementárních úprav Označujeme: A B h(A) = h(B) Provádění řádkových a sloupcových elementárních úprav nemění hodnost matice.
Hodnost matice A typu n m h(A) min(n, m)
Regulární matice čtvercová matice řádu n h(A) = n
Singulární matice čtvercová matice řádu n h(A) < n
Praktický výpočet hodnosti matice: Pomocí elementárních úprav převedeme danou matici na odstupňovaný tvar. Vynecháme nulové řádky. Počet nenulových řádků v této matici je roven její hodnosti (řádky v odstupňované matici jsou lineárně nezávislé).
Praktický výpočet hodnosti matice: Jestliže je hodnost h matice A stejná jako počet řádků matice n (h = n), jsou řádky matice A lineárně nezávislé. Jestliže h < n, jsou řádky lineárně závislé a lze mezi nimi vybrat nejvýše h lineárně nezávislých řádků.
Inverzní matice
Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích. Je-li navíc AB = BA = E, říkáme, že matice B je inverzní k matici A a značíme ji A-1.
Inverzní matice Inverzní maticí k matici A budeme rozumět matici A-1, pro kterou je AA-1 = A-1A = E. Matice A, ke které inverzní matice existuje, se nazývá invertibilní. Inverzní matice k invertibilní matici A je maticí A určena jednoznačně.
Invertibilní matice A-1 = A = B-1 = B =
Matice není invertibilní: Invertibilní matice čtvercová řádu n regulární h(A) = n Matice není invertibilní: obdélníková singulární h(A) < n
(AB)-1 = B-1 A-1 A, B jsou invertibilní matice řádu n. Potom rovněž matice AB je invertibilní a je (AB)-1 = B-1 A-1 Důkaz: (AB).(B-1 A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E a podobně (B-1 A-1).AB = E Matice AB a B-1 A-1 jsou tedy navzájem inverzní.
(AT)-1 = (A-1)T Jestliže je A čtvercová invertibilní matice, potom je matice AT rovněž invertibilní a je (AT)-1 = (A-1)T
Praktický výpočet inverzní matice: Převedeme-li řádkovými elementárními úpravami matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární úpravy převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A-1.
Praktický výpočet inverzní matice: Zapíšeme vedle sebe danou matici A a matici jednotkovou E. Postupně provádíme takové řádkové elementární úpravy, které nám převedou matici A na jednotkovou matici E. Každou úpravu, kterou provedeme v matici A, provedeme také v matici E. Nejprve postupujeme směrem shora dolů a snažíme se, abychom v matici A na hlavní diagonále dostali samé jedničky a pod hlavní diagonálou samé nuly. Poté postupujeme zdola nahoru tak, aby i nad hlavní diagonálou byly samé nuly. Takto získáme na místě matice A jednotkovou matici E. Na místě původní jednotkové matice E je potom hledaná inverzní matice A-1.
K matici A najděte matici inverzní
maticová rovnice AX = B AX = B A-1AX = A-1B AXA-1= BA-1 EX = A-1B zkouška: l = AA-1B = EB = B p = B
maticová rovnice XA = B XA = B XAA-1 = BA-1 A-1XA= A-1B XE = BA-1 X = BA-1 zkouška: l = BA-1A = BE = B p = B
Určete matici X, která vyhovuje rovnici XA = B, kde XA = B X = B A-1 X = = A-1 =