EU-8-53 – DERIVACE FUNKCE IX Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu: Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-53 – DERIVACE FUNKCE IX (derivace exponenciálních a logaritmických funkcí) Anotace Zopakování exponenciálních, logaritmických funkcí a pojmu inverzní funkce. „Rychlé“ nalezení rovnice inverzní funkce k funkci logaritmické (exponenciální). Odvození (důkaz) derivací logaritmických a exponenciálních funkcí. Autor PaedDr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Žák chápe odvození derivace exponenciálních a logaritmických funkcí, odvozené vzorce dovede používat při řešení úloh. Klíčová slova Exponenciální funkce, logaritmická funkce, inverzní funkce, derivace exponenciální a logaritmické funkce. Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 30. 1. 2013

PŘÍKLAD 1: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci. f: y = 2x; D(f) = R; H(f) = (0; + ) f -1: x = 2y  log2x = log22y  log2x = y . log22  y = log2x D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 2x-1 + 4.

PŘÍKLAD 2: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci. f: y = ex; D(f) = R; H(f) = (0; + ) f -1: x = ey  logex = logeey  ln x = y . ln e  y = ln x D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = ex+1 – 3.

PŘÍKLAD 3: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci. f: y = 2–x =0,5x; D(f) = R; H(f) = (0; + ) f -1: x = 0,5y  log0,5x = log0,50,5y  log0,5x = y . log0,50,5  y = log0,5x D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 0,5x+1 –3.

ANIMACE – PŘÍKLAD 3: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.

Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = log2(x–2)+1. PŘÍKLAD 4: Inverzní funkce k logaritmické (exponenciální) funkci. f: y = log2x; D(f) = (0; + ); H(f) = R f -1: x = log2y  log22x = log2y  y = 2x D(f-1) = H(f) = R; H(f-1) = D(f) = (0; + ) Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = log2(x–2)+1.

ANIMACE – PŘÍKLAD 4: Inverzní funkce k logaritmické (exponenciální) funkci.

DERIVACE exponenciální funkce y = ex (nejdříve jedna důležitá limita)

Funkce y = ex se derivací nemění! y = y/ = ex DERIVACE exponenciální funkce y = ex (odvození derivace funkce pomocí definice derivace) Při odvození derivace funkce použijeme následující úvahy: x  x0  (x – x0)  0; položíme-li h = x – x0  h  0 Funkce y = ex se derivací nemění! y = y/ = ex

y = ax y/ = (ax)/ = (ex lna)/ = DERIVACE exponenciální funkce y = ax Při odvození derivace funkce použijeme následující: 1. y = ln x  ey = x  elnx = x (definice přirozeného logaritmu); 2. dosadíme-li v rovnici elnx = x za x = a, dostaneme elna = a (a>0); 3. potom platí ax = (elna)x = ex.lna. y = ax y/ = (ax)/ = (ex lna)/ = [použitím derivace složené funkce dostaneme] = ex lna . (x . lna)/ = ex lna . [(x)/ . lna + x . (lna)/ ] = [použití derivace součinu funkcí] = ex lna . [ lna + 0 ] = ex lna . lna = ax . lna  x  R;  a  R+ – {1}; (ax)/ = ax . lna Ty Dosadíme-li do odvozeného vzorce za a = e, dostaneme: (ex)/ = ex . lne = ex . 1 = ex.

DERIVACE logaritmické funkce y = logax Při odvození derivace funkce y = logax použijeme derivaci inverzní funkce y = logax  x = ay  x  (0; + );  y  R;  a  R+  {1} Dosadíme-li za a = e dostaneme: Ty

SHRNUTÍ – DERIVACE EXPONENCIÁLNÍCH A LOGARITMICKÝCH FUNKCÍ AUTOTEST – VYPOČÍTEJTE DERIVACE FUNKCÍ: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.