Povrch a objem jehlanu procvičení Tento Digitální učební materiál vznikl díky finanční podpoře EU- Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Není –li uvedeno jinak, je tento materiál zpracován Mgr. Evou Majlišovou Povrch a objem jehlanu procvičení

Vyber si úlohu dle vlastních schopností. 1) Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou a = 6 cm a výškou v = 9 cm.( Uvědom si, jaký tvar má podstava) 2) Vypočítej povrch a objem jehlanu s podstavou pravidelného šestiúhelníka se stranou 6 cm a výškou v = 8 cm. 3) Na střeše věže vesnického kostela je nutné vyměnit stávající krytinu za měděný plech. Střecha má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou 6 m a výškou 4 m. Zjistěte kolik Kč tato výměna bude stát , jestliže m² plechu stojí 1 750 Kč. (Nutno dodat, že na spoje se počítá 10% potřebného množství plechu.) 4) Cheopsova pyramida ,která má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu, má v současné době rozměry 230,38 m a výšku 137,5 m, dříve byla o 2 m širší a o 9 m vyšší. Urči o kolik m³ se zmenšil její objem. 5) Určete objem čtyřstěnu s délkou hrany h = 5cm a v = 4cm. 6) Kolik m² materiálu je třeba na zhotovení stanu bez podlážky tvaru pravidelného osmiúhelníka. Podstavná hrana je 1,2 m, výška je 2,3 m (na švy se počítá 10% materiálu). 7) Kolik ml vosku bude potřeba na zhotovení svíčky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou a = 6 cm a výškou v = 18 cm.

Vypočítej objem tohoto pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou a = 6 cm a výškou v = 9 cm. ( Uvědom si, jaký tvar má podstava) Pro kontrolu si klikni. Výpočet: V = 1/3 . Sp . v V = 1/3 . a . a .v V = 1/3. 6 . 6 .9 V = 1/3 . 36 . 9 V = 1/3 . 324 V = 108 cm3 Objem jehlanu je 108 cm3. ZPĚT NA ZADÁNÍ

Vypočítej povrch a objem jehlanu s podstavou pravidelného šestiúhelníka se stranou 6 cm a výškou v = 8 cm. Pro kontrolu si klikni. Podstava PLÁŠŤ Sp = 6 . ½ . a . vp Sp = 6 . ½ . 6 . 5,2 Sp = 18 . 5,2 Sp = 93,6 cm² w w vP v vp 6 S = Sp + Spl S = 93,6 + 171,72 S = 265,32 cm² 3 Spl = 6 . ½ . a . w Spl = 6 . ½ . 6 . 9,54 Spl = 18 . 9,54 Spl = 171,72 cm² w² = v² + vp² w² = 8² + 5,2² w² = 64 + 27 w² = 91 w = 9,54 cm V = Sp . v V = 93,6 . 8 V = 748,8 cm³ vp² = 6² - 3² vp² = 36 - 9 vp² = 27 vp = 5,2 cm Povrch tohoto jehlanu je asi 265,32 cm² a objem je 748,8 cm³. ZPĚT NA ZADÁNÍ

Výměna střešní krytiny bude stát 115 500 Kč. Na střeše věže vesnického kostela je nutné vyměnit stávající krytinu za měděný plech. Střecha má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou 6 m a výškou 4 m. Zjistěte kolik Kč tato výměna bude stát , jestliže m² plechu stojí 1 750 Kč. (Nutno dodat, že na spoje se počítá 10% potřebného množství plechu.) Pro kontrolu si klikni. Jak zjistíme kolik Kč to bude stát? Pomocí povrchu jehlanu Budeme potřebovat zjistit celý povrch? Ne, jenom plášť. Jak vypočítáme obsah pláště pravidelného 4-bokého jehlanu? Spl = 2 . a . w Spl = 2 . 6 . 5 Spl = 60 m² w² = v² + ½.a w² = 4² + 3² w² = 16 + 9 w² = 25 w = 5 m 100%............6O 10%............. X X = 60 . 10/100 X = 600/100 X = 6 m² ZPĚT NA ZADÁNÍ Celkové množství plechu - 60 + 6 = 66 m². Výpočet ceny: 66 . 1 750 = 115 500 Výměna střešní krytiny bude stát 115 500 Kč.

Cheopsova pyramida ,která má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu, má v současné době rozměry 230,38 m a výšku 137,5 m, dříve byla o 2 m širší a o 9 m vyšší. Urči o kolik m³ se zmenšil její objem. Pro kontrolu klikni. Objem původní pyramidy: V₁ = 1/3 . Sp . v V₁ = 1/3 . 232,38 . 232,38 . 146,5 V₁ = 1/3 . 54000,4644 . 146,5 V₁ = 1/3 . 7911068,03 V₁= 2637022,68 m³ Objem dnešní pyramidy: V₂ = 1/3 . Sp . v V₂ = 1/3 . 230,38 . 230,38 . 137,5 V₂ = 1/3 . 53074,9444 . 137,5 V₂ = 1/3 . 7297804,863 V = 2432601,62 m³ ZPĚT NA ZADÁNÍ Rozdíl objemů: 2637022,68 m³ - 2432601,62 m³ = 204421,06 m³ Objem pyramidy se zmenšil o 204421,06 m³.

Objem tohoto jehlanu je přibližně 14,3 cm3. Určete objem čtyřstěnu s délkou hrany h = 5cm a v = 4cm. Pro kontrolu si klikni. h podstava w ZPĚT NA ZADÁNÍ V = 1/3. SP . v SP = ½ . a . w w2 = h2 – (1/2h)2 V = 1/3 . 10,75 . 4 w2 = 52 – 2,52 SP = ½ . 5 . w V = 1/3 . 43 w2 = 25 – 6,25 Sp = ½ . 5 . 4,3 V = 14,3 cm3 w2 = 18,75 Sp = ½ . 21,5 Sp = 10,75 cm2 w = 4,3 cm Objem tohoto jehlanu je přibližně 14,3 cm3.

PLÁŠŤ Na stan je potřeba asi 14,5 m² materiálu. Spl = 13,152 m² Kolik m² materiálu je třeba na zhotovení stanu bez podlážky tvaru pravidelného osmiúhelníka. Podstavná hrana a = 1,2 m, průměr podstavy d = 3,2 m a výška v = 2,3 m (na švy se počítá 10% materiálu). Pro kontrolu si klikni. Budeme počítat jen plášť jehlanu: Spl = 8 . ½ . a . w Spl = 4 . a . w Spl = 4 . 1,2 . 2,74 Spl = 4,8 . 2,74 Spl = 13,152 m² ZPĚT NA ZADÁNÍ w h a/2 h v d/2 PLÁŠŤ h h² = v² + (d/2)² h² = 2,3² + 1,6² h² = 5,29 + 2,56 h² = 7,85 h = 2,8 m Množství materiálu: Spl + 10% z Spl 13,152 + 1,3152 = 14,4672 w² = h² - (a/2)² w² = 2,8² - 0,6² w² = 7,85 – 0,36 w² = 7,49 w = 2,74 m Na stan je potřeba asi 14,5 m² materiálu.

Na výrobu svíčky bude potřeba 216 ml vosku. Kolik ml vosku bude potřeba na zhotovení svíčky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou a = 6 cm a výškou v = 18 cm. Pro kontrolu si klikni. Musíme počítat objem: V = 1/3 . a . a . v V = 1/3 . 6 . 6 . 18 V = 1/3 . 36 . 18 V = 12 . 18 V = 216 cm³ = 0,216 dm³ = 0,216 l = 216 ml Na výrobu svíčky bude potřeba 216 ml vosku. ZPĚT NA ZADÁNÍ