Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko. NÁZEV MATERIÁLU: Aritmetická posloupnost Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013

Aritmetická posloupnost

Osnova a)pojem aritmetická posloupnost b)vzorce + ukázkové příklady c)příklady na procvičení včetně řešení d)slovní úlohy řešené aritmetickou posloupnosti včetně řešení

Aritmetická posloupnost posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je a n+1 = a n + d reálnému číslu d se říká diference; značí se - d např. d = 2 posloupnost 1, 3, 5, 7, 9, stejná hodnota  2

Vzorce + ukázkové příklady vzorec pro výpočet dalšího členu pomocí předcházejícího a diference a n+1 = a n + d Př. a 1 = 3 ; d = 4 ; a 2 = ? ; a 3 = ? a 2 = a a 3 = a a 2 = a 3 = a 2 = 7 a 3 = 11 vzorec pro výpočet členu pomocí předcházejícího a následujícího členu a n = (a n+1 + a n-1 )/ 2 Př. a 2 = -7 ; a 4 = 1 ; a 3 = ? a n = (a n+1 + a n-1 ) / 2 a 3 = (a 4 + a 2 ) / 2 a 3 = (1 + (-7) ) / 2 a 3 = - 3

Vzorce + ukázkové příklady vzorec pro výpočet libovolného členu pomocí prvního členu a diference a n = a 1 + (n – 1).d Př. a 1 = 3 ; d = 4 ; a 20 = ? a 20 = a 1 + (20 – 1).d a 20 = a 20 = a 20 = 79 vzorec pro výpočet libovolného členu pomocí nějaké členu a diference a r = a s + (r – s).d Př. a 5 = -2 ; d = 2 ; a 18 = ? a 18 = a 5 + (18 – 5).d a 18 = a 18 = a 18 = 24

Vzorce + ukázkové příklady vzorec pro součet konečného počtu členů aritmetické posloupnosti S n = n/2. (a 1 + a n ) Př. a 1 = 3 ; a 20 = 142 ; n = 20 ; S n = ? S 20 = 20/2. (a 1 + a 20 ) S 20 = 10. ( ) S 20 = S 20 = 1450

Příklady na procvičení př. 1: a 1 = - 2 ; d = - 3 ; a 124 = ? Řešení př. 2: a 1 = 4 ; a 16 = - 84 ; d = ? Řešení př. 3: a 6 = 15 ; d = - ½ ; a 33 = ? Řešení př. 4: a 8 = - 10 ; a 14 = 8 ; d = ? ; a 1 = ? Řešení př. 5: a 1 = 15 ; d = 3 ; S 11 = ? Řešení přeskočit

Řešení př. 1: a 1 = - 2 ; d = - 3 ; a 124 = ? a n = a 1 + (n – 1).d a 124 = (124 – 1).(- 3) a 124 = (- 3) a 124 = (- 369) a 124 = zpět

Řešení př. 2: a 1 = 4 ; a 16 = - 84 ; d = ? a n = a 1 + (n – 1).d a 16 = a 1 + (16 – 1).d - 84 = d / = 15.d - 88 = 15.d / : 15 = d zpět

Řešení př. 3: a 6 = 15 ; d = - ½ ; a 33 = ? a r = a s + (r – s).d a 33 = a 6 + (33 – 6).d a 33 = (- ½) a 33 = 15 + (- 13,5) a 33 = 1,5 pozn.: za a r dosazujeme pořadově vyšší člen posloupnosti, konkrétně zde a r = a 33 zpět

Řešení př. 4: a 8 = - 10 ; a 14 = 8 ; d = ? ; a 1 = ? a r = a s + (r – s).d a n = a 1 + (n – 1).d a 14 = a 8 + (14 – 8).d a 14 = a 1 + (14 – 1).d 8 = d / = a = 6.d 8 = a / = 6.d / : = a 1 3 = d - 31 = a 1 zpět

Řešení př. 5: a 1 = 15 ; d = 3 ; S 11 = ? a n = a 1 + (n – 1).d nejprve musíme vyřešit člen a 11 a 11 = 15 + (11 – 1).3 a 11 = a 11 = a 11 = 45 S n = n/2. (a 1 + a n ) a nyní součet S 11 = 11/2. (a 1 + a 11 ) S 11 = 5,5. ( ) S 11 = 330 zpětzpět

Slovní úlohy včetně řešení př. 1: Vyřešte součet prvních sto kladných sudých čísel? Řešení př. 2: Dělník vyrobí za směnu 40 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 12 směn, kdyby svůj výkon postupně zvyšoval každou směnu o 3 součástky? Řešení přeskočit

Řešení př. 1: Vyřešte součet prvních sto kladných sudých čísel? a 1 = 2 ; a 2 = 4; a 3 = 6 ;... příklad si rozebereme a napíšeme co víme a n + 1 = a n + d zjistíme kolik je diference a 2 = a 1 + d 2 = d a n = a 1 + (n – 1).d musíme zjistit stý člen – a 100 a 100 = 2 + (100 – 1).2 a 100 = 200 S n = n/2. (a 1 + a n ) dopočítáme součet sto kladných sudých čísel S 100 = 100/2. ( ) S 100 =  Součet je zpět zpět

Řešení př. 2: Dělník vyrobí za směnu 40 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 12 směn, kdyby svůj výkon postupně zvyšoval každou směnu o 3 součástky? a 1 = 40 ; d = 3; n = 12 ;... příklad si rozebereme a napíšeme co víme a n = a 1 + (n – 1).d musíme zjistit dvanáctý člen – a 12 a 12 = a 1 + (12 – 1).d a 12 = 40 + (12 – 1).3 a 12 = 73 S n = n/2. (a 1 + a n ) dopočítáme počet součástek za 12 směn S 12 = 12/2. ( ) S 12 = 678 Dělník by vyrobil za 12 směn 678 součástek. zpět

Shrnutí aritmetická posloupnost -zvětšuje či zmenšuje se neustálé o stejnou hodnotu - diference vzorce a n+1 = a n + d a n = (a n+1 + a n-1 )/ 2 a n = a 1 + (n – 1).d a r = a s + (r – s).d S n = n/2. (a 1 + a n )

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., Učebnice pro střední školy. ISBN