MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA Podmínky používání prezentace Stažení, instalace na jednom počítači a použití pro soukromou potřebu jednoho uživatele je zdarma. Použití pro výuku jako podpůrný nástroj pro učitele či materiál pro samostudium žáka, rovněž tak použití jakýchkoli výstupů (obrázků, grafů atd.) pro výuku je podmíněno zakoupením licence pro užívání software E-učitel příslušnou školou. Cena licence je 250,- Kč ročně a opravňuje příslušnou školu k používání všech aplikací pro výuku zveřejněných na stránkách www.eucitel.cz. Na těchto stránkách je rovněž podrobné znění licenčních podmínek a formulář pro objednání licence. Pro jiný typ použití, zejména pro výdělečnou činnost, publikaci výstupů z programu atd., je třeba sjednat jiný typ licence. V tom případě kontaktujte autora (info@eucitel.cz) pro dojednání podmínek a smluvní ceny. OK © RNDr. Jiří Kocourek 2013

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA © RNDr. Jiří Kocourek 2013

Tuhé těleso – fyzikální model ideálního tělesa, které nemění svůj tvar ani objem působením libovolně velkých sil.

Tuhé těleso – fyzikální model ideálního tělesa, které nemění svůj tvar ani objem působením libovolně velkých sil. Poznámka: model tuhého tělesa můžeme použít v případech, kdy můžeme zanedbat deformační účinky působících sil (např. je-li těleso vyrobeno z velmi tvrdého materiálu, nebo jsou-li síly působící na těleso velmi malé).

Pohyb tuhého tělesa Posuvný pohyb

Pohyb tuhého tělesa Posuvný pohyb

Pohyb tuhého tělesa Posuvný pohyb Všechny body opisují stejnou trajektorii; v každém okamžiku mají všechny stejnou rychlost.

Pohyb tuhého tělesa Otáčivý pohyb

Pohyb tuhého tělesa Otáčivý pohyb

Pohyb tuhého tělesa Otáčivý pohyb Trajektorie bodů v tělese jsou soustředné kružnice (nebo se nepohybují – leží-li na ose); všechny body se pohybují se stejnou úhlovou rychlostí.

Síly působící na tuhé těleso F

Síly působící na tuhé těleso Jak by se změnil účinek síly, pokud bychom její působiště posunuli do jiného místa na její vektorové přímce? F

Síly působící na tuhé těleso Jak by se změnil účinek síly, pokud bychom její působiště posunuli do jiného místa na její vektorové přímce? F1 F2 F Přidejme k síle F ještě další dvě navzájem opačné síly F1 a F2 , jejichž velikost je stejná jako velikost síly F. Účinek sil F1 a F2 se vyruší; účinek všech tří sil je tedy stejný jako účinek samotné síly F.

Síly působící na tuhé těleso Jak by se změnil účinek síly, pokud bychom její působiště posunuli do jiného místa na její vektorové přímce? F1 F2 F Účinek samotných sil F a F2 by se však rovněž vyrušil, neboť by mohly způsobit jen deformaci tělesa, což u tuhého tělesa není možné.

Síly působící na tuhé těleso Jak by se změnil účinek síly, pokud bychom její působiště posunuli do jiného místa na její vektorové přímce? F1 Samotná síla F1 má tedy stejný účinek, jako všechny tři síly dohromady a tedy i jako samotná síla F.

Síly působící na tuhé těleso Účinek síly působící na tuhé těleso se nezmění, posuneme-li působiště síly do libovolného bodu její vektorové přímky. F1 F

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Jaká veličina by nejlépe popisovala otáčivý účinek síly vzhledem k pevné ose? O F

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Jaká veličina by nejlépe popisovala otáčivý účinek síly vzhledem k pevné ose? O F Posunutím síly po vektorové přímce se její účinek (tedy ani otáčivý) nezmění.

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Jaká veličina by nejlépe popisovala otáčivý účinek síly vzhledem k pevné ose? O F Posunutím síly po vektorové přímce se její účinek (tedy ani otáčivý) nezmění.

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Jaká veličina by nejlépe popisovala otáčivý účinek síly vzhledem k pevné ose? O F Změní-li se poloha vektorové přímky vůči ose (její vzdálenost od osy otáčení), účinky síly se změní.

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Jaká veličina by nejlépe popisovala otáčivý účinek síly vzhledem k pevné ose? F O Změní-li se poloha vektorové přímky vůči ose (její vzdálenost od osy otáčení), účinky síly se změní.

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Jaká veličina by nejlépe popisovala otáčivý účinek síly vzhledem k pevné ose? F O Změní-li se poloha vektorové přímky vůči ose (její vzdálenost od osy otáčení), účinky síly se změní.

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Moment síly vzhledem k ose otáčení: O d ... rameno síly d F

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Moment síly vzhledem k ose otáčení: O d ... rameno síly d Jednotka: F newton metr

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Moment síly vzhledem k ose otáčení: O d ... rameno síly d Jednotka: F newton metr Poznámka: Moment síly je nutno chápat jako vektorovou veličinu. Je-li však osa otáčení pevná, můžeme pouze zvolit jistý smysl otáčení (např. proti směru hodinových ručiček) za kladný a moment síly, který by způsoboval otáčení v tomto smyslu rovněž kladný. Momenty, které způsobují otáčení v opačném smyslu mají znaménko záporné.

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Kdy se otáčivé účinky více sil působících na tuhé těleso vyruší? O d1 d2 F1 F2

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Kdy se otáčivé účinky více sil působících na tuhé těleso vyruší? O d1 d2 F2 F1

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Kdy se otáčivé účinky více sil působících na tuhé těleso vyruší? O d1 d2 F2 F1

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Momentová věta: Otáčivý účinek více sil působících na tuhé těleso se vyruší, je-li vektorový součet všech momentů těchto sil nulový.

Síly působící na tuhé těleso Otáčivý účinek síly Momentová věta: Otáčivý účinek více sil působících na tuhé těleso se vyruší, je-li vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Poznámka: V praxi používáme momentovou větu tak, že sečteme momenty sil, které by způsobily otáčení v kladném smyslu a zvlášť sečteme momenty sil, které by způsobily otáčení v opačném smyslu. Pokud se oba součty rovnají, otáčivé účinky všech sil se vyruší.

Síly působící na tuhé těleso Skládání různoběžných sil F2 F1

Síly působící na tuhé těleso Skládání různoběžných sil Víme, že účinky síly na tuhé těleso se nezmění, posuneme-li její působiště do libovolného bodu její vektorové přímky. F2 F1

Síly působící na tuhé těleso Skládání různoběžných sil Víme, že účinky síly na tuhé těleso se nezmění, posuneme-li její působiště do libovolného bodu její vektorové přímky. F1 F2 F2 F1 Dvě různoběžné síly proto můžeme vždy posunout do společného působiště – průsečíku jejich vektorových přímek.

Síly působící na tuhé těleso Skládání různoběžných sil Víme, že účinky síly na tuhé těleso se nezmění, posuneme-li její působiště do libovolného bodu její vektorové přímky. F1 F2 F F2 F1 Dvě různoběžné síly proto můžeme vždy posunout do společného působiště – průsečíku jejich vektorových přímek. Síly pak skládáme obdobným způsobem jako síly působící na hmotný bod.

Síly působící na tuhé těleso Skládání rovnoběžných sil F1 F2

Síly působící na tuhé těleso Skládání rovnoběžných sil Účinek hledané výslednice musí být stejný jako společné účinky obou původních sil, a to včetně otáčivých účinků vůči libovolné ose. F1 F2 F

Síly působící na tuhé těleso Skládání rovnoběžných sil Účinek hledané výslednice musí být stejný jako společné účinky obou původních sil, a to včetně otáčivých účinků vůči libovolné ose. O F1 F2 F Zvolme osu otáčení v místě působiště výslednice. Moment výslednice je vůči této ose nulový; výsledný moment obou původních sil musí být rovněž nulový.

Síly působící na tuhé těleso Skládání rovnoběžných sil Účinek hledané výslednice musí být stejný jako společné účinky obou původních sil, a to včetně otáčivých účinků vůči libovolné ose. d1 d2 O F1 F2 F Zvolme osu otáčení v místě působiště výslednice. Moment výslednice je vůči této ose nulový; výsledný moment obou původních sil musí být rovněž nulový.

Síly působící na tuhé těleso Skládání rovnoběžných sil Účinek hledané výslednice musí být stejný jako společné účinky obou původních sil, a to včetně otáčivých účinků vůči libovolné ose. d1 d2 O F1 F2 F Zvolme osu otáčení v místě působiště výslednice. Moment výslednice je vůči této ose nulový; výsledný moment obou původních sil musí být rovněž nulový.

Síly působící na tuhé těleso Skládání rovnoběžných sil Účinek hledané výslednice musí být stejný jako společné účinky obou původních sil, a to včetně otáčivých účinků vůči libovolné ose. d1 d2 O F1 F2 F Zvolme osu otáčení v místě působiště výslednice. Moment výslednice je vůči této ose nulový; výsledný moment obou původních sil musí být rovněž nulový. Velikost výslednice musí být součtem velikostí obou sil (síly jsou rovnoběžné a souhlasně orientované)

Síly působící na tuhé těleso Skládání rovnoběžných sil Účinek hledané výslednice musí být stejný jako společné účinky obou původních sil, a to včetně otáčivých účinků vůči libovolné ose. F2 d2 O F F1 d1 Pokud mají síly opačný směr, leží působiště za větší z obou sil; velikost výslednice je rovna rozdílu velikostí původních sil.

Síly působící na tuhé těleso Dvojice sil Působí-li na tuhé těleso současně dvě rovnoběžné, stejně velké a opačně orientované síly, nelze je skládat obvyklým způsobem. Výslednice takových sil je nulová, mají však na těleso otáčivý účinek. d ... rameno dvojice sil –F d F

Síly působící na tuhé těleso Dvojice sil Působí-li na tuhé těleso současně dvě rovnoběžné, stejně velké a opačně orientované síly, nelze je skládat obvyklým způsobem. Výslednice takových sil je nulová, mají však na těleso otáčivý účinek. d ... rameno dvojice sil –F d Moment dvojice sil: F

Síly působící na tuhé těleso Dvojice sil Působí-li na tuhé těleso současně dvě rovnoběžné, stejně velké a opačně orientované síly, nelze je skládat obvyklým způsobem. Výslednice takových sil je nulová, mají však na těleso otáčivý účinek. d ... rameno dvojice sil –F d Moment dvojice sil: F Poznámka: Moment dvojice sil závisí pouze na velikosti sil a vzájemné vzdálenosti jejich vektorových přímek, nezávisí však na poloze osy otáčení. Bude-li těleso upevněno na pevné ose, bude se otáčet kolem této osy. Není-li nikde v tělese pevná osa, otáčí se vždy kolem těžiště (využívá se např. při manévrování kosmických lodí v beztížném stavu).

Síly působící na tuhé těleso Rozklad sil na různoběžné složky V některých případech potřebujeme naopak nahradit jednu sílu dvěma nebo více složkami, které mají stejný účinek (např. při zavěšení tělesa na lano nebo nosník) F

Síly působící na tuhé těleso Rozklad sil na různoběžné složky V některých případech potřebujeme naopak nahradit jednu sílu dvěma nebo více složkami, které mají stejný účinek (např. při zavěšení tělesa na lano nebo nosník) F Podle konkrétní situace zvolíme směry, do nichž chceme danou sílu rozložit ...

Síly působící na tuhé těleso Rozklad sil na různoběžné složky V některých případech potřebujeme naopak nahradit jednu sílu dvěma nebo více složkami, které mají stejný účinek (např. při zavěšení tělesa na lano nebo nosník) F Podle konkrétní situace zvolíme směry, do nichž chceme danou sílu rozložit a pomocí rovnoběžníku sil určíme velikosti obou složek.

Síly působící na tuhé těleso Rozklad sil na různoběžné složky V některých případech potřebujeme naopak nahradit jednu sílu dvěma nebo více složkami, které mají stejný účinek (např. při zavěšení tělesa na lano nebo nosník) F1 F2 F Podle konkrétní situace zvolíme směry, do nichž chceme danou sílu rozložit a pomocí rovnoběžníku sil určíme velikosti obou složek.

Síly působící na tuhé těleso Rozklad sil na rovnoběžné složky V případě, že potřebujeme sílu rozložit na rovnoběžné složky (např. při podepření tělesa na dvou místech), zvolíme podle situace působiště obou složek. F

Síly působící na tuhé těleso Rozklad sil na rovnoběžné složky V případě, že potřebujeme sílu rozložit na rovnoběžné složky (např. při podepření tělesa na dvou místech), zvolíme podle situace působiště obou složek. d1 d2 F1 F F2 Velikosti složek určíme podle obdobných vztahů jako při skládání rovnoběžných sil.

Těžiště tuhého tělesa Na každý „bod“ tuhého tělesa působí v homogenním tíhovém poli (např. na povrchu Země) rovnoběžné souhlasně orientované síly.

Těžiště tuhého tělesa Fg Na každý „bod“ tuhého tělesa působí v homogenním tíhovém poli (např. na povrchu Země) rovnoběžné souhlasně orientované síly. Výslednice těchto sil je celková tíhová síla působící na těleso. Fg

Těžiště tuhého tělesa T Fg Na každý „bod“ tuhého tělesa působí v homogenním tíhovém poli (např. na povrchu Země) rovnoběžné souhlasně orientované síly. Výslednice těchto sil je celková tíhová síla působící na těleso. Působiště této síly se nazývá těžiště tuhého tělesa. T Fg

Těžiště tuhého tělesa T Fg Na každý „bod“ tuhého tělesa působí v homogenním tíhovém poli (např. na povrchu Země) rovnoběžné souhlasně orientované síly. Výslednice těchto sil je celková tíhová síla působící na těleso. Působiště této síly se nazývá těžiště tuhého tělesa. Jak určit polohu těžiště? (Víme, že působiště síly lze posunout do libovolného bodu její vektorové přímky). T Fg

Těžiště tuhého tělesa Zavěsíme těleso za jeho libovolný bod; na svislé přímce procházející bodem zavěšení (těžnici) musí ležet těžiště – těleso je v rovnováze, moment tíhové síly musí být tedy nulový.

Těžiště tuhého tělesa T Zavěsíme-li těleso v jiném bodě, musí těžiště ležet opět na těžnici. Průsečík všech těžnic udává polohu těžiště (pro určení stačí dvě těžnice). T

Těžiště tuhého tělesa T Poznámka: Těžiště některých těles může ležet mimo samotné těleso, T

Těžiště tuhého tělesa Poznámka: Těžiště stejnorodých těles, která mají střed (osu, rovinu,..) souměrnosti leží vždy v tomto středu (na ose, v rovině, ...).

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový.

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Příklady: O T T T O T

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Stálá (stabilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso vrátit zpět. Příklad: O T FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Stálá (stabilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso vrátit zpět. Příklad: O T FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Stálá (stabilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso vrátit zpět. Příklad: O T FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Stálá (stabilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso vrátit zpět. Příklad: T FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Stálá (stabilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso vrátit zpět. Příklad: T FG O

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Stálá (stabilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso vrátit zpět. Příklad: T FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Vratká (labilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso dále vychýlit (ustálí se v některé ze stabilních poloh). Příklad: T FG O

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Vratká (labilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso dále vychýlit (ustálí se v některé ze stabilních poloh). Příklad: T FG O

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Vratká (labilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso dále vychýlit (ustálí se v některé ze stabilních poloh). Příklad: O T FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Vratká (labilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso dále vychýlit (ustálí se v některé ze stabilních poloh). Příklad: T FG O

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Vratká (labilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso dále vychýlit (ustálí se v některé ze stabilních poloh). Příklad: T FG O

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Vratká (labilní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy se bude výsledný moment sil snažit těleso dále vychýlit (ustálí se v některé ze stabilních poloh). Příklad: T FG O

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Volná (indiferentní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy těleso setrvává v nové poloze (opět rovnovážné), nemá snahu se vychylovat ani vracet do původní polohy. Příklad: T O FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Volná (indiferentní) rovnovážná poloha: Po vychýlení z této polohy těleso setrvává v nové poloze (opět rovnovážné), nemá snahu se vychylovat ani vracet do původní polohy. Příklad: T O FG

Rovnováha tuhého tělesa Tuhé těleso je v rovnováze, pokud: – je vektorový součet všech sil působících na těleso nulový – a zároveň je vektorový součet všech momentů těchto sil nulový. Stabilita tělesa (v dané stálé poloze): je dána prací, kterou musíme vykonat, abychom jej přemístili do nejbližší polohy vratké.

Otáčivý pohyb tuhého tělesa

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Každý bod, který neleží na ose, koná pohyb po kružnici; úhlové rychlosti jsou pro všechny body shodné.

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Obvodová rychlost závisí na vzdálenosti bodu od osy otáčení: v1 v1 r1 r2 v2 r3 v3

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Obvodová rychlost závisí na vzdálenosti bodu od osy otáčení: v1 v1 Kinetická energie každého bodu: r1 r2 v2 r3 v3

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Obvodová rychlost závisí na vzdálenosti bodu od osy otáčení: v1 v1 Kinetická energie každého bodu: r1 r2 v2 r3 v3 Celková kinetická energie tělesa:

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Veličinu v závorce nazýváme moment setrvačnosti tělesa: Celková kinetická energie tělesa:

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Veličinu v závorce nazýváme moment setrvačnosti tělesa: [ J ] = kg·m2 Celková kinetická energie tělesa:

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Veličinu v závorce nazýváme moment setrvačnosti tělesa: [ J ] = kg·m2 Moment setrvačnosti tedy závisí nejen na celkové hmotnosti tělesa, ale i na rozložení hmoty v tělese. Celková kinetická energie tělesa:

Otáčivý pohyb tuhého tělesa Veličinu v závorce nazýváme moment setrvačnosti tělesa: [ J ] = kg·m2 Moment setrvačnosti tedy závisí nejen na celkové hmotnosti tělesa, ale i na rozložení hmoty v tělese. Vztah pro celkovou kinetickou energii tuhého tělesa pak píšeme ve tvaru:

Obrázky, animace a videa použité v prezentacích E-učitel jsou buď originálním dílem autora, nebo byly převzaty z volně dostupných internetových stránek.