Příklady jazyků Příklad 1: G=({S}, {0,1}, P, S) P = {S 0S | 1S | 0 | 1 } je regulární gramatika generující jazyk L(G) = {0,1} + Příklad 2: G=({E, T,F}, {a,b,+,x, ( , ) }, P, E) P = {E E+T | T T TxF | F F (E) | a | b } je bezkontextová gramatika generující aritmetické výrazy tvořené operátory sčítání, násobení, závorkami a operandy a, b

Příklady jazyků Příklad 3: G=({S, A}, {0,1}, P, S) P = {S 0A1 | 01 0A 00A1 | 001} je kontextová gramatika; L(G) = {0 n1 n| n 1} Příklad 4: G=({S, A}, {0,1}, P, S) 0A 00A1 A e } je vzhledem k poslednímu pravidlu gramatika bez omezení, přičemž L(G) = {0 n1 n| n 1}

Příklady jazyků Příklad 5: G1=({S}, {a,+}, P, S) P = {S S+S| a } G1 je bezkontextová gramatika; L(G1) = {a, a+a, a+a+a, …} G2=({S, A}, {a,+}, P, S) P = {S a | aA A +S } G2 je regulární gramatika; L(G2) = {a, a+a, a+a+a, …} je regulární jazyk L(G2) = L(G1) je také regulární jazyk

Příklady gramatik Navrhněte gramatiku generující jazyk nad abecedou {0,1}, jehož slova končí znakem 0 Navrhněte gramatiku generující jazyk nad abecedou {0,1}, jehož slova obsahují podřetězec 00 Navrhněte gramatiku generující jazyk L={aibjck|i,j,k>0} nad abecedou {a,b,c}

Příklady gramatik Navrhněte gramatiku generující jazyk L={aibi|i >0} nad abecedou {a,b} Navrhněte gramatiku generující jazyk L={aibici|i>0} nad abecedou {a,b,c} Navrhněte gramatiku generující jazyk přirozených čísel bez vedoucích nul

Využití formálních jazyků Z hlediska práce s programovacími jazyky je možné se soustředit pouze na jazyky regulární a jazyky bezkontextové Regulární gramatiky a jazyky –specifikace základních objektů (identifikátory, čísla, …) Bezkontextové gramatiky a jazyky – popis složitějších programových konstrukcí (výrazy, příkazy, …) Gramatika jazyk definuje generativním způsobem, ale v praxi se spíše hodí schopnost rozpoznat, zda dané slovo do příslušného jazyka patří či nikoliv – akceptační způsob (rozhodování bude provádět automat)

Konečné automaty DEF: Deterministický konečný automat M je pětice M=(Q,T,,q0,F), kde Q je konečná množina vnitřních stavů automatu T je konečná množina přípustných vstupních symbolů  je přechodová funkce : QxT  Q q0 je počáteční stav automatu (q0Q) F je množina koncových stavů (FQ) Příklad: automat na kontrolu otevírání dveří Q={otevřeno, zavřeno}, T={smí, nesmí}, q0={zavřeno}, F={zavřeno}, (zavřeno, smí)= otevřeno, (zavřeno, nesmí)= zavřeno, (otevřeno, smí)= otevřeno, (otevřeno, nesmí)= zavřeno

Konečné automaty Konečný automat pracuje po krocích (taktech). V každém kroku přečte jeden symbol vstupního řetězce, který spolu se stavem, ve kterém se automat aktuálně nachází, rozhodne o další činnosti automatu. Tato činnost je určena funkcí . Konečný automat přečte symbol c, posune se o jedno políčko vpřed a přejde do stavu q2 právě tehdy, když (q1,c)=q2 a b c d e f g h a b c d e f g h 1 krok q1 q2

Užívané konvence a pojmy DEF: Nechť M=(Q,T,,q0,F) je konečný automat. Potom dvojici (q,w) QxT* nazýváme konfigurací konečného automatu M. Konfiguraci (q0,w), kde w je vstupní řetězec nazýváme počáteční konfigurací automatu M a libovolnou konfiguraci (q,e), kde qF nazýváme koncovou konfigurací automatu M. DEF: Buď M=(Q,T,,q0,F) konečný automat. Potom nad množinou všech konfigurací definujeme relaci přechodu pro q1,q2Q, wT*, aT následovně: (q1,aw) (q2,w), jestliže (q1,a)=q2  

Konečné automaty - příklad Příklad: automat na kontrolu otevírání dveří Q={otevřeno, zavřeno}, T={smí, nesmí}, q0={zavřeno}, F={zavřeno}, (zavřeno, smí)= otevřeno, (zavřeno, nesmí)= zavřeno, (otevřeno, smí)= otevřeno, (otevřeno, nesmí)= zavřeno Počáteční konfigurace (zavřeno, smí, smí, smí), (zavřeno, nesmí, smí), ……. Koncová konfigurace (zavřeno, e) Přechody (zavřeno, smí, nesmí) (otevřeno, nesmí) (zavřeno, e)  

Další definice DEF: Nechť M=(Q,T,,q0,F) je konečný automat. Potom stav qQ je dosažitelný, jestliže existuje přechod (q0,w) n (q,e) pro nějaké n0 a wT*. Dosažitelný stav automatu M je tedy libovolný stav, do kterého se mohu dostat z nějaké počáteční konfigurace po konečném počtu přechodů (kroků). Příklad: V úloze s automatem na otevírání dveří jsou oba stavy dosažitelné. zavřeno je počáteční stav (vždy dosažitelný) otevřeno dosáhnu např. přechodem: (zavřeno,smí) (otevřeno, e)  

Přijímání slova automatem DEF: Nechť M=(Q,T,,q0,F) je konečný automat. Potom automat M přijímá (akceptuje) slovo wT*, jestliže platí (q0,w) * (q,e) pro nějaké qF. Poznámka: po přečtení slova automat skončí v některém z koncových stavů. Jazyk L(M) specifikovaný konečným automatem M je množina řetězců L(M)={w| (q0,w) * (q,e), wT*, qF}  

Konečné automaty Příklad: Mějme automat M=({q0,q1,q2,q3},{0,1},,q0,{q0}), kde (q0,0)= q2, (q0,1)= q1, (q1,0)= q3, (q1,1)= q0, (q2,0)= q0, (q2,1)= q3, (q3,0)= q1, (q3,1)= q2. Potom pro vstup w=1010: (q0,1010) (q1,010) (q3,10) (q2,0) (q0,e) … přijato Ale (q0,111) (q1,11) (q0,1) (q1,e) … nepřijato (q0,121) (q1,21) … nepřijato        

Reprezentace konečných automatů A) Přechodovou tabulkou: M=({q0,q1,q2,q3},{0,1},,q0,{q0})  1 q0 q2 q1 q3

Reprezentace konečných automatů B) Přechodovým diagramem: M=({q0,q1,q2,q3},{0,1},,q0,{q0}) … počáteční stav „START“ … koncový stav … přechody L(M) = ?

Příklady konečných automatů Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {0,1}, jehož slova obsahují lichý počet jedniček Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {0,1}, jehož slova obsahují podřetězec 000 Navrhněte automat přijímající jazyk L={aibjck|i,j,k>0} nad abecedou {a,b,c} Navrhněte automat přijímající jazyk L={aibjck|i,j,k0} nad abecedou {a,b,c}

Příklady konečných automatů Navrhněte konečný automat k nápojovému automatu, který kontroluje správnost zaplacené částky (5,-Kč) za předpokladu, že lze platit korunami, dvoukorunami a pětikorunami a případné přeplatky se nevrací. Navrhněte konečný automat k nápojovému automatu, který kontroluje správnost zaplacené částky (8,-Kč) za předpokladu, že lze platit korunami,dvoukorunami, pětikorunami a desetikorunami, přičemž případné přeplatky se vrací.