Matematika na základní škole (díl I. – 6. ročník ) přehled teorie teorie na příkladech příklady na procvičení © Petr Veleba, 2006 (pracovní verze)

Hlavní nabídka aritmetika geometrie 25 % z 125 ( a + b )2 V = a * b * c geometrie 1,3 +4,05 – 2,5 = c2 = a2 + b2 Konec -7 +56 – 14 =

Aritmetika dělitelnost desetinná čísla zlomky Menu Konec

Geometrie úhly osová souměrnost středová souměrnost trojúhelník krychle kvádr rýsujeme tělesa Menu Konec

Dělitelnost přirozených čísel kdy je číslo dělitelné znaky dělitelnosti prvočíslo a číslo složené rozklad na součin prvočísel nejmenší společný násobek největší společný dělitel použití ve slovních úlohách příklady na procvičení Menu Konec

Kdy je číslo dělitelné O čísle můžeme říct, že je dělitelné daným číslem pouze tehdy, pokud dělení vyjde beze zbytku. př. 376 : 8 = 47 zbytek 0 číslo 376 je dělitelné číslem 8 452 : 8 = 56 zbytek 4 číslo 452 není dělitelné číslem 8 Každé číslo je násobkem čísla 1 i svým vlastním násobkem ( 25 * 1 = 25 ) Každé číslo je dělitelné číslem 1 a samo sebou (13 : 13 = 1, 13 : 1 = 13 ) Menu Konec

Znaky dělitelnosti Číslo je dělitelné číslem: 2, když jeho poslední číslice je 0, 2, 4, 6, 8 např. 24, 4576, 108 3, když je ciferný součet čísel dělitelný 3 např. 252, 1674, 63 4, když je poslední dvojčíslí 00 nebo je dělitelné 4 např. 300, 124, 468 5, když je poslední číslice 0, 5 např. 250, 745, 635 6, když je dělitelné 2 i 3 zároveň např. 882, 6816, 78 8, když je poslední trojčíslí 000 nebo je dělitelné 8 např. 6000, 2128 9, když je ciferný součet dělitelný 9 např. 234, 6525, 54 10, když je poslední číslicí 0 např. 450, 90, 2870 ciferný součet je součet jednotlivých číslic – např. číslo 25634 má ciferný součet 20 ( 2 + 5 + 6 + 3 + 4 = 20) Menu Konec

Prvočíslo a číslo složené Prvočíslem nazýváme číslo, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou. Čísla mající alespoň tři dělitele jsou čísla složená. Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, … Menu Konec

Rozklad na součin prvočísel Rozklad čísla na součin prvočísel: 210 120 210 : 2 nebo 2 * 60 105 : 3 2 * 30 35 : 5 2 * 15 7 : 7 3 * 5 1 210 = 2 * 3 * 5 * 7 120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 Dané číslo postupně dělíme co nejmenšími prvočísly až dojdeme ke konečnému prvočíslu, které již dále dělit nelze. Menu Konec Odkaz na: nejmenší společný násobek a největší společný dělitel

Nejmenší společný násobek - n postupem, který najdeme na jiném místě, nejprve daná čísla rozložíme na součin prvočísel hotové rozklady zapíšeme nejlépe pod sebe do hledaného společného násobku opíšeme jeden celý rozklad a z dalšího přidáme čísla, která se v tom prvním neobjevují př. najděte nejmenší společný násobek čísel 140 a 180 140 = 2 * 2 * 5 * 7 180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 n( 140, 180) = 2 * 2 * 5 * 7 * 3 * 3 = 1260 Menu Konec

Největší společný dělitel - D postupem, který najdeme na jiném místě, nejprve daná čísla rozložíme na součin prvočísel hotové rozklady zapíšeme nejlépe pod sebe do hledaného společného dělitele opíšeme čísla, která se objevují ve všech rozkladech čísla, která nemají jiného společného dělitele než číslo 1, jsou nesoudělná př. najděte největší společný dělitel čísel 144 a 45 144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 45 = 3 * 3 * 5 ( v obou rozkladech jsou dvě trojky) D( 144, 45 ) = 3 * 3 = 9 Menu Konec

Použití ve slovních úlohách Slovní úlohy na společný násobek či společný dělitel mají některé shodné rysy, které vám mohou usnadnit jejich řešení. Většinou zde, žáci či cvičenci nastupují do různých několikastupů, předměty se rozdělují do stejně početných skupin nebo se předměty rozdělují na stejné části. Nejprve samozřejmě musíme poznat zda je v dané úloze třeba hledat společný dělitel či násobek. Násobek hledáme v úlohách, kde se v zadání např. hovoří o tom, kdy se opět potkají různé dopravní prostředky nebo se hledá co nejmenší počet. Obecně se dá říct, že je to vždy, když hledáme číslo, které je větší než zadaná čísla. Dělitele hledáme tam, kde máte něco rozdělit na stejné části, nejlépe co největší. Obecně se dá říct, že je to vždy když hledáme číslo, které je menší než zadaná čísla. Čtěte tedy důkladně zadání a nezapomeňte odpovědět na danou otázku. Menu Konec

Příklady na procvičení Najdi největšího společného dělitele: D(24, 14) = D(36, 40) = D(132, 128) = D(21,16) = Najdi nejmenší společný násobek: n(12, 15) = n(14, 21) = n(28, 42) = n(8, 16, 24) = Vyřeš slovní úlohy: 1) 3 autobusy vyjíždí ve stejnou dobu ze stejné stanice. První se vrátí za 36 minut, druhý za 45 minut a třetí za 27 minut. Kdy se nejdříve na zastávce opět setkají všechny autobusy? Dřevěné laťky dlouhé 1,2 m a 90 cm je třeba rozřezat na stejné kousky. Jak budou dlouhé a kolik jich bude? Děti měli více než 50 a méně než 100 kuliček, když je rozdělí po 8 nebo po 6, žádné nezbydou. Kolik jich měli? Z kolika dlaždic o rozměrech 20 a 30 cm můžeme sestavit čtverec? Máme k dispozici maximálně 100 dlaždic. Menu Konec

Zlomky co je zlomek, jeho zápis, smíšené číslo, … (2 snímky) rozšiřování a krácení zlomků smíšené číslo porovnávání zlomků sčítání a odčítání zlomků sčítání a odčítání smíšených čísel násobení a dělení zlomků převod zlomků na desetinná čísla a naopak složené zlomky a kombinace různých početních operací složené zlomky – řešený příklad příklady na procvičení Menu Konec

Co je zlomek čitatel (určuje vybraný počet částí celku) Potřebujeme-li zapsat číslo vyjadřující část nebo několik částí celku použijeme zlomek nebo desetinné číslo čitatel (určuje vybraný počet částí celku) zlomková čára (znamená dělení – tento zlomek by se tedy dal zapsat jako 2 : 9) jmenovatel (určuje na kolik částí je celek rozdělen) Tento zlomek čteme: dvě devítiny Menu jedna polovina pět šestin Konec př. pokrač.

Co je zlomek – další pojmy Zlomek v základním tvaru – zlomek, který již nelze více zkrátit Velikost zlomku – u zlomku můžeme určit zda je větší než jedna (čitatel je větší než jmenovatel – nepravý zlomek) nebo menší než jedna (čitatel je menší než jmenovatel – pravý zlomek) nebo zda je zlomek roven 0 (pokud je čitatel roven nule) a zda má vůbec zlomek smysl (nemá smysl pokud by jmenovatel byl roven nule, protože nulou dělit nelze) Převrácený zlomek – zlomek, ve kterém se z čitatele stane jmenovatel a ze jmenovatele čitatel, používá se při dělení zlomků < 0 > 0 = 0 nemá smysl !!! Menu Konec a zlomek k němu převrácený je zpět

Rozšiřování a krácení zlomků Zlomky lze rozšiřovat a krátit aniž by došlo ke změně jejich velikosti. Krácení je vydělení čitatele i jmenovatele stejným číslem. Rozšíření je vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem. = = Menu Konec

Smíšené číslo Smíšené číslo – číslo složené z dvou částí : z celků a ze zlomku Čteme: tři celé a dvě pětiny počet celků zlomková část 3 celky = 15 pětin, přidáme ještě 2 pětiny a dostáváme 17 pětin (3 * 5 + 2 = 17) Převod: Menu Převod opačně: (16 : 7 = 2 celé a 2 sedminy zbydou) Konec

Porovnávání zlomků < n(5,7) = 35 Pokud chceme porovnat dva zlomky, musíme je nejprve upravit (rozšiřováním nebo krácením) na společný jmenovatel. Společný jmenovatel určíme nejlépe jako nejmenší společný násobek daných jmenovatelů. < n(5,7) = 35 oba zlomky rozšíříme na určený společný jmenovatel rozšířené zlomky porovnáme a odvodíme porovnání původních zlomků Menu < Konec

Sčítání a odčítání zlomků Chceme-li sečíst nebo odečíst dva zlomky musíme je, stejně jako u porovnávání, nejprve upravit na společného jmenovatele a poté jejich čitatele sečteme či odečteme. Výsledek upravíme krácením na základní tvar nebo na smíšené číslo. n(5,4) = 20 n(12,8) = 24 Menu Konec

Sčítání a odčítání smíšených čísel Při sčítání a odčítání, ve kterém se objeví smíšená čísla můžeme buď smíšená čísla převést na nepravé zlomky a počítat jako v předchozím případě nebo s celky i se zlomky počítat zvlášť (pozor při odčítání – viz vzorový příklad) nebo nebo Menu První způsob můžete použít jen pokud je zlomková část prvního čísla větší než zlomková část druhého čísla, převodem na nepravý zlomek tento problém odpadá, viz. druhý způsob. Konec

Násobení a dělení zlomků Násobíme-li dva zlomky, vynásobíme čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. Při násobení zlomku přirozeným číslem buď přirozené číslo napíšeme jako zlomek a poté násobíme jako dva zlomky a nebo daným přirozeným číslem vynásobíme pouze čitatel a jmenovatel pouze opíšeme. Při násobení a dělení můžeme během výpočtu používat krácení, které nám může usnadnit výpočet. Krátit můžeme vždy jeden čitatel s jedním jmenovatelem. 1 nebo 2 Menu nebo Konec

Převod zlomků na desetinná čísla Pro převod zlomků na desetinné číslo je třeba si uvědomit, že zlomková čára znamená dělení, proto vydělíme-li čitatel jmenovatelem dostaneme desetinné číslo. Dělení však může vyjít s periodou nebo se zbytkem a potom je třeba výsledek zaokrouhlit. Pokud tedy potřebujeme počítat přesně, je lépe počítat se zlomky. Snadný převod je v případě, kdy je jmenovatel roven 10, 100, 1000, … nebo kdy jmenovatel rozšíříme na 10, 100, 1000, … (zde stačí správně zlomek přečíst) Menu Čteme: sedm desetin Konec Čteme: žádná celá sedm desetin

Převod desetinných čísel na zlomky Převod z desetinných čísel je jednodušší, protože stačí desetinné číslo dobře přečíst a zapsat ve formě zlomku, poté je možné zlomek zkrátit na základní tvar. Čteme: šedesát dvě setiny Čteme: žádná celá šedesát dvě setiny Čteme: jedna celá a devět desetin Menu Čteme: jedna celá devět desetin Konec

Složené zlomky a kombinace poč. operací Složené zlomky jsou jen jiný způsob zápisu, kdy se místo dělení používá zlomková čára, je zde potřeba dát pozor na umístění znaménka rovná se vedle hlavní zlomkové čáry. V příkladech s více početními operacemi musíme dodržovat následující pravidla: nejprve řešíme početní operace v závorkách pokud je za sebou více početních operací, a to i v závorce, nejprve násobíme a dělíme a teprve potom sčítáme a odčítáme pokud je za sebou více sčítání a odčítání (nebo násobení a dělení), počítáme postupně zleva doprava při sčítání a násobení můžeme využít komutativnosti, tj. záměny sčítanců nebo činitelů pozor na zápis, opisujte vždy celý příklad i když s některou částí zrovna nepočítáte, pamatujte, že znaménko rovná se musí platit Menu Konec řešený příklad

Složené zlomky - příklady Menu Konec

Příklady na procvičení Menu Konec

Desetinná čísla zápis desetinných čísel porovnávání desetinných čísel zaokrouhlování desetinných čísel sčítání a odčítání desetinných čísel násobení dělení 10, 100, 1000, … dělení desetinného čísla přirozeným číslem (2 snímky) dělení desetinného čísla desetinným číslem více početních operací příklady na procvičení Menu Konec

Zápis desetinných čísel Desetinné číslo je složeno ze tří částí: celků, desetinné čárky a desetinné části. Desetinná část je pojmenována podle posledního řádu.. 45,246 čteme: 45 celých 246 tisícin celky desetinná čárka desetiny setiny tisíciny Menu Konec

Porovnávání desetinných čísel Při porovnávání desetinných čísel porovnáváme nejdříve počet celků, při jejich rovnosti postupně porovnáváme desetiny, setiny, tisíciny atd. až najdeme řád, ve kterém se čísla liší. 12,3 > 5,0689 první číslo je větší, protože 12 celků je více než 5 0,2506 < 0,2536 druhé číslo je větší, protože na místě tisícin je 3, což je víc než 0 tisícin u prvního čísla Menu Konec

Zaokrouhlování desetinných čísel Při větším počtu desetinných míst počítáme většinou s čísly zaokrouhlenými, která pro výpočet stačí. U výsledku si ale musíme být vědomi menší nepřesnosti. Pokud zaokrouhlujeme na určitý řád, např. desetiny, zajímá nás číslice na následujícím řádu, tj. setiny. Jestliže počet setin je 0 až 4 počet desetin zůstane stejný a následné číslice již nepíšeme, pokud počet setin bude 5 až 9, počet desetin se zvětší o 1. př. 0,652 zaokrouhleno na setiny je 0,65 protože za setinami je 2, proto se počet setin nezmění 12,493 zaokrouhleno na desetiny je 12,5 protože za desetinami je 9, proto se počet setin zvýší ze 4 na 5 Menu Konec

Sčítání a odčítání desetinných čísel Chceme-li sečíst nebo odečíst dvě desetinná čísla, musíme dodržet následující pravidlo: sčítáme vždy stejné řády, tj. celky s celky, desetiny s desetinami, setiny se setinami atd. Při zápisu pod sebou čísla zapisujeme pod sebe tak, aby byla desetinná čárka pod desetinnou čárkou a na stejném místě se objeví i desetinná čárka ve výsledku. Při nestejném počtu des. čísel je možné doplnit nuly. př. 42,36 + 2,864 = 45,224 nebo 42,360 2,864 45,224 563,045 – 1,2 = 561,845 563,045 - 1,200 561,845 Zde je možné doplnit nulu pro přehlednost v zápisu. Menu Konec

Násobení desetinných čísel Při násobení dvou desetinných čísel nejprve čísla vynásobíme jakoby to byla čísla přirozená, sečteme počet desetinných míst u obou činitelů a tento počet vyznačíme ve výsledku (počítáno zprava). Při zápisu nerovnáme desetinnou čárku pod desetinnou čárku. Při výpočtu využijte komutativnosti (možnosti záměny činitelů) a násobte číslo s větším počtem číslic číslem s menším počtem. př. 2,6 * 5,082 = 5,082 * 2,6 = 13,2132 5,082 3 des. místa * 2,6 1 des. místo 30492 10164 13,2132 4 des. místa Menu Konec

Dělení 10, 100, 1000 … Toto dělení je, zjednodušeně řečeno, pouze posouvání desetinné čárky směrem doprava o příslušný počet míst a to při dělení 10 o 1 místo, při 100 o 2 místa, při 1000 o 3 atd. (neboli kolik nul, tolik míst) Nejčastější použití je při převodech jednotek z menší jednotky na větší. př. 256,2 : 10 = 25,62 (posun o 1 místo) 1,0689 : 1000 = 0,0010689 (posun o 3 místa) 53,6 cm = 0,536 m (číslo 53,6 jsme dělili 100) Menu Konec

Dělení des. čísla číslem přirozeným Oproti dělení přirozených čísel je rozdíl v tom, že v momentě, kdy sepisujete první číslici za desetinnou čárkou, zapíšete desetinnou čárku i ve výsledku (viz př.). Na závěr pozor na zbytek (viz př.). př. 12,607 : 5 = 2, 12,607 : 5 = 2,521 (zbytek 0,002) 2 6 2 6 10 Součástí př. je zkouška: 07 2,521 0,002 * 5 12,605 + zb. 0,002 12,607 u zbytku pozor, sepsaný zbytek 2 je v řádu tisícin, proto je zbytek 0,002 (přehledný zápis vám usnadní práci) Menu Konec pokrač.

Dělení des. čísla číslem přirozeným Potřebujeme-li přesnější výsledek nebo je-li naděje , že při pokračování dělení vyjde výsledek beze zbytku, můžeme v dělenci připsat za desetinnou čárku libovolný počet nul, protože nuly připsané za desetinnou čárkou na konec čísla nezmění jeho velikost. Tento postup lze použít i při dělení desetinným číslem. př. 2,356000 : 7 = 0,336571 (zbytek 0,000003) 23 25 46 zkouška: 0,336571 40 * 7 50 2,355997 10 + 0,000003 0,000003 2,356000 Menu Konec zpět

Dělení des. čísla des. číslem Dělení desetinným číslem je třeba nejprve upravit na dělení číslem přirozeným a to tak, že dělenec i dělitel vynásobíme 10, 100, 1000, … tak aby se z dělitele stalo přirozené číslo. Výsledný zbytek potom nesmíme zapomenout stejným číslem vydělit. U zkoušky používáme čísla z původního zadání příkladu. př. 3,46 : 0,3 = 11,5 (zb. 0,01) upravíme na (násobíme 10) 34,6 : 3 = 11,5 zb. 0,1) 04 zk. 11,5 16 * 0,3 0,1 upravíme na 0,01 (vydělíme 10) 3,45 0,01 3,46 Menu Konec

Kombinace početních operací V příkladech s více početními operacemi musíme dodržovat následující pravidla: nejprve řešíme početní operace v závorkách pokud je za sebou více početních operací, a to i v závorce, nejprve násobíme a dělíme a teprve potom sčítáme a odčítáme pokud je za sebou více sčítání a odčítání (nebo násobení a dělení), počítáme postupně zleva doprava při sčítání a násobení můžeme využít komutativnosti, tj. záměny sčítanců nebo činitelů pozor na zápis, opisujte vždy celý příklad i když s některou částí zrovna nepočítáte, pamatujte, že znaménko rovná se musí platit Menu Konec řešený příklad

Kombinace početních operací 0,9 * 1,6 + (2,1 + 4,2 – 0,7) - 2 * 0,8 = (začneme závorkou) = 0,9 * 1,6 + 5,6 - 2 * 0,8 = (pokračujeme násobením) = 1,44 + 5,6 - 1,6 = (teď již počítáme zleva doprava) = 7,04 – 1,6 = = 5,44 Pozor: i když počítáme např. pouze závorku, musíme opsat zbytek příkladu, aby byla zachována rovnost Menu Konec zpět

Příklady na procvičení Vypočítej: 0,23 + 5,47 = 2,5 + 2,6 = 0,203 + 5,69 = 52,6 + 0,57 = 12,5 – 3,6 = 0,698 – 0,05 = 56,3 – 4,02 = 59,3 – 58,6 = 7,5 * 0,5 = 13,06 * 6,2 = 0,28 * 3,6438 = 447,03 * 0,5 = 123,05 : 100 = 56,2381 :10 = 5,985 : 1000 = 0,689 : 100 = 43,5 : 3 = 5,068 : 7 = 69,12 : 6 = 0,58 : 9 = 24,8 : 0,8 = 0,345 : 0,03 = 0,64 : 3,2 = 93,05 : 0,5 = 2,8094 : 2,4 = 0,6585 : 4,05 = 5,7405 : 0,056 = 2,039 : 8,1 = 5,1 + 2,4 * 0,3 – 0,7 = 2,04 * 1,5 – 3,07 * 0,7 = 5,8 + 2,5 : 0,5 – 6,7 = ( 1,56 + 0,26 ) * ( 3,04 – 1,96 ) = 3,5 + 0,7 – 2,4 + 1,5 – 0,9 = 2,05 + 6,04 – 4,09 + 3,2 * 0,4 = Menu Konec

Úhly co jsou úhly typy úhlů typy dvojic úhlů konstrukce: úhloměrem x kružítkem osa úhlu sčítání a odčítání úhlů početně sčítání úhlů graficky odčítání úhlů příklady na procvičení Menu Konec

Úhly Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami (ramena úhlu) se stejným počátečním bodem (vrchol úhlu). Úhel označujeme malými písmeny řecké abecedy nebo 3 body. Velikost úhlu měříme ve stupních, případně i v minutách a vteřinách (1 stupeň = 60 minut, 1 minuta = 60 vteřin). Pro konstrukci používáme úhloměr nebo v některých případech kružítko. Zápis jednotek: 1 stupeň = 1o 1 minuta = 1‘ 1 vteřina = 1‘‘ A ß B Menu C Konec

Úhly - typy úhlů Rozlišujeme několik typů úhlů: nulový úhel – velikost 0o ostrý úhel - velikost je menší než 90o tupý úhel - velikost je větší než 900 a menší než 180o pravý úhel – velikost 90o přímý úhel - velikost 180o plný úhel – velikost 360o konvexní úhel – jestliže úsečka spojující dva body ležící na ramenech úhlu náleží úhlu, hovoříme o konvexním úhlu nekonvexní úhel - jestliže úsečka spojující dva body ležící na ramenech úhlu nenáleží úhlu, hovoříme o konvexním úhlu, velikost tohoto úhlu je větší než 180o a menší než 360o obrázky jednotlivých typů Menu Konec

Typy úhlů nulový pravý . ostrý přímý plný Menu tupý Konec zpět

Úhly - typy úhlů Dvojice úhlů: obrazová příloha styčné úhly - dva úhly se společným 1 ramenem úhly vedlejší - dva styčné úhly se jejichž nesplývající ramena jsou opačné polopřímky, součet jejich velikostí je 1800 úhly vrcholové - dva konvexní úhly se společným vrcholem, jejichž ramena jsou navzájem opačné polopřímky, jsou vždy shodné úhly souhlasné - první rameno obou úhlů leží na přímce, jejich druhá ramena jsou souhlasně rovnoběžné polopřímky, jsou vždy shodné úhly střídavé - první rameno obou úhlů leží na přímce, jejich druhá ramena jsou nesouhlasně rovnoběžné polopřímky, jsou vždy shodné úhly přilehlé - součet těchto úhlů je 1800 Menu Konec obrazová příloha

Dvojice úhlů zpět styčné vedlejší vrcholové souhlasné střídavé Menu Konec souhlasné střídavé přilehlé zpět

Úhly – konstrukce úhlů (úhloměrem) Narýsujeme rameno úhlu a vyznačíme vrchol. Nyní přiložíme úhloměr tak, aby značka na úhloměru splývala s vrcholem úhlu a značka 00 ležela na rameni. Na úhloměru přečteme příslušnou velikost rýsovaného úhlu, uděláme značku a tu poté spojíme s vrcholem úhlu. př. sestrojte úhel AVB o velikosti 25o B 90o 135o 45o 25o Menu 180o 0o Konec V A

Úhly – konstrukce úhlů (kružítkem) Narýsujeme rameno úhlu a vyznačíme vrchol. Kružítko zabodneme do vrcholu a uděláme část kružnice o něco větší než plánovaný úhel. Aniž změníme rozevření kružítka uděláme další oblouk se středem v bodě, kde první oblouk protnul narýsované rameno úhlu. Tam kde se první oblouk protnul s druhým vznikne bod, který po spojení s vrcholem vytvoří úhel s velikostí 600. Opakováním postupu lze narýsovat úhly, jejichž velikost je násobkem čísla 60. Další velikosti lze narýsovat rozdělením daného úhlu na půl sestrojením osy úhlu. Takto lze tedy sestrojit např. úhly 600 ,1200, 300, 900,150 Menu řešený příklad Konec

Úhly – konstrukce úhlů (kružítkem) Postup konstrukce úhlu o velikosti 60o: 1. rameno s vrcholem 2. kružnice se středem ve vrcholu 3. kružnice se středem v bodě A a poloměrem stejným jako první kružnice 4. druhé rameno B 3 4 2 1 Menu V A Konec Zpět na úhly

Sestrojení osy úhlu (rozpůlení úhlu) Postup: uděláme část kružnice protínající obě ramena se středem ve vrcholu úhlu z obou bodů, kde se protnuly ramena s obloukem, uděláme opět oblouky tentokrát se středem ve zmíněných dvou bodech bod, kde se protnuly oba oblouky, spojíme čerchovanou čarou s vrcholem X osa o 1 2 Využití: při konstrukci kružnice vepsané trojúhelníku při dělení úhlu dvěma Menu 3 Konec Y

Úhly – sčítání a odčítání početně Při početním sčítání a odčítání je třeba si dát pozor na jednotky 45o 25‘ + 2o 52‘ 3‘‘ = 48o 17‘ 3‘‘ 45o 25‘ 2o 52‘ 3‘‘ 47o 77‘ 3‘‘ = 48o 17‘ 3‘‘ 45o 25‘ - 2o 52‘ 3‘‘ = 42o 32‘ 57‘‘ 45o 25‘’ 44o 84‘ 60‘‘ - 2o 52‘ 3‘‘ - 2o 52‘ 3‘‘ 42o 32‘ 57‘‘ 1o = 60‘ 1‘ = 60‘‘ 1o 17‘ Menu Máme-li „málo“ minut nebo vteřin, „půjčíme“ si 1 stupeň nebo 1 minutu, abychom od většího čísla odčítali číslo menší. Konec Pokud počet minut či vteřin přesáhne 60, upravíme výsledek.

Úhly – sčítání graficky Postup: narýsujeme první úhel (α) druhý úhel (β) narýsujeme jako styčný úhel s úhlem prvním krajní ramena tvoří výsledný úhel (γ) γ β Menu α Konec

Úhly – odčítání graficky Postup: narýsujeme první úhel (α) - ten větší druhý úhel (β) narýsujeme do prvního úhlu – 1 rameno mají společné zbytek do toho většího úhlu je výsledný úhel (γ) γ Menu α Konec β

Úhly – příklady na procvičení Narýsuj úhly o velikosti 26o, 71o, 105o, 247o Kružítkem sestroj úhly o velikosti 45o, 15o, 90o, 135o 3) První dva úhly z předchozího příkladu graficky sečti a druhé dva odečti 4) Proveď početně 52o13´ + 23o51´ = 148o 26´´ - 37o45´ = 112o5´6´´ + 9o55´56´´ = 78o13´5´´ - 2o49´58´´ = 5) Dopočítej velikosti zbývajících úhlů (podívej se na vlastnosti úhlů v trojúhelníku): ? ? ? ? ? ? 85o ? ? 130o ? 44o ? ? ? Menu ? ? ? ? ? 124o ? ? ? ? ? Konec ? ? ? ? ? ?

Osová souměrnost Osová souměrnost je typ shodného zobrazení, tzn. že výsledný obraz je shodný s původním, ale je v tomto případě zrcadlově převrácený přes osu souměrnosti. Od všech bodů daného geometrického útvaru sestrojíme kolmice na osu souměrnosti a vzdálenost bod osa přeneseme kružítkem na opačnou stranu osy, kde vznikne obraz daného bodu. osa o zápis: O(o): A A‘ čteme: v osové souměrnosti s osou o přiřazujeme bodu A bod A‘ C C‘ B B‘ Menu Konec A A‘ a a procvič si:

Osová souměrnost - příklady Sestroj obraz v osové souměrnosti s osou o: T D C o D C o S A Z B o A B Menu o X Konec Y zpět

Středová souměrnost Středová souměrnost je další typ shodného zobrazení. Daný geometrický útvar se přemístí přes daný střed souměrnosti. Obraz je vodorovně i svisle převrácený. Všechny body daného geometrického útvaru spojíme se středem souměrnosti a vzdálenost bod střed přeneseme kružítkem na opačnou stranu od středu, kde vznikne obraz daného bodu. B zápis: S(S): A A‘ čteme: ve středové souměrnosti se středem S přiřazujeme bodu A bod A‘ a A‘ S C C‘ Menu a A Konec B‘ procvič si:

Středová souměrnost - příklady Sestroj obraz ve středové souměrnosti se středem S: T D C D C S S A Z B S S A B Menu X Y Konec zpět

Trojúhelník základní vlastnosti (2 snímky) typy trojúhelníků typy konstrukce způsoby konstrukce základní symboly používané v popisu konstrukce příklady Menu Konec

Trojúhelník – základní vlastnosti C A, B, C - vrcholy a, b, c - strany γ va, vb, vc – výšky ( kolmice na protější stranu) va a ta, tb, tc – těžnice ( spojují vrchol se středem protější strany) b T ta T – těžiště ( rozděluje těžnice v poměru 1:2) tb vb vc tc α, β, γ – vnitřní úhly α β Menu A B c Konec pokrač.

Trojúhelník – základní vlastnosti Vnitřní úhly: pro vnitřní úhly platí, že jejich součet je 180o Délky stran (trojúhelníková nerovnost): součet délek dvou kratších stran musí být větší než délka strany nejdelší, pokud tato podmínka není splněna, trojúhelník nelze sestrojit. Ověřujeme ještě před konstrukcí. Kružnice vepsaná trojúhelníku: střed kružnice leží na průsečíku os vnitřních úhlů a kružnice se dotýká všech stran Kružnice opsaná trojúhelníku: střed kružnice leží na průsečíku os stran a kružnice prochází všemi vrcholy ( α+ β+ γ = 180o ) Menu Konec zpět

Typy trojúhelníků a = b = c pravoúhlý jeden vnitřní úhel je pravý . pravoúhlý jeden vnitřní úhel je pravý obecný strany i úhly jsou různě dlouhé a velké b a Menu c rovnostranný všechny strany jsou stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly měří 60o Konec rovnoramenný a = b = c

Kružnice vepsaná trojúhelníku sestrojíme osy úhlů S k r . Menu Konec zpět na trojúhelník

Kružnice opsaná trojúhelníku sestrojíme osy stran k S r Menu Konec zpět na trojúhelník

Trojúhelník – typy konstrukce Konstrukce podle věty sss - používáme, pokud známe všechny 3 strany Konstrukce podle věty sus - používáme, pokud známe 2 strany a úhel jimi sevřený Konstrukce podle věty usu používáme, pokud známe 2 úhly a 1 stranu Co dalšího lze použít při konstrukci: - při znalosti dvou úhlů lze dopočítat ten třetí (součet všech je 180o) při zadané výšce většinou rýsujeme rovnoběžku ve vzdálenosti dané výškou v pokročilejších konstrukcích se používá tzv. Thaletova kružnice – viz 7. roč. Menu Konec

Konstrukce – obecný postup 1. náčrtek + rozbor do načrtnutého obrázku si zakreslíme známé údaje, rozmyslíme si postup a načrtneme si vše, co budeme ke konstrukci potřebovat ( kružnice, přímky, polopřímky, body, … ) 2. popis konstrukce pomocí používaných symbolů zapíšeme posloupnost kroků, pomocí kterých geometrický útvar narýsujeme 3. konstrukce podle popisu vše narýsujeme a zvýrazníme výsledný obrazec 4. závěr zapíšeme kolik má úloha řešení, většinou v dané polorovině řešený příklad Menu Konec

Konstrukce – řešený příklad Narýsuj trojúhelník ABC, jestliže je dáno: c = 5 cm, vc = 4 cm, α = 52o 1. Náčrtek + rozbor : 2. Popis konstrukce : AB; AB = 5cm BAX; BAX = 52o p; p AB; p AB = 4 cm C; C p AX ABC X C p 4 cm 52o 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) Menu 5 cm A B Konec 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině

Konstrukce trojúhelníku – věta sss Je dáno: a = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm. Sestrojte trojúhelník ABC 1. Náčrtek + rozbor : 2. Popis konstrukce : k C l AB; AB = 6cm k; k (A; 3 cm) l; l (B; 5 cm) C; C k l ABC 3 cm 5 cm 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) A 6 cm B Menu 3 + 5 > 6 platí – lze sestrojit Konec 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině

Konstrukce trojúhelníku – věta sus Je dáno: c = 7 cm, d = 4 cm, γ = 30o. Sestrojte trojúhelník CDE 1. Náčrtek + rozbor : 2. Popis konstrukce : E CED; CED = 30o k; k (E; 4 cm) l; l (E; 7 cm) C; C k EX D; D l EY ABC 30o 4 cm 7 cm C D k Menu l 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) Konec 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině Y X

Konstrukce trojúhelníku – věta usu Je dáno: a = 6 cm, β = 50o, γ = 30o. Sestrojte trojúhelník ABC 1. Náčrtek + rozbor : 2. Popis konstrukce : C BC; BC = 6 cm BCX; BCX = 30o CBY; CBY = 50o A; A CX BY ABC 30o 6 cm Y 50o 3. Konstrukce : (narýsujeme podle popisu) A B Menu 4. Závěr: úloha má 1 řešení v dané polorovině Konec X

Trojúhelník – popis konstrukce Používané značky: zápis: čteme: Délka úsečky AB = 5 cm délka úsečky AB je 5 cm Přímka p nebo AB přímka p nebo přímka AB Polopřímka XY polopřímka XY Kružnice k ( S, 3 cm) kružnice k se středem S a poloměrem 3 cm Průnik AB k průnik úsečky AB a kružnice k Úhel ß nebo CDE úhel nebo úhel CDE Velikost úhlu CDE = 250 velikost úhlu XYZ Náleží C bod C náleží Kolmice p AB přímka p je kolmá na úsečku AB Rovnoběžka r CD přímka r je rovnoběžná s úsečkou CD Menu Konec

Trojúhelník - příklady Sestroj trojúhelník CDE, jestliže znáš: c = 1 dm, d = 6 cm, e = 75 mm c = 7 cm, d = 3 cm, e = 2 cm e = 5 cm, β = 50o, γ = 30o e = 6 cm, β = 50o, d = 5 cm e = 6 cm, ve = 5 cm, d = 4 cm c = 8 cm, vc = 6 cm, β = 50o e = 7 cm, te 6 cm, c = 5 cm Menu Konec

Krychle – základní pojmy Těleso s 6 stranami délky jehož hran jsou všechny stejné. Objem (V) – vnitřní prostor je vlastně tvořen ze čtverců skládaných na sebe. Výsledek je v krychlových jednotkách. V = a * a * a = a3 Povrch (S) – obal je tvořen z obsahu 6 čtverců – pro přehlednost doporučuji nakreslit síť. Výsledek je ve čtverečních jednotkách. S = 6 * a * a = 6 * a2 a a a Menu a Konec a a procvič si:

Krychle - příklady Vystřihni a slep krabičku ve tvaru krychle s délkou hrany 5 cm Kolik papíru bylo potřeba na krabičku z předchozího příkladu ( v cm2) A kolik by se vešlo vody do slepené krabičky ( v cm3 ) Kolik bude stát natření vodní nádrže tvaru krychle s hranou 10 m, když 1 m2 nátěru stojí 50 Kč. (nezapomeň, že nádrž nemá strop) Kolik se do předchozí nádrže vejde vody, když bude plná až po okraj. Menu Konec zpět

Kvádr – základní pojmy Těleso s 6 stranami s různými délkami hran. Objem (V) – vnitřní prostor je vlastně tvořen z obdélníků skládaných na sebe. Výsledek je v krychlových jednotkách. V = a * b * c Povrch (S) – obal je tvořen z obsahu 6 obdélníků, kdy vždy dva protější jsou shodné – pro přehlednost doporučuji nakreslit síť. Výsledek je ve čtverečních jednotkách. S = 2 * (ab + ac+ bc) = 2ab + 2ac + 2bc b c Menu a c Konec b a procvič si:

Kvádr - příklady Vystřihni a slep krabičku ve tvaru kvádru s délkou hran 5, 7 a 8 cm Kolik papíru bylo potřeba na krabičku z předchozího příkladu ( v cm2) A kolik by se vešlo vody do slepené krabičky ( v cm3 ) Kolik bude stát natření bazénu tvaru kvádru s hranami 10, 5 a 2 m, když 1 m2 nátěru stojí 48 Kč. (nezapomeň, že bazén nemá strop) Kolik se do předchozího bazénu vejde vody, když bude plný 50 cm pod okraj (hloubka je 2 m) Menu Konec zpět

Jak rýsujeme tělesa Základní pravidla pro rýsování těles: např. krychle s hranou a hrany, které nejsou vidět, rýsujeme přerušovanou čarou a/2 a hrany jdoucí „dozadu“ rýsujeme s poloviční délkou Menu Konec hrany jdoucí „dozadu“ rýsujeme pod úhlem 45o