Řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli 1. část Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Při řešení rovnic se používají ekvivalentní úpravy. Opakování Při řešení rovnic se používají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní = rovnocenný, stejný, se stejným účinkem, se stejnou platností Ekvivalentní úprava = úprava, při které rovnice původní i upravená rovnice mají stejné kořeny (řešení). Jinými slovy: Změní se matematický zápis rovnice, nikoli však rovnost stran a řešení. Rovnost dvou stran rovnice můžeme přirovnat k rovnováze na váhách.

Opakování − Ekvivalentní úpravy 1. ekvivalentní úprava rovnic Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění. 2. ekvivalentní úprava rovnic K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. 3. ekvivalentní úprava rovnic Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. 4. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění. 5. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění.

Předvedeme si je na „konkrétnu“! Opakování − Ekvivalentní úpravy 1. ekvivalentní úprava rovnic Předvedeme si je na „konkrétnu“! Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění. 2. ekvivalentní úprava rovnic K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. 3. ekvivalentní úprava rovnic Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. 4. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění. 5. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění.

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 4. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění. Nejdříve se zbavíme zlomků! Která ekvivalentní úprava nám k tomu poslouží?

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 4. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění. Kdykoliv během řešení můžeme strany rovnice zjednodušit, zjednodušíme je!

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 3. ekvivalentní úprava rovnic Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. Nyní si všechny neznámé převedeme na jednu stranu. Třeba doprava, tam je jich „více“. Kterou ekvivalentní úpravu použijeme?

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 3. ekvivalentní úprava rovnic Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. Opět platí: Kdykoliv během řešení můžeme strany rovnice zjednodušit, zjednodušíme je!

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 2. ekvivalentní úprava rovnic K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. A teď si převedeme všechna čísla na stranu levou. Která ekvivalentní úprava nám v tom pomůže?

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 2. ekvivalentní úprava rovnic K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se nezmění. A opět platí: Kdykoliv během řešení můžeme strany rovnice zjednodušit, zjednodušíme je!

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 5. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění. Ještě nám schází osamostatnit neznámou. Která ekvivalentní úprava by nám při tom mohla být ku pomoci?

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 5. ekvivalentní úprava rovnic Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým od nuly a rovnost se nezmění. A jako vždy i nyní platí: Kdykoliv během řešení můžeme strany rovnice zjednodušit, zjednodušíme je!

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 1. ekvivalentní úprava rovnic Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění. Asi by bylo vhodnější, aby řešení začínalo neznámou. I v tom nám může jedna z ekvivalentních úprav pomoci. Která to bude?

Opakování − Ekvivalentní úpravy Vyřeš následující rovnici: 1. ekvivalentní úprava rovnic Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění. A je to. Hračka, že? Jen základní početní operace. „Zopákneme“ ale ještě pro jistotu základní postup při řešení rovnic.

Opakování − Základní postup při řešení rovnic 1. krok Jsou-li v rovnici závorky, zbav se jich (výpočtem, roznásobením). 2. krok Jsou-li v rovnici zlomky, odstraň je (vynásob rovnici společným jmenovatelem). Průběžně Když můžeš jednotlivé strany rovnice zjednodušit, zjednoduš je (sečti, odečti, vynásob či vyděl, co se dá). 3. krok Členy s neznámou převeď na jednu stranu, ostatní členy na stranu druhou. 4. krok Vypočítej neznámou. 5. krok Urči podmínky řešitelnosti a proveď zkoušku.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?

Neznámá se vyskytuje ve členech vyjádřených zlomky Rovnice s neznámou ve jmenovateli A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška dne řešili? Neznámá se vyskytuje ve členech vyjádřených zlomky i ve jmenovateli těchto zlomků.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi. Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici společným jmenovatelem.

Další postup je již identický s doposud řešenými lineárními rovnicemi. Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Další postup je již identický s doposud řešenými lineárními rovnicemi. Z uvedených postupů je zřejmé, že doposud používaný postup řešení rovnic budeme uplatňovat i při řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli. Jediná novinka spočívá v tom, že společným jmenovatelem nemusí být jen číslo, ale i výraz s proměnnou (neznámou)!

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Další novinkou při řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli, která však již tak úzce nesouvisí s uvedeným postupem řešení, a proto jsem na předcházejícím snímku hovořil o novince jediné, je určení podmínek řešitelnosti. Nelze dělit nulou  Na úplný závěr nesmíme zapomenout ani na zkoušku! Tak ještě jednou a nyní už se vším všudy.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Vypočítej rovnici: Podmínky: Zkouška:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici: Podmínky: Zkouška:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici: Podmínky: Zkouška:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici:

Příklady k procvičení: Vyřeš rovnici: Podmínky: Zkouška:

Použitý obrázek pozadí - [cit. 2010–05–07] Použitý obrázek pozadí - [cit. 2010–05–07]. Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>.