PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK Planimetrie PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

Euklidovy věty o výšce a o odvěsně: Planimetrie – Euklidovy věty C a, b … odvěsny b a c … přepona v v … výška na přeponu ca, cb … úseky přepony A cb c ca B Euklidovy věty o výšce a o odvěsně: V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC platí v2 = ca cb a2 = c ca b2 = c cb strana 1

Každé dva z pravoúhlých trojúhelníků ACP, CBP, ABC Planimetrie – Euklidovy věty C Odvození: β α b a Každé dva z pravoúhlých trojúhelníků ACP, CBP, ABC jsou podobné (věta uu). v α β A cb c P ca B strana 2

Planimetrie – Euklidovy věty Geometrický význam Euklidovy věty o výšce a o odvěsně: C v2 v cb ca b2 C A B cacb C cb a2 A B ca ccb A B cca strana 3

Sestrojte čtverec o obsahu 20 cm2. Planimetrie – Euklidovy věty Příklad 1: Sestrojte čtverec o obsahu 20 cm2. Použijeme: např. Řešení: kT C a2 = 20 cm2 v A Sk ca = 2 cm B c = 10 cm strana 4

Pravoúhlý trojúhelník ABC má přeponu c = 15 cm, Planimetrie – Euklidovy věty Příklad 2: Pravoúhlý trojúhelník ABC má přeponu c = 15 cm, odvěsny a < b a výšku na přeponu v = 6 cm. Vypočtěte délky úseků ca, cb, které vytíná výška v na přeponě c. C Použijeme: b a v A cb c ca B strana 5

Planimetrie – Euklidovy věty Řešení: strana 6

V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC platí c2 = a2 + b2 Planimetrie – Pythagorova věta C a, b … odvěsny (ramena pravého úhlu) b a c … přepona (nejdelší strana ležící proti pravému úhlu) A c B Pythagorova věta: V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC platí c2 = a2 + b2 strana 7

Euklidova věta o odvěsně: Planimetrie – Pythagorova věta Odvození: C b a v A cb c ca B Euklidova věta o odvěsně: strana 8

b2 a2 c2 Geometrický význam Pythagorovy věty: C A B Planimetrie – Pythagorova věta Geometrický význam Pythagorovy věty: b2 C a2 A B c2 strana 9

Platí také obrácení Pythagorovy věty: Planimetrie – Pythagorova věta Platí také obrácení Pythagorovy věty: Jestliže v trojúhelníku ABC, jehož strany mají délky a, b, c, kde c > a, c > b, platí a2 + b2 = c2 , pak tento trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C. strana 10

Sestrojte úsečky o délkách , , : Planimetrie – Pythagorova věta Příklad 1: Sestrojte úsečky o délkách , , : Použijeme: Řešení: 2 1 1 1 2 1 strana 11

stran a obsah trojúhelníku. Planimetrie – Pythagorova věta Příklad 2: Pravoúhlý trojúhelník má obvod 84 mm. Nejkratší strana trojúhelníku měří 21 mm. Vypočtěte délky zbývajících stran a obsah trojúhelníku. C Použijeme: b a S A o c B strana 12

Planimetrie – Pythagorova věta Řešení: strana 13

sinus α je poměr protilehlé odvěsny k přeponě Planimetrie – Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku Definice hodnot goniometrických funkcí velikosti α ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku ABC: sinus α je poměr protilehlé odvěsny k přeponě kosinus α je poměr přilehlé odvěsny k přeponě tangens α je poměr protilehlé odvěsny k přilehlé odvěsně kotangens α je poměr přilehlé odvěsny k protilehlé odvěsně strana 14

a … odvěsna protilehlá úhlu α a přilehlá úhlu β Planimetrie – Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku C a … odvěsna protilehlá úhlu α a přilehlá úhlu β b … odvěsna protilehlá úhlu β a přilehlá úhlu α c … přepona b a α β A c B strana 15

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem Planimetrie – Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku Příklad 1: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, kde c = 7,3 cm, α = 42°30´, vypočtěte délku strany b. C Řešení: b a α β A c B strana 16

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem Planimetrie – Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku Příklad 2: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, kde b = 95 mm, β = 51°45´, vypočtěte délku strany a. C Řešení: b a α β A c B strana 17

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem Planimetrie – Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku Příklad 3: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C, kde a = 3,8 cm, c = 6,4 cm, vypočtěte velikost úhlu α. C Řešení: b a α β A c B strana 18

Řešit trojúhelník znamená určit všechny jeho neznámé Planimetrie – Řešení pravoúhlého trojúhelníku Řešit trojúhelník znamená určit všechny jeho neznámé délky stran a neznámé velikosti vnitřních úhlů. K řešení pravoúhlého trojúhelníku používáme: goniometrické funkce Pythagorovu větu větu o součtu velikostí vnitřních úhlů v pravoúhlém trojúhelníku strana 19

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem Planimetrie – Řešení pravoúhlého trojúhelníku Příklad 1: Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, kde c = 8,1 cm, β = 54°20´. C Použijeme: b a α β A c B strana 20

Planimetrie – Řešení pravoúhlého trojúhelníku strana 21

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem Planimetrie – Řešení pravoúhlého trojúhelníku Příklad 2: Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, kde a = 45 mm, b = 62 mm. C Použijeme: b a α β A c B strana 22

Planimetrie – Řešení pravoúhlého trojúhelníku strana 23