Základy ekonometrie Cvičení 5 18. října 2010

Autokorelace G-M předpokladu: E(u´u) = σ2 In dle předpokladu mají být nediagonální prvky matice E(u´u) nulové

Autokorelace Porušení předpokladu: nediagonální prky <> 0 → AUTOKORELACE náhodné složky ui nejsou sériově nezávislé –závislost mezi hodnotami jedné proměnné náhodnou složku lze modelovat pomocí její předchozí hodnoty (ev. hodnot) ut = ρ* ut-1+ εt

Příčiny autokorelace Setrvačnost ekonomických veličin (zejm. případ ČR) Chybná specifikace modelu (specifikační chyba se stává součástí náhodné složky) Chyby měření Užití zpožděných vysvětlujících proměnných Užití údajů zprůměrovaných, vyrovnaných, intra a extrapolovaných

Důsledky autokorelace odhady zůstávají nevychýlené a konzistentní odhady nejsou vydatné ani asymptoticky vydatné vychýlené odhady rozptylu modelu (sigma) a směrodatných chyb bodových odhadů (sbi) intervaly spolehlivosti nejsou směrodatné statistické testy ztrácejí na síle

Autokorelace I. řádu testování vztahu: ut = ρ* ut-1+ εt , kde ρ je z intervalu <-1,1> ρ je koeficient autokorelace εt je normálně rozdělená náhodná složka vztah: náhodné složky jsou generovány stacionárním autoregresním stochastickým procesem prvního řádu (AR1)

Vyhodnocení koeficientu ρ ut = ρ* ut-1+ εt ρ > 0 … kladná autokorelace ρ < 0 … záporná autokorelace ρ = 0 … sériová nezávislost náhodných složek

Test autokorelace nejznámější test: Durbin-Watsonova statistika – tj. hodnota DW hodnoty ut nejsou známy, proto se vychází z jejich odhadu – tj. z reziduí ei testuje se vztah: ei = r* ei-1+ vt , kde r je odhad ρ (tj. autoregresní koeficient prvního řádu)

Odhad regresního koeficientů prvního řádu – tj. ρ est ρ = r ≈ 1 – (d/2) kde d je Durbin-Watsonova statistika resp. d ≈ 2 ( 1 – r)

Durbin-Watsonova statistika d vzorec třeba znát na zkoušku! statistika d má symetrické rozdělení v intervalu <0,4> se střední hodnotou 2

DW statistika

DW statistika Negativní inklinace Pozitivní inklinace

DW statistika r = 1 … d v okolí 0 … úplná pozitivní autokorelace r = -1 … d v okolí 4 … úplná negativní autokorelace r = 0 … d v okolí 2 … bez autokorelace Pozn: v praxi se v ekonometrii vyskytuje zejména pozitivní autokorelace

DW statistika závisí na: n … tj. počet pozorování k … tj. počet parametrů bez úrovňové konstanty hladině významnosti (hodnoty d tabelizovány pro 5 %)

Příklad soubor eko1.xls n = 8, k* = 2, d(l) = 0,56, d(u) = 1,78 DW = 1,95 4-d(u) = 4 – 1,78 = 2,22 DW = 1,95 je v intervalu (d(u);4-d(u)) = (1,78;2,22) a tedy autokorelace v datech eko1.xls neexistuje

3 způsoby vyhodnocení autokorelace k << n (tj. k ostře menší než n) výpočet d přes Tools Durbinovo h – případ zpožděné endogenní vysvětlující proměnné

i) k << n k << n – pokud neplatí, pak: d(u) v tabulkách větší než 2 počet pozorování je příliš malý hledáme v tabulkách počet pozorování, kdy se hodnota d(u) dostane od 2 (nutno pak zvětšit počet pozorování na zjištěnou hodnotu)

ii) výpočet d Reziduální součet čtverců - RSS Odhad modelu; store residuals (e) GiveWin – Tools – Algebra Editor dif1 = (ei – ei-1)…fce diff(e,1) (obecně: diff(var,lag)) dif2 = (ei – ei-1)2 … = dif1*dif1 dif3 = cum(dif2)… tj. horní sumace DW = dif3/RSS = dif3/0,073

iii) zpožděná endogenní proměnná v modelu k testu autokorelace nelze užít d statistiku model: y = f(y-1, x2, x3,)+u změna počtu pozorování – n=7 významnost bodového odhadu u y-1 namísto d nutno počítat Durbinovo h

standardní chyba bodového odhadu u zpožděné endogenní proměnné Durbinovo h standardní chyba bodového odhadu u zpožděné endogenní proměnné DW statistika Příklad: d = 2,23; s(b) = 0,1472, n=7

Durbinovo h h ~ N(0,1) při dost velkém n lze užít tabulky t-rozdělení a pracovat s kvantily t-rozdělení Hladina významnosti Kvantil 10 % 1,64 1 % 2,57 5 % 1,96 je-li |h| < 1,96, pak autokorelace na 5-ti % hladině neexistuje h > 1,96 pozitivní autokorelace; h < - 1,96 negativní autokorelace

Durbinovo h Testování hypotézy: H(0): není autokorelace H(1): je autokorelace

Dodatky Počáteční podmínka y(0) = 0 Centrované proměnné Nabídka Tools

Počáteční podmínka y(0) = 0 standardní lineární regresní model – tj. model s úrovňovou konstantou: Y = β0+ β1X1+ β2X2+…+ βkXk+u chceme-li počáteční podmínku y(0)=0 – tj. za všechna X dosadíme 0, nejde o standardní lineární regresní model – model bez úrovňové konstanty

Počáteční podmínka y(0) = 0 Srovnej získaný výstup s předchozím výstupem v 2. tabulce výstupu chybí řádek s F-statistikou a koeficientem determinace – tj. se statistikami, které hodnotí model jako celek RSS s podmínkou je horší než RSS bez podmínky pokud není počáteční podmínka zadaná, pracuje se bez ní a tedy s modelem s konstantou

Centrované proměnné centrované proměnné = „normální“ proměnné – jejich střední hodnota (resp. průměr) součet centrovaných proměnných = 0 v dobách ručního počítání se takto zjednodušoval výpočet – dnes ztrácí smysl – tuto kapitolu je možné vynechat