F U N K C E

F U N K C E z o b r a z e n í Zobrazení U množiny A do množiny B Opakování: Zobrazení U množiny A do množiny B je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. Př. 1 A 1 U1 B a 2 3 b c

F U N K C E z o b r a z e n í Zobrazení U množiny A do množiny B Opakování: Zobrazení U množiny A do množiny B je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. Př. 2 A Petr B U2 165 Jan 168 Martin 177 173 180

F U N K C E z o b r a z e n í Zobrazení U množiny A do množiny B Opakování: Zobrazení U množiny A do množiny B je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. Př. 3 A U3 Eva B 1 Jana Jiří 2 3

F U N K C E z o b r a z e n í Zobrazení U množiny A do množiny B Opakování: Zobrazení U množiny A do množiny B je předpis (pravidlo), který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden prvek y z množiny B. Př. 4 U4 B A o

F U N K C E z o b r a z e n í Opakování: Definiční obor zobrazení U – značí se D(U) = množina A (množina vzorů) Obor hodnot zobrazení U – značí se H(U) = množina všech prvků y z množiny B, pro které existuje v množině A prvek x tak, že y je obrazem x v daném zobrazení (množina obrazů)

F U N K C E z o b r a z e n í Doplňte obor hodnot daných zobrazení: A Opakování: Doplňte obor hodnot daných zobrazení: A B U1 H(U1) = 1 a 2 3 b c A B U2 H(U2) = Petr 165 Jan 168 177 Martin 173 180

F U N K C E z o b r a z e n í Doplňte obor hodnot daných zobrazení: Opakování: Doplňte obor hodnot daných zobrazení: U3 A B Eva 1 H(U3) = Jana 2 Jiří 3

F U N K C E z o b r a z e n í Pro H(U) B Opakování: Pro H(U) B nazýváme U zobrazení množiny A do množiny B (některé prvky z množiny B nemají v množině A „svůj vzor“) Pro H(U) = B nazýváme U zobrazení množiny A na množinu B (všechny prvky z množiny B mají v množině A „svůj vzor“) Zobrazení mn. A do mn. B se nazývá prosté, jestliže různým prvkům z mn. A jsou přiřazeny různé prvky z mn. B. Jde-li navíc o zobrazení mn.A na mn.B , mluvíme o vzájemně jednoznačném zobrazení množin A a B.

F U N K C E z o b r a z e n í Diskutujte typ daných zobrazení: A B U1 Opakování: Diskutujte typ daných zobrazení: A B U1 A do B A na B 1 a 2 vzáj. jednoznačné 3 b c A B U2 A do B A na B Petr 165 Jan 168 vzáj. jednoznačné 177 Martin 173 180

F U N K C E z o b r a z e n í Diskutujte typ daných zobrazení: A do B Opakování: Diskutujte typ daných zobrazení: B A U3 A do B A na B Eva 1 Jana vzáj. jednoznačné 2 Jiří 3

F U N K C E z a v e d e n í p o j m u Mějme množinu D R. (R = množina všech reálných čísel) Každé zobrazení množiny D do množiny R (pro D = R lze uvažovat i zobr. D na R) nazýváme funkce. Funkce je tedy speciálním druhem zobrazení mn. A do mn. B , kde A i B jsou číselné množiny. Funkcí rozumíme předpis (pravidlo), který každému číslu x z množiny D (definiční obor) přiřazuje právě jedno číslo y z množiny H (obor hodnot). Přitom D R , H R. Nejčastěji se budeme setkávat s tzv. funkcí jedné reálné proměnné, nejčastěji označované x.

F U N K C E z a v e d e n í p o j m u S funkcemi se setkáme často i mimo matematiku, všude, kde je potřeba vyjádřit vztah (závislost) dvou (většinou) veličin, např. ve fyzice. Př. Závislost rychlosti v na čase t pro rovnoměrně zpomalený pohyb s počáteční rychlostí v0 a zrychlením a. v [m/s] 20 v0 v = v0 – a.t 10 8 10 20 t [s] Času 0 s je přiřazena rychlost v0, času 10 s rychlost 8 m/s, atd.

F U N K C E z a v e d e n í p o j m u S funkcemi se setkáme často i mimo matematiku, všude, kde je potřeba vyjádřit vztah (závislost) dvou (většinou) veličin, např. ve fyzice. Př. Závislost hustoty  plynu o hmotnosti m na jeho objemu V . [g/cm3] V [cm3]

F U N K C E z a v e d e n í p o j m u Funkce budeme zpravidla značit malými písmeny f, g, h , ... nebo f1, f2, f3, …, definiční obor pak D(f) , D(f2) apod., obor (funkčních) hodnot H(f), H(f2) atd. f: y = f(x) výraz s proměnnou x, tzv. funkční předpis (rovnice funkce) x - argument (nezávisle proměnná) y - funkční hodnota (závisle proměnná) „ y je funkcí x “ , „y závisí na x “ Př.: f: y = 2x + 6 g: y = x2 – 2 resp. g(x) = x2 – 2

F U N K C E z a v e d e n í p o j m u Funkce je jednoznačně určena svým funkčním předpisem (rovnicí) a definičním oborem. Není-li definiční obor určen, rozumíme jím (a máme určit) množinu všech reálných čísel, pro která má funkční předpis smysl (nejširší možný definiční obor). Podle typu funkčního předpisu rozlišujeme: analytické zadání – funkční předpis je rovnice y = f(x) grafické zadání – funkce určena přímo grafem zadání pomocí tabulky se všemi dvojicemi [ x ; y = f(x) ]

F U N K C E g r a f Vztah (závislost) y a x lze znázornit graficky. Mějme danou funkci f: y = f(x) s definičním oborem D(f). Grafem funkce f: y = f(x) ve zvolené k.s.s. je množina všech bodů se souřadnicemi [ x ; y ] = [ x ; f(x) ]. [ x9 ; f(x9) ] [ x4 ; f(x4) ] y =f(x) [ x3 ; f(x3) ] [ x5 ; f(x5) ] [ x2 ; f(x2) ] [ x6 ; f(x6) ] [ x8 ; f(x8) ] [ x1 ; f(x1) ] [ x7 ; f(x7) ]

F U N K C E r o v n o s t f u n k c í Dvě funkce f, g jsou si rovny, právě tehdy, když mají totožný definiční obor , tj.D(f) = D(g), a v každém bodě x tohoto definičního oboru je f(x) = g(x). Grafy sobě rovných funkcí jsou totožné (v téže k.s.s).

F U N K C E s u d á f u n k c e Nechť pro definiční obor funkce f platí: je-li x  D(f) , pak také -x  D(f) (definiční obor je symetrický podle 0) Taková funkce f se nazývá sudá právě tehdy, když pro každé x  D(f) platí: f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je osově symetrický podle osy y.

F U N K C E s u d á f u n k c e Příklady sudých funkcí y = x2 y = x4-2x2

F U N K C E s u d á f u n k c e Příklady sudých funkcí

F U N K C E l i ch á f u n k c e Nechť pro definiční obor funkce f platí: je-li x  D(f) , pak také -x  D(f) (definiční obor je symetrický podle 0) Taková funkce f se nazývá lichá právě tehdy, když pro každé x  D(f) platí: f(-x) = - f(x). Graf liché funkce je středově symetrický podle počátku k.s.s.

F U N K C E l i ch á f u n k c e Příklady lichých funkcí y = x3 y = x3-2x

F U N K C E l i ch á f u n k c e Příklady lichých funkcí y = sin x

F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Nechť je daná funkce f a M je podmnožina jejího definičního oboru (MD(f)). Funkce f se nazývá zdola omezená na množině M, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro všechna x  M je f(x)  d . Je-li M = D(f), je funkce f omezená zdola na celém definičním oboru, zkráceně pouze „funkce f je omezená zdola“.

F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Příklad funkce omezené zdola d = -4 f(x)  -4

F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Nechť je daná funkce f a M je podmnožina jejího definičního oboru (MD(f)). Funkce f se nazývá shora omezená na množině M, právě když existuje takové reálné číslo h, že pro všechna x  M(f) je f(x)  h . Je-li M = D(f), je funkce f omezená shora na celém definičním oboru, zkráceně pouze „funkce f je omezená shora“.

F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Příklad funkce omezené shora h = 7 f(x)  7

F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Funkce f se nazývá omezená na množině M právě tehdy, když je na množině M omezená zdola i shora. Je-li M = D(f), je funkce f omezená na celém definičním oboru, zkráceně říkáme pouze „funkce f je omezená“.

F U N K C E o m e z e n o s t f u n k c e Příklad funkce omezené h d  f(x)  h d

F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Nechť je daná funkce f , M je podmnožina jejího definičního oboru (MD(f)), xm  M. Funkce f má v bodě xm lokální minimum na množině M, právě když pro všechna x  M je f(x)  f(xm) . Je-li M = D(f), jde o tzv. absolutní minimum.

F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Příklad – minimum funkce xm = 5 lokální minimum na mn. M =  3 ; 7  xm = 0 absolutní minimum

F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Nechť je daná funkce f , M je podmnožina jejího definičního oboru (MD(f)), xM  M. Funkce f má v bodě xM lokální maximum na množině M, právě když pro všechna x  M je f(x)  f(xM) . Je-li M = D(f), jde o tzv. absolutní maximum.

F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Příklad – maximum funkce xM = 3 absolutní maximum lokální maximum na mn. M =  -2 ; 0 

F U N K C E e x t r é m y f u n k c e Jestliže v definicích lokálních extrémů budou pro všechna x  M (popř. x  D(f) ) platit ostré nerovnosti tj. f(x) > f(xm) resp. f(x) < f(xM), hovoříme o tzv. ostrém minimu resp. ostrém maximu funkce na množině M. (extrémní hodnoty je nabýváno pouze jednou)

F U N K C E m o n o t ó n n o s t f u n k c e Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru. Funkce f se nazývá rostoucí na množině M právě tehdy, když pro každé x1, x2  M platí: jestliže x1< x2 , pak f(x1) < f(x2). y y = f(x) f(x2) f(x1) x x1 x2 s rostoucím x rostou i funkční hodnoty f(x)

F U N K C E m o n o t ó n n o s t f u n k c e Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru. Funkce f se nazývá klesající na množině M právě tehdy, když pro každé x1, x2  M platí: jestliže x1< x2 , pak f(x1) > f(x2). y f(x1) f(x2) y = f(x) x x1 x2 s rostoucím x klesají funkční hodnoty f(x)

F U N K C E m o n o t ó n n o s t f u n k c e Nechť f je funkce, M podmnožina jejího definičního oboru. Funkce f se nazývá neklesající na množině M právě tehdy, když pro každé x1, x2  M platí: jestliže x1< x2 , pak f(x1)  f(x2). (funkce je na množině M rostoucí nebo konstantní) Funkce f se nazývá nerostoucí na množině M právě tehdy, když pro každé x1, x2  M platí: jestliže x1< x2 , pak f(x1)  f(x2). (funkce je na množině M klesající nebo konstantní)

F U N K C E m o n o t ó n n o s t f u n k c e Pro M = D(f) budeme místo označení „funkce rostoucí (klesající, nerostoucí, neklesající) na celém definičním oboru“ zkráceně říkat „funkce rostoucí (klesající, nerostoucí, neklesající)“. Funkce, které jsou jenom rostoucí nebo jenom klesající se nazývají „ryze rostoucí“ nebo „ryze klesající“ (ryze monotónní)

F U N K C E p r o s t á f u n k c e Funkce f s definičním oborem D(f) je prostá právě tehdy, když pro libovolná x1, x2  D(f) , x1  x2 , platí: f(x1)  f(x2). Pro různá x jsou různé funkční hodnoty (neopakují se funkční hodnoty).

F U N K C E p e r i o d i c k á f u n k c e Funkce f se nazývá periodická, právě když existuje takové nenulové reálné číslo p, že pro každé x  D(f) je také (x  p)  D(f) a platí : f(x  p) = f(x). Číslo p se nazývá perioda funkce f (určujeme tzv. základní periodu – nejmenší z možných). Funkční hodnoty se při změně argumentu x o hodnotu periody opakují. y = sin x Př.: -4 -3 -2 -  2 3 4 p = 2