Kvantové vlastnosti a popis atomu 1) Úvod 2) Kvantové vlastnosti světla 3) Vlnové vlastnosti částic 4) Model atomu 5) Spin a magnetický moment elektronu a atomu

Úvod Mikroskopické objekty a systémy → nutnost využití kvantové fyziky Duální povaha objektů v mikrosvětě – vlnění a částice Elektromagnetické vlnění má i povahu kvanta (částice) Částice mají i povahu vlny (de Broglieho vlny) Kvantové vlastnosti – diskrétní hodnoty některých veličin: energie, hybnost, moment hybnost (spin) Princip superpozice – F(x1+x2+ …) = F(x1) + F(x2) + … F(ax) = a(Fx)

Kvantové vlastnosti světla 1) Vyzařování absolutně černého tělesa – Planckův vyzařovací zákon → světlo se vyzařuje v kvantech Spektrální intenzita záření [W·sr−1·m−3 ] Bλ(𝜆,𝑇) = 2ℎ 𝑐 2 λ 5 ∙ 1 𝑒 ℎ𝑐 λ 𝑘 𝐵 𝑇 −1 Planckova konstanta: h = 6,626∙10-34 J∙s = 4,136∙10-15 eV∙s Redukovaná Planckova konstanta: ħ = 𝒉 𝟐π = 1,054∙10-34 J∙s = 0,6582∙10-15 eV∙s ħ∙c = 197 MeV∙fm = 197 eV∙nm Limitní případy: λ → 0 Wienův zákon: Bλ(𝜆,𝑇) = 2ℎ 𝑐 2 λ 5 ∙ 𝑒 − ℎ𝑐 λ 𝑘 𝐵 𝑇 λ → ∞ Raileigh Jeansův (Taylorův rozvoj: 𝑒 ℎ𝑐 λ 𝑘 𝐵 𝑇 = 1 + ℎ𝑐 λ 𝑘 𝐵 𝑇 ) : Bλ(𝜆,𝑇) = 2 𝑘 𝐵 𝑐𝑇 λ 4

E = hν E = h 𝒄 𝝀 Planckův zákon vyjádřený v závislosti na frekvenci Bν(𝝂,𝑻) = 𝟐𝒉 𝝂 𝟑 𝒄 𝟑 ∙ 𝟏 𝒆 𝒉𝝂 𝒌 𝑩 𝑻 −𝟏 𝝂= 𝒄 𝝀 ⇒𝒅𝝂= 𝒄 𝝀𝟐 dλ Elektromagnetické záření je vyzařováno po kvantech s energií: E = hν E = h 𝒄 𝝀

2) Fotoefekt → světlo se pohlcuje v kvantech. Lze tak vysvětlit, proč: 1) Pro vlnovou délku větší než prahová hodnota fotoefekt nenastane bez ohledu na intenzitu 2) Pro vlnovou délku kratší než prahová je fotoefekt i pro minimální intenzity Energie elektronu: Ekin = hν - Be γ e- Rentgenka: proud urychlených elektronu dopadající na destičku produkuje elektromagnetické záření v rentgenovské oblasti - charakteristické rentgenovské záření (čáry dané přechody elektronů v atomech) a obrácený fotoefekt, brzdné záření (spojité spektrum s hraniční minimální vlnovou délkou) 3) Comptonův rozptyl – světlo se šíří v kvantech e- γ Rozptyl fotonů na elektronech – fotony se chovají jako kvanta (částice) s energií: E = hν

Vlnové vlastnosti částic Rozptyl elektronů na mříži Braggův zákon: n·λ = 2d·sin Θ d – mřížková konstanta λ – vlnová délka záření n – difrakční řád Relativistické chování Interference probíhá i v případě, když elektrony prolétají mříží po jednom Interference pozorována i pro těžší částice: Neutrony, atomy helia i molekuly fullerenu C60

m∙v2 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒓𝒏 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒏ħ mv Bohrův model atomu Ruthefordův experiment → malé těžké jádro a oblak elektronů Nutnost vysvětlit, proč elektrony na orbitě okolo jádra nevyzařují elmg. záření a nespadnou na ně Bohrův model – tři základní předpoklady: Elektrony obíhají kolem atomu po kruhové dráze Stabilní dráhy bez vyzařování jsou pouze speciální. Ty pro něž je de Broglieho vlnová délka elektronu celočíselným násobkem obvodu kruhové dráhy Elektron může vyzařovat nebo pohlcovat fotony pouze s energií, která je rozdílem mezi těmito stabilními drahami λ = 𝒉 𝒑 = 𝒉 𝒎𝒗 nλ= 2πrn ⇒ rn = 𝒏𝒉 𝟐π𝒎𝒗 = 𝒏ħ 𝒎𝒗 Fod = m∙ 𝒗𝟐 𝒓 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒓𝟐 =𝐅𝐞 m∙v2 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒓𝒏 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒏ħ mv v = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒏ħ ⇒ Ekin= 𝒎𝒗𝟐 𝟐 = 𝒎 𝟐 ∙ 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟐 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒏ħ 𝟐

v = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒏ħ = Z α∙𝒄 𝟏 𝒏 ⇒ β= 𝒗 𝒄 = 𝒁 𝟏𝟑𝟕 ∙ 𝟏 𝒏 α = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒆𝟐 ħ𝒄 ⇒ 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 = α∙ħc α = 1/137 mec2 = 0,511 MeV ħc = 197 eVnm Ekin= 𝒎 𝟐 ∙ 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝟐 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒏ħ 𝟐 = 𝒎𝒄𝟐 𝟐 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝟒𝝅𝜺𝟎ħ𝒄 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏 𝟐 = 𝒎𝒄𝟐 𝟐 ∙ 𝒁α 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏 𝟐 v = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒏ħ = Z α∙𝒄 𝟏 𝒏 ⇒ β= 𝒗 𝒄 = 𝒁 𝟏𝟑𝟕 ∙ 𝟏 𝒏 Bohrův poloměr r0 = ħ𝒄 𝒎𝒄𝟐α = 0,052 nm rn = 𝒏ħ 𝒎𝒗 = 𝒏𝟐ħ𝒄 𝒎𝒄𝟐𝒁α Epot = - 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒓 =− 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒁𝒆𝟐 𝒎𝒄𝟐𝒁α ħ𝒄 ∙ 𝟏 𝒏 𝟐 =−𝒎𝒄𝟐∙ 𝒁α 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏 𝟐 E = Epot + Ekin= 𝒎𝒄𝟐 𝟐 ∙ 𝒁α 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏 𝟐 −𝒎𝒄𝟐∙ 𝒁α 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏 𝟐 = - 𝒎𝒄𝟐 𝟐 ∙ 𝒁α 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏 𝟐 Epot = -2∙Ekin hν = En1 - Ekn2 = 𝒎𝒄𝟐 𝟐 ∙ 𝒁α 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐 Rydbergova konstanta R Vodík: hν = En1 - Ekn2 = 𝒎𝒄𝟐 𝟐 ∙ α 𝟐 ∙ 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐 = 𝟓𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒆𝑽 𝟐 ∙ 𝟏 𝟏𝟑𝟕 𝟐 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐 = 13,613 eV ∙ 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐

λ = 𝟐πħ𝒄 𝒎𝒄𝟐 𝟐 ∙ α 𝟐 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐 −𝟏 = 𝟒πħ𝒄 𝒎𝒄𝟐 α 𝟐 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐 −𝟏 = 90,97 nm 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐 −𝟏 Rydbergova konstanta: R = 1,099∙107 m-1

Franckův Hertzův pokus Potvrzení kvantové povahy energie elektronů vázaných v atomu Vlákno Mřížka Destička Trioda – žhavená katoda produkuje elektrony a ty jsou urychlovány v prostředí rtuťových par Vysoké napětí V, slabé brzdící napětí V0 Klasicky – bude pozvolný růst a nemohou vzniknout maxima Bohrův model – maxima vznikají vyražením dalších elektronů – energie vyšší než jejich vazebná Konkrétní trioda použitá Franckem a Hertzem

Princip korespondence u Bohrova modelu atomu Mezi kvantovou a klasickou fyzikou by měl platit princip korespondence. Platí i pro Bohrův model? Fod = m∙ 𝒗𝟐 𝒓 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒆𝟐 𝒓𝟐 =𝐅𝐞 Připomínka: Pro elektron v atomu vodíku platí: v2 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∙ 𝒆𝟐 𝒎𝒓 ⇒ v = 𝒆 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒎𝒓 Frekvence oběhu elektronu: f = 𝒗 𝟐𝝅𝒓 = 𝒆 𝟐π 𝟒𝝅𝜺𝟎𝒎𝒓𝟑 rn = 𝒏𝟐ħ𝒄 𝒎𝒄𝟐α Zároveň pro poloměr platí: f = α 𝟐 𝒎 𝒄 𝟐 𝟒𝝅ħ 𝟐 𝒏 𝟑 = 𝑹 𝒉 𝟐 𝒏 𝟑 Dosadíme do frekvence za r = rn: ν = 𝑹 𝒉 𝟏 𝒏𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒏𝟐 𝟐 = 𝑹 𝒉 𝟐𝒑 𝒏𝟑 Frekvence vyzařovaného záření z Bohrova modelu: 𝟏 𝒏 𝟐 − 𝟏 𝒏+𝒑 𝟐 = 𝟐𝒑(𝒏+𝒑) 𝒏𝟐 𝒏+𝒑 𝟐 = 𝟐𝒑 𝒏𝟐 𝒏+𝒑 = 𝟐𝒑 𝒏𝟑 n2 = n n1 = n + p n → ∞ f = ν stejný výsledek u vyzařování elektronu pro klasickou představu a Bohrův model pro dráhy velmi vzdálené od jádra

Magnetický dipólový moment elektronu (atomu) Prokázání existence vnitřního momentu částic - spinu Pohyb neutrální částice nebo atomu v nehomogenním magnetickém poli Osa z Prokázání existence diskrétních hodnot spinu a principu neurčitosti pro složky momentu hybnosti (lze určit zároveň pouze jednu a velikost momentu hybnosti – měření v z-ose zničí informaci o složce x a y) Popis vlnové funkce Možnost přechodu mezi různými projekcemi spinu pomocí vysokofrekvenčního pole