Pavel Stránský 2. prosince 2014 D EFORMACE ATOMOVÝCH JADER C HAOS Proseminář jaderné fyziky 1.Statická deformace a tvar jader – makroskopický popis – mikroskopický popis 2. Deformace jako dynamická proměnná - CHAOS

1. Statická deformace

J AK POPSAT DEFORMACI JADER? - deformovaný kapkový model- zaplňování jednočásticových stavů deformovaného potenciálu středního pole Makroskopicky:Mikroskopicky ? - minimální celková energie zaplněných jednočásticových stavů vzhledem k velikosti deformace - minimální rovnovážná energie vzhledem k velikosti deformace Stabilní deformace základního stavu

1a. Makroskopický popis

Enegie atomového jádra objemová energie povrchová energieelektrostatická energie A = N + Z celková vazebná energie mikroskopické korekce (energie asymetrie, slupkové korekce, párování) energie spojená s nehomogenitou kapky… neutrony protony Weizsäckerova formule

Enegie atomového jádra povrchová energieelektrostatická energie A = N + Z celková vazebná energie mikroskopické korekce (energie asymetrie, slupkové korekce, párování) funkce vystihující tvar kapky: neutrony protony Weizsäckerova formule

Povrch jádra: = 0: monopólová deformace = 1: dipólová deformace - změna objemu jádra Popis deformovaného tvaru = 2: kvadrupólová deformace  – velikost deformace  – typ deformace - první netriviální deformace jádra - 5 parametrů 3 popisují natočení jádra v prostoru (Eulerovy úhly) 2 Bohrovy proměnné: - změna polohy těžiště jádra   protáhlý osově souměrný tvar (prolate) zploštělý osově souměrný tvar (oblate) trojosý (triaxiální) tvar sférický tvar Bohrovy proměnné

Kvadrupólová deformace jader - experiment N.J. Stone, At. Data Nucl. Data Tables 90, 75 (2005) deformační parametr (ze změřených kvadrupólových momentů): kde měření vnitřní kvadrupólový moment vzácné zeminy je typická hodnota pro deformovaná jádra uzavřené slupky

Kvadrupólová deformace dopočítá se z podmínky zachování objemu (osově souměrná,  = 0)  < 0  = 0  > 0 zploštělé protáhlé sférické Povrchová Elektrostatická funkce pro tvar: Symmetrické vzhledem k znaménku  kladné pro  > 0 – protáhlé tvary mají vždy menší energii W.J. Swiatecki, Phys. Rev. 104, 993 (1956)

Stabilizace tvaru jádra kapkový model nevysvětluje deformaci jader (sférický tvar má vždy minimální energii) Slupkové korekce (Strutinsky)

kapkový model nevysvětluje deformaci jader (sférický tvar má vždy minimální energii) Stabilizace tvaru jádra Slupkové korekce (Strutinsky)  magická čísla sférická kvantová čísla (nlj) kvantová čísla asymptotické deformace  (Nn z  ) Nilssonův diagram deformovaná jádra - amlituda oscilací mnohem menší V.M. Strutinsky, Nucl. Phys. A95, 420 (1967) N přesná kumulativní hustota hladin hladká kumulativní hustota hladin sférická jádra E

Stabilizace tvaru jádra W.D. Myers, W.J. Swiatecki, Nucl. Phys. 81, 1 (1966) kapkový model nevysvětluje deformaci jader (sférický tvar má vždy minimální energii) Slupkové korekce (Strutinsky) N přesná kumulativní hustota hladin hladká kumulativní hustota hladin sférická jádra deformovaná jádra - amlituda oscilací mnohem menší + Deformovaný kapkový model předpovídá pro nemagická jádra protáhlý deformovaný tvar pro deformovaná jádra vzácných zemin E

Velikost slupkových korekcí mezislupkové korekce < 3MeV S (N,Z) záporné korekce: prohlubují sférické minimum kladné korekce: pomáhají vytvořit minima pro protáhlou a zploštělou deformaci

1b. Mikroskopický popis

spin-orbitální interakce Slupkový model 3D izotropní harmonický oscilátor - sférický  magická čísla sférická kvantová čísla (nlj) kvantová čísla asymptotické deformace K(Nn z  ) - deformovaný (Nilssonův)

1s 1p 1d 2s 2p 1f 1g 2d 1h 3s3s deformační parametr 3D eliptická jáma - zachování objemu neinteragující fermiony (pouze 1 typ částic) objemová saturace jaderné síly ostrý (nedifuzní) povrch jádra I. Hamamoto, B.R. Mottelson, Phys. Rev. C 79, (2009) Dynamika hladin E  projekce úhlového momentu Nedifuzní povrch jádra snižuje hladiny s vyšším orbitálním momentem l, které obsahují další stavy s malou projekcí K, které směřují dolů na straně protažených jader; stavy s nízkým K se navzájem odpuzují a způsobují, že celková energie na této straně je nižší

3D eliptická jáma 1s 1p 1d 2s 2p 1f 1g 2d 1h 3s3s deformační parametr - zachování objemu Nedifuzní povrch jádra snižuje hladiny s vyšším orbitálním momentem l, které obsahují další stavy s malou projekcí K, které směřují dolů na straně protažených jader; stavy s nízkým K se navzájem odpuzují a způsobují, že celková energie na této straně je nižší neinteragující fermiony (pouze 1 typ částic) objemová saturace jaderné síly ostrý (nedifuzní) povrch jádra I. Hamamoto, B.R. Mottelson, Phys. Rev. C 79, (2009) Dynamika hladin E  projekce úhlového momentu

deformační parametr 3D eliptická jáma - zachování objemu 1s 1p 1d 2s 2p 1f 1g 2d 1h 3s3s E  projekce úhlového momentu Dynamika hladin neinteragující fermiony (pouze 1 typ částic) objemová saturace jaderné síly ostrý (nedifuzní) povrch jádra Nedifuzní povrch jádra snižuje hladiny s vyšším orbitálním momentem l, které obsahují další stavy s malou projekcí m, které směřují dolů na straně protažených jader; stavy s nízkým m se navzájem odpuzují a způsobují, že celková energie na této straně je nižší N=52  rovnovážná konfigurace – protáhný tvar I. Hamamoto, B.R. Mottelson, Phys. Rev. C 79, (2009)

3D eliptická jáma I. Hamamoto, B.R. Mottelson, Phys. Rev. C 79, (2009) deformace  celkový počet stavů s daným tvarem protáhlé zploštělé sférické N N=52  rovnovážná konfigurace – protáhný tvar Pro N < 200 je protáhlých jader zhruba třikrát víc než zploštělých

Vyzkoušejte si sami harmonický oscilátor pravoúhlá jáma (čokoládová krabice) EE 

2. Dynamická deformace Chaos v geometrickém kolektivním modelu jádra

T…kinetický člen V…Potenciál Kvadrupólový tenzor kolektivních souřadnic  kvadrupólový tenzor hybnosti  - koeficienty deformace  jako dynamické proměnné: G. Gneuss, U. Mosel, W. Greiner, Phys. Lett. 30B, 397 (1969) P. Stránský, M. Kurian, P. Cejnar, Phys. Rev. C 74, (2006) Geometrický kolektivní jaderný model - transformace na konečný interval energie „délka“ čas 1 fundamentální parametr - zcela určuje chování systému Škálování: 3 parametry lze odstranit volbou jednotek 4 parametry modelu - rotačně invariantní Hamiltonián - skalár kanonické komutační relace

Bohrovy proměnné B A C = 1C = 1 V  deformovaný tvarsférický tvar -kvartický „oscilátor“ – popisuje různé rovnovážné konfigurace -v nerotujícím případě 2 stupně volnosti ( ,  ) V  V  fázová koexistence

Bohrovy proměnné B A C = 1C = 1 V  deformovaný tvarsférický tvar -kvartický „oscilátor“ – popisuje různé rovnovážné konfigurace -v nerotujícím případě 2 stupně volnosti ( ,  ) V  V  fázová koexistence A.N. Andreyev et al., Nature 405, 430 (2000) fázová koexistence 186 Pb

x y Klasická dynamika - řešení hamiltonových pohybových rovnic

x y x vxvx vxvx regulární trajektorie – „křivka“ chaotická trajektorie – „mlha“ vysoká citlivost na počáteční podmínky V systému mohou být při dané energii oba typy pohybů. Poincarého řez - zakreslíme bod pokaždé, když trajektorie protne danou rovinu (y=0)

REGULÁRNÍ plocha CHAOTICKÁ plocha f reg =0.611 x vxvx plocha regulárních ostrovů celková dostupná plocha Poincarého řezu Míra regularity

1. Lyapunovův exponent odchylka dvou sousedních trajektorií 2. SALI (Smaller Alignment Index) rychle konverguje k nule pro chaotické trajektorie dvě odchylky regulární trajektorie: nejvýše polynomiální divergence chaotická trajektorie: exponenciální divergence Ch. Skokos, J. Phys. A: Math. Gen 34, (2001); 37 (2004), 6269 Jak odlišit stabilní a nestabilní trajektorii?

Kompletní mapa klasického chaosu v GCM integrabilní regulární žíly chaos fázový přechod regularita (mexický klobouk) deformovaný sférický integrabilní regularita  globální / lokální minimum potenciálu sedlový bod hranice nestability E c Nesmírně bohatá dynamika zakódovaná v jednoduchých rovnicích údolí stability

Shrnutí: 1.Popis jaderné deformace (a) kolektivní kapkový model -povrchový a Coulombovský člen zodpovědné za menší energii protáhlé má menší celkovou energii -rozdíl mezi energií protáhlého a zploštělého tvaru až 800 keV (deformovaná sudo- sudá jádra mají energii prvního excitovaného stavu okolo 100 keV) (b) mikroskopický model eliptické pravoúhlé jámy 2.Dynamická deformace -Hamiltonián, v němž deformační parametry jsou zobecněnými souřadnicemi (GCM) -klasické řešení – komplikovaná chaotická dynamika

Shrnutí: 1.Popis jaderné deformace (a) kolektivní kapkový model -povrchový a Coulombovský člen zodpovědné za menší energii protáhlé má menší celkovou energii -rozdíl mezi energií protáhlého a zploštělého tvaru až 800 keV (deformovaná sudo- sudá jádra mají energii prvního excitovaného stavu okolo 100 keV) (b) mikroskopický model eliptické pravoúhlé jámy 2.Dynamická deformace -Hamiltonián, v němž deformační parametry jsou zobecněnými souřadnicemi (GCM) -klasické řešení – komplikovaná chaotická dynamika D ÍKY ZA POZORNOST

Shrnutí: 1.Popis jaderné deformace (a) kolektivní kapkový model -povrchový a Coulombovský člen zodpovědné za menší energii protáhlé má menší celkovou energii -rozdíl mezi energií protáhlého a zploštělého tvaru až 800 keV (deformovaná sudo- sudá jádra mají energii prvního excitovaného stavu okolo 100 keV) (b) mikroskopický model eliptické pravoúhlé jámy 2.Dynamická deformace -Hamiltonián, v němž deformační parametry jsou zobecněnými souřadnicemi (GCM) -klasické řešení – komplikovaná chaotická dynamika D ÍKY ZA POZORNOST