FII–18 Indukčnost 31. 7. 2003

Hlavní body Přenos energie. Moment síly, elektromotorické napětí, Foucaultovy proudy. Vlastní indukčnost. Vzájemná indukčnost. 31. 7. 2003

Přenos energie Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie. Výhoda je, že elektrická energie je výráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno. Princip lze opět ukázat na naší vodivé tyčce. 31. 7. 2003

Pohyblivá vodivá tyč VIII Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí , neteče proud. Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali : F = BIl. 31. 7. 2003

Pohyblivá vodivá tyč IX Když tyčkou pohybujeme a propojíme kolejnice rezistorem R, poteče proud daný Ohmovým zákonem I = /R. V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BIlv = I, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo. 31. 7. 2003

Překonávání momentu síly I Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat moment síly. Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační : P = Fv = T 31. 7. 2003

Překonávání momentu síly II Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky l, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni moment síly. Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat. 31. 7. 2003

Překonávání momentu síly III Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = /R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí  musíme dodat výkon : P = T = BIl2/2 = I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo. 31. 7. 2003

Elektromotorické napětí I Z výše uvedeného vidíme, že rotační pohyb vede k obdobným závěrům jako translační. Proto se můžeme bez újmy na obecnosti vrátit k vodivé tyčce, pohybující se přímočaře po kolejnicích. Připojme nyní ke kolejnicím vnější zdroj. Poteče proud, daný napětím tohoto zdroje a rezistancí obvodu a na něm bude závislá síla, která bude na tyčku působit. 31. 7. 2003

Elektromotorické napětí II Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako když tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho elektromotorické proti napětí. Výsledný proud je superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti napětím. 31. 7. 2003

Elektromotorické napětí III Než se dá tyčka do pohybu, bude (rozběhový) proud největší I0 = U/R. Za pohybu bude proud podle Kirchhoffova zákona dán : I = (U - )/R = (U – vBL)/R Proud tedy zjevně závisí na rychlosti tyčky. 31. 7. 2003

Elektromotorické napětí IV Kdyby tyčka nebyla nijak zatížena, zrychlovala by až do rovnováhy dané rovností indukovaného napětí s napětím zdroje. V tomto momentě mizí proud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně. Konečná rychlost v tedy závisí na napětí zdroje U. Nyní také snadno rozumíme tomu, proč se přetížený motor, když se příliš zpomalí, může spálit, příliš velkým proudem. Motory jsou konstruovány, aby vydržely trvalý proud podstatně menší než je I0. 31. 7. 2003

Foucaultovy proudy I Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole. Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně ponořen nebo pole není homogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy proudy. 31. 7. 2003

Foucaultovy proudy II Novým jevem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odpor pohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho udržení. Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulému brždění některých pohybů. 31. 7. 2003

Foucaultovy proudy III Obvykle jsou ale Foucaultovy proudy škodlivé, způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrát výkonu. Proto musí být maximálně eliminovány například speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Obvykle se využívá konstrukce z navzájem izolovaných plechů. 31. 7. 2003

Vlastní indukčnost I Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, objevuje se elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící. Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativně stejně. 31. 7. 2003

Vlastní indukčnost II Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole generovaného tímto jeho vlastním proudem. Chceme-li v tomo okamžiku změnit proud, měníme magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně. Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N krát znásobí. 31. 7. 2003

Vlastní indukčnost III Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na: geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru rychlosti změny proudu Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost L. 31. 7. 2003

Vlastní indukčnost IV Potom můžeme zákon indukce jednoduše psát : Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické. Cívky maji obvykle tvar solenoidu nebo toroidu. 31. 7. 2003

The Self Inductance V Mějme dlouhý solenoid s N závity. Protéká-li jím jistý proud I bude procházet jeho každým závitem stejný magnetický tok m1. Dojde-li ke změně tohoto toku, indukuje se v každém závitu stejné elektromotorické napětí, a protože závity jsou vlastně zapojeny de série, bude celkové naindukované napětí N násobek napětí v jednom zévitu. Mírně přizpůsobíme Faradayův zákon a použijeme předešlou definici indukčnosti. 31. 7. 2003

The Self Inductance VI Jsou-li N a L konstantní, obdržíme jendoducho integrací indukčnost: Jednotkou magnetického toku je 1 weber 1 Wb = 1 Tm2 The unit for the inductance is 1 henry 1H = Vs/A = Tm2/A = Wb/A 31. 7. 2003

Vlastní indukčnost VII Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí: V elektronice a elektrotechnice se používají součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost – cívky. 31. 7. 2003

Vzájemná indukčnost I Podobným způsobem definujeme vzájemnou indukčnost dvou cívek. Přesně je to celkový tok v jedné cívce jako funkce proudu ve druhé. Mějme dvě cívky Ni, Ii na společném jadře nebo blízko sebe. Budiž 21 tok v každém závitu cívky 2, způsobený proudem v cívce 1. 31. 7. 2003

Vzájemná indukčnost II Potom definujeme vzájemnou indukčnost M21 jako celkový tok ve všech závitech cívky 2 na jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1: M21 = N221/I1  I1M21 = N221 Elektromotorické napětí v c. 2 z Faradayova z.: 2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt M21 závisí na geometrii obou cívek. 31. 7. 2003

Vzájemná indukčnost III Lze dokázat, že vzájemná indukčnost obou cívek je stejná M21 = M12 . Skutečnost, že poud v jedné cívce indukuje napětí v cívce druhé, má řadu praktických aplikací. Používá se například k napájení kardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče tkání. Nejdůležitějším využitím ale jsou transformátory. 31. 7. 2003

Homework No homework today! 31. 7. 2003

Things to read and learn Chapter 29 – 5, 6; 30 – 1, 2 31. 7. 2003

Rotující vodivá tyčka Celkový moment síly tedy je: ^ Moment síly působící na na kousek dr vzdálený r od středu otáčení vodivé tyčky délky l , kterou protéká proud I kolmo na magnetické pole B je: Celkový moment síly tedy je: ^