Vnitřní statické účinky nosníku. Základy mechaniky, 5. přednáška Obsah přednášky : napětí v materiálu - jak jej určíme, nosník - co to je, vnitřní statické účinky, průběh VSÚ pod různým zatížením Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : vysvětlit pojem „vnitřní statické účinky“, seznámit studenty se způsobem zjišťování průběhu VSÚ pod různými typy zatížení

Mechanika se zabývá přenášením sil mezi tělesy prostřednictvím vazeb. Základy mechaniky, 5. přednáška Mechanika se zabývá přenášením sil mezi tělesy prostřednictvím vazeb. Zabývá se však též otázkou „jak je působením sil namáhán materiál tělesa ?“ Otázka vnitřního napětí materiálu je obecně značně složitá. Je popsána soustavou parciálních diferenciálních rovnic. Jejich přesné řešení je známo jen pro omezený počet technický příkladů. V tomto textu předneseme řešení tohoto problému na specifickém tělese, jež nazveme nosníkem. Nosník je těleso, jehož jeden rozměr (délka) mnohokrát převyšuje zbývající (příčné) rozměry.

Základy mechaniky, 5. přednáška Nosník je uložen na dvou podporách - pevný kloub A a posuvný kloub B. V první fázi řešení statiky nosníku vyřešíme ze tří rovnic rovnováhy tři neznámé reakce : RAx, RAy a RB. Problematika řešení reakcí již byla dostatečně popsána v předchozí kapitole a na tomto místě se jí již nebudeme zabývat. Připomeňme však alespoň tři rovnice rovnováhy, z nichž se reakce vypočtou. Materiál nosníku je namáhán třemi druhy namáhání, tzv. vnitřními statickými účinky (někdy se též používá pojem vnitřní síly). Představíme si je na krátkém úseku nosníku.

Základy mechaniky, 5. přednáška Normálová síla N působí kolmo na průřez nosníku (ve směru jeho podélné osy) a namáhá element nosníku na tah nebo tlak. Působením normálové síly se nosník poněkud prodlouží (nebo zkrátí). Kromě toho se rovněž zúží; tato deformace však v tomto okamžiku není důležitá. N N Posouvající síla T působí v rovině průřezu (kolmo k podélné ose), způsobuje posunutí průřezu v jeho rovině a namáhá nosník smykem. Deformaci lze označit za zkosení. T T Ohybový moment MO namáhá element nosníku ohybem a způsobuje jeho prohnutí M M Tyto tři vnitřní statické účinky již přímo určují (jednoduchými vzorci) napětí v materiálu.

Základy mechaniky, 5. přednáška K vysvětlení metodiky výpočtu vnitřních statických účinků využijeme zvláštního druhu vazby - dokonalého vetknutí. Jak bylo uvedeno ve 4. přednášce, dokonalé vetknutí představuje pevné spojení dvou těles. Dvě tělesa, vázaná k sobě navzájem dokonalým vetknutím, stávají se tělesem jedním. Tuto úvahu lze obrátit. Na jedno těleso lze pohlížet jako na dvě tělesa, spojená navzájem dokonalým vetknutím. Na levou část nosníku můžeme pohlížet jako na dokonale vetknutý nosník (dokonale vetknutý do pravé části). Nebo naopak na pravou část nosníku můžeme pohlížet jako na dokonale vetknutý nosník (dokonale vetknutý do levé části).

Základy mechaniky, 5. přednáška Výpočet reakcí v uložení je již známou úlohou : Protože však ani levá, ani pravá část nosníku nejsou vetknuty do rámu, nýbrž do sebe navzájem, nebudeme těmto vypočteným účinkům říkat reakce, nýbrž vnitřní statické účinky, tedy normálová síla N, posouvající síla T a ohybový moment MO.

Základy mechaniky, 5. přednáška Výpočet reakcí v uložení je již známou úlohou : Postup můžeme zobecnit : normálovou sílu N vypočteme jako součet sil ve směru osy nosníku, ale buď jen vlevo nebo jen vpravo od výpočtového místa, posouvající sílu T vypočteme jako součet sil kolmých k ose nosníku, ale buď jen vlevo ohybový moment MO vypočteme jako součet momentů sil k výpočtovému bodu, ale buď jen vlevo nebo jen vpravo od výpočtového místa. součty jen zprava součty jen zleva

Základy mechaniky, 5. přednáška Výpočet reakcí v uložení je již známou úlohou : Poznámka : Kdyby snad měl čtenář dojem, že při sčítání „zleva“ dostane jiné číselné hodnoty vnitřních statických účinků, než při sčítání „zprava“, pak nechť obě trojice vzorců porovná s rovnicemi rovnováhy celého nosníku, z nichž byly vypočteny reakce RAx, RAy a RB. Snadno nahlédne, že pokud byly reakce vypočteny správně, musí obě sady vzorců pro N, T a MO dát stejné výsledky. Tyto dvě rovnocenné varianty výpočtu nabízí možnost kontroly. součty jen zprava součty jen zleva

Základy mechaniky, 5. přednáška Při provádění číselných výpočtů zachováváme znaménkovou dohodu. Při sčítání „zleva“ je normálová síla doleva kladná (tah), posouvající síla nahoru je kladná a ohybový moment ve směru hodinových ručiček je kladný. Při sčítání „zprava“ je znaménková dohoda opačná.

Základy mechaniky, 5. přednáška Výpočet vnitřních statických účinků v jednom místě obvykle nestačí. Je třeba znát jejich průběh po celé délce nosníku aby bylo možno určit maximální hodnoty. Na jednoduchém příkladu si ukážeme jak takovéto grafy sestrojujeme.

Základy mechaniky, 5. přednáška Nosník celkové délky a+b je v bodě A uložen na pevném kloubu, v bodě B pak na šikmo posuvném kloubu. Směr posuvu je dán úhlem b. Rozteč kloubů je a. Na převislém konci délky b působí v bodě C šikmá síla F pod úhlem g. Při uvolnění nesmíme zapomenout na to, že posuvný kloub přenáší sílu kolmo ke směru posuvu. Z rovnic rovnováhy vypočteme reakce :

Základy mechaniky, 5. přednáška Pro výpočet vnitřních statických účinků v úseku a vytvoříme výpočtový model : normálovou sílu N vypočteme jako součet sil ve směru osy nosníku, ale buď jen vlevo nebo jen vpravo od výpočtového místa, posouvající sílu T vypočteme jako součet sil kolmých k ose nosníku, ale buď jen vlevo ohybový moment MO vypočteme jako součet momentů sil k výpočtovému bodu, ale buď jen vlevo nebo jen vpravo od výpočtového místa.

Základy mechaniky, 5. přednáška Pro výpočet vnitřních statických účinků v úseku b se výpočtový model poněkud změní : normálovou sílu N vypočteme jako součet sil ve směru osy nosníku, ale buď jen vlevo nebo jen vpravo od výpočtového místa, posouvající sílu T vypočteme jako součet sil kolmých k ose nosníku, ale buď jen vlevo ohybový moment MO vypočteme jako součet momentů sil k výpočtovému bodu, ale buď jen vlevo nebo jen vpravo od výpočtového místa.

Základy mechaniky, 5. přednáška Průběh vnitřních statických účinků po délce nosníku lze zakreslit do grafu :

Základy mechaniky, 5. přednáška Kromě zatížení osamělou silou může být nosník zatížen osamělým momentem a spojitým zatížením. Osamělý moment M představuje silovou dvojici, působící v jistém místě. V místě působení osamělého momentu (silové dvojice) se průběh ohybového momentu mění skokem.

Základy mechaniky, 5. přednáška Kromě zatížení osamělou silou může být nosník zatížen osamělým momentem a spojitým zatížením. Spojité zatížení q představuje zatížení, rozložené na určitý délkový úsek. Typickým příkladem je vrstva sypkého materiálu, kdy na každý metr (milimetr) délky působí jistá síla. Při výpočtu reakcí je možno spojité zatížení nahradit celkovou silou Q.

Základy mechaniky, 5. přednáška Kromě zatížení osamělou silou může být nosník zatížen osamělým momentem a spojitým zatížením. Spojité zatížení q představuje zatížení, rozložené na určitý délkový úsek. Typickým příkladem je vrstva sypkého materiálu, kdy na každý metr (milimetr) délky působí jistá síla. Pro zjištění průběhu vnitřních statických účinků je však tato náhrada nepřípustná. Stejně jako v předchozích příkladech nejprve sestavíme výpočtový model. Jak je patrné, průběh posouvající síly T i ohybového momentu MO se poněkud zkomplikoval. Posouvající síla se po délce nosníku lineárně mění, ohybový moment se mění parabolicky.

Základy mechaniky, 5. přednáška Kromě zatížení osamělou silou může být nosník zatížen osamělým momentem a spojitým zatížením. Spojité zatížení q představuje zatížení, rozložené na určitý délkový úsek. Typickým příkladem je vrstva sypkého materiálu, kdy na každý metr (milimetr) délky působí jistá síla. Jak je patrné, průběh posouvající síly T i ohybového momentu MO se poněkud zkomplikoval. Posouvající síla se po délce nosníku lineárně mění, ohybový moment se mění parabolicky.

Základy mechaniky, 5. přednáška Z hlediska dimenzování je důležitá poloha a hodnota maximálního ohybového momentu. Za povšimnutí stojí fakt, že ohybový moment je maximální v místě, kde posouvající síla je nulová (mění své znaménko - viz průběhy na předchozí straně). Tento postřeh nyní dokážeme jako obecné pravidlo. Vezměme nekonečně krátký element nosníku dl, zatížený spojitým zatížením q. Na element působí posouvající síla T zleva, resp. T+dT zprava, dále ohybový moment M zleva a M+dM zprava. q zleva doprava se jak posouvají síla T, tak ohybový moment M zvětšují o dT, resp. dM. M T T+dT M+dM Ze silové rovnováhy dl resp. z momentové rovnováhy k pravému konci elementu vyplývají tzv. „Schwedlerovy věty“. Druhá z nich potvrzuje náš postřeh z předchozího příkladu : Ohybový moment dosahuje svého extrému v místě, kde posouvající síla mění znaménko.

napětí v materiálu - jak jej určíme, nosník - co to je, Základy mechaniky, 5. přednáška Obsah přednášky : napětí v materiálu - jak jej určíme, nosník - co to je, vnitřní statické účinky, průběh VSÚ pod různým zatížením