FII-03 Speciální elektrostatická pole. Kapacita.

Hlavní body Elektrický náboj a pole ve vodičích Pole elektrického dipólu Chování elektrického dipólu ve vnějším elektrickém poli Příklad na jímání náboje. kapacita x napětí = náboj. Různé typy kondenzátorů. Sériové zapojení kondenzátorů. Paralelní zapojení kondenzátorů.

Nabitý plný vodič I Vodiče obsahují volné nosiče náboje jedné nebo obou polarit. Nabít je znamená, přinést do nich nějaké přebytečné náboje jedné z polarit. Speciálním případem jsou kovy : každý atom, který je součástí kovu, si ponechává vnitřní elektrony ve své blízkosti. Ale elektrony valenční, slaběji vázané, jsou sdíleny celým kovem. Ty jsou volnými nosiči náboje. Působí-li na ně elektrická (nebo i jiná) síla mohou se v kovu volně pohybovat. Je relativně snadné kovu volné elektrony přidat nebo ubrat.

Nabitý plný vodič II Přidání elektronů znamená nabití kovu záporně Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa kladně. Pro naše účely můžeme mezery po chybějících elektronech považovat za volné kladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry. Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečné kladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné.

Nabitý plný vodič III Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu. Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charakteristická tím, že výslednice sil, působících na každý náboj, je rovna nule. Znamená to, že uvnitř vodiče je nulové pole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciální oblastí (a existují síly, které drží náboje v látce).

Dutá vodivá slupka I V rovnováze opět : přebytečné náboje musí skončit na povrchu uvnitř je nulové pole a celé těleso je ekvipotenciální oblastí. Tyto podmínky mají hlubokou souvislost s platností Gaussovy věty. Pro důkaz se vraťme ke Gaussově větě :

Opět Gausova věta I Mějme kladný bodový náboj Q a kulovou Gaussovu plochu o poloměru r centrovanou v náboji. Předpokládejme nyní radiální pole : Siločáry jsou všude paralelní ke vnějším normálám, takže celkový tok je : Případ p  2 by znamenal závislost toku na r, což odporuje experimentu!

Opět Gausova věta II Platnost Gaussovy věty  p = 2. Užitím pojmu prostorového úhlu lze ukázatprostorového úhlu platnost pro bodový náboj umístěný kdekoli uvnitř kulové plochy. platnost pro každou uzavřenou plochu. Z každého bodu objemu totiž vidíme každou uzavřenou plochu pod celkovým prostorovým úhlem 4 .

Dutá vodivá slupka II Vezměme nejprve kulové těleso. Hustota náboje na jeho povrchu musí být ze symetrie konstantní. Ze symetrie dále plyne, že intenzity vyvolané elementárními ploškami se ve středu koule kompenzují a. V jiných bodech se ale budou kompenzovat a pole bude nulové pouze v případě, že p = 2. S použitím pojmu prostorového úhlu lze totéž dokázat pro jakoukoli uzavřenou plochu.

Dutá vodivá slupka III Závěr: existence nulového pole v jakémkoli bodě uvnitř nabité vodivé slupky libovolného tvaru je ekvivalentní platnosti Gaussovy věty. To je principem : experimentálního důkazu Gaussovy věty s velkou přesností : p – 2 = 2.7  stínění a zemnění (např. Faradayova klec)

Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá. Elektrické pole : uvnitř vodiče je nulové vně je kolmé k povrchu plochy Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou  Pozor na hrany!  není obecně konstantní!hrany

Elektrický dipól I Látky mohou vytvářet nenulové elektrické pole, i když je v nich celkový náboj vykompenzován. Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice (oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech. Vytvářená pole obecně nejsou centrosymetrická a mizí rychleji než pole bodového náboje.

Elektrický dipól II Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól :dipól Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale různého znaménka +Q and –Q. Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem. Definujeme dipólový moment. Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální (i mikrosopicky!) hmoty.

Elektrický dipól III Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme tedy základní chování látek ve vnějším elektrickém poli. Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment. Interakce dipólových momentů je také příčinou některých slabších ale důležitých meziatomových vazeb.

Chování elektrického dipólu ve vnějším poli V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly, které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar).momenty síly V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány. taženy nebo posunovány

Příklady některých polí Pole homogenně nabité koule Pole paralelních stejnoměrně nabitých rovin Princip elektrostatické kopírky (xeroxu)

Jímání náboje I V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji. Baviči si všimli, že různá tělesa nabitá na stejné napětí obsahovala různá „množství elektřiny“ (nyní bychom řekli, byla nabita různým nábojem) a produkovala různě silné výboje.

Jímání náboje II Vyvstal problém, jak pojmout co možná největší náboj, při maximálním dostupném napětí. Nejprve se šlo cestou větších a větších nádob, ale později se nalezlo lepší řešení! Mějme vodivou kouli o poloměru r i =1 m. Můžeme pojmout libovolný náboj?

Jímání náboje III Odpověď je NE! V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V suchém vzduchu je to E m  3  10 6 V/m. Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí vodiče, ale jistá hodnota by existovala i ve vakuu. Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude samovolně vybíjet (užívá se při studiu struktury). Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

Jímání náboje IV Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0 uvnitř koule a E=kQ/r i 2 těsně u jejího povrchu. Z obecného vztahu lze z intenzity určit potenciál těsně u povrchu koule  =kQ/r i. Kombinací dostaneme :  = r i E pro r > r i Maximální napětí a náboj na kouli tedy je :  = V  Q max = C.

Jímání náboje V Mezní napětí navíc značně přesahuje maximum, cca 10 5 V, které bylo tehdy možno vygenerovat. Na naší kouli by tedy pro toto napětí byl náboj : Q = Ur i /k = 10 5 / = C. Původně se dal zvětšit pouze zvětšením koule r i. Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Kouli o poloměru r i umístil do nepatrně větší koule o poloměru r o, kterou uzemnil. Výboje se výrazně zvětšily, tedy nové uspořádání neslo při stejném napětí větší náboj!

Jímání náboje VI Vnitřní koule, nabitá nábojem +Q, vytvořila náboj –Q na vnitřním povrchu vnější koule a náboj +Q na povrchu vnějším. Po jejím uzemnění byl však kladný náboj odveden do země, takže na vnější kouli zůstal náboj –Q, a to na jejím vnitřním povrchu. Výsledek: Potenciál vnitřní koule klesl, přičemž náboj zůstal zachován!

Jímání náboje VII Potenciál způsobený vnitřní koulí :  i = kQ/r i pro r  r i ;  i = kQ/r pro r > r i Potenciál způsobený vnější koulí :  o = -kQ/r o pro r  r o ;  o = -kQ/r pro r > r o Z principu superpozice :  (r) =  i (r)+  o (r) Pro r  r o bude potenciál bude nulový!

Jímání náboje VIII Potenciál na vnitřní kouli je tedy současně napětím mezi koulemi : U i = kQ(1/r i – 1/r o ) = kQ(r o – r i )/r i r o Pro r o = 1.01 m a U = 10 5 V  Q = C tedy náboj vzrostl 101 krát! Zařízení, které jsme sestrojili se nazývá kondenzátor. (Q max = C jsme však takto nezvýšili! )

Kapacita Napětí U mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji : Q = C U Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímat náboj. Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

Různé typy kondenzátorů Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástku, která má schopnost jímat náboj – kondenzátor. Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí. Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením. Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

Dvě paralelní nabité roviny Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou  druhá s hustotou - . Intenzita mezi deskami bude E i a intenzita vně E o. Co platí? A)E i = 0, E o =  /  0 B)E i =  /  0, E o =0 C)E i =  /  0, E o =  /2  0

Určení kapacity kondenzátoru I Obecně najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti. Mějme například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q: Z Gaussovy věty : E =  /  0 = Q/  0 S Také : E=U/d  Q =  0 SU/d  C =  0 S/d

Určení kapacity kondenzátoru II Pro potenciál na jedné kouli ve vesmíru platí : U i = kQ/r i  C = r i /k Druhá „elektroda“ tohoto kondenzátoru by bylo nekonečno nebo spíše zem, protože je blíže. Jeho kapacita by ale silně závisela na přítomnosti vodičů v jeho blízkém okolí.

Určení kapacity kondenzátoru III V případě našeho kulového kondenzátoru jsme měli : U i = kQ(1/r i – 1/r o ) = kQ(r o – r i )/r i r o To odpovídá kapacitě : Srovnejte se vztahem pro kondenzátor deskový!

Nabíjení kondenzátoru Kondenzátor nabíjíme budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje. nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy zůstane na uzemněné elektrodě jen náboj opačné polarity. Podrobné chování veličin v čase si ukážeme později.

Sériové zapojení kondenzátorů I Mějme kondenzátory C 1 a C 2 zapojené do série. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou: Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný : Q = Q 1 = Q 2

Sériové zapojení kondenzátorů II K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech U = U 1 + U 2 

Paralelní zapojení kondenzátorů I Mějme dva kondenzátory C 1 a C 2 zapojené paralelně. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou C p : C p = C 1 + C 2 Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory Q = Q 1 + Q 2 Napětí na všech kondenzátorech je stejné U = U 1 = U 2  C p = Q/U = Q 1 /U+ Q 2 /U = C 1 + C 2

Mezní náboj Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu) může být zvětšena buď zvětšením ploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke snížení intenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšení mezního náboje, který kondenzátor může pojmout! Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnit vnitřní a nabít vnější kouli v našem Leydenském příkladu.

Prostorový úhel I Mějme povrch koule o poloměru r. Z jejího středu vidíme element plochy dS pod prostorovým úhlem d  : Celý povrch vidíme pod úhlem :

Prostorový úhel II Je-li ve středu koule bodový náboj Q, je elementární tok intenzity ploškou dS : Protože poslední zlomek je d , je celkový tok: ^

Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál : ^ Hustota náboje na menší kouli je tedy větší!

Potenciál elektrického dipólu I Mějme náboj –Q v počátku a +Q v bodě, určeném vektorem. Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

Potenciál elektrického dipólu II První dva pomalu klesající výrazy se zruší : Potenciál je tedy symetrický podle své osy a bod v polovině spojnice nábojů je inverzním středem symetrie. Potenciál klesá jako 1/r 2 ! ^

Elektrický dipól – Moment síly Mějme homogenní pole s intenzitou. Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly : Obecně je moment síly vektorový součin:vektorový součin ^

Elektrický dipól - tah Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož intenzita se mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku). Obecně : ^

Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách) Velikost vektoru Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory.

Vektorový součin II Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.  ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)} ^