Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_90 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:2.E/ druhý ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Funkce Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Kvadratická funkce; Kvadratická funkce v absolutní hodnotě Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje potřebnou teoretickou část a příklady sestrojení grafu této funkce na základě předpisu, ale také příklady odvození předpisu této funkce na základě grafu. Klíčová slova:Předpis a graf kvadratické funkce; Parabola; Vrchol paraboly; Extrémy kvadratické funkce Druh učebního materiálu:prezentace

 je dána předpisem: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c  R, a  0, například: Kvadratická funkce  graf: parabola

Příklad: Sestrojte grafy funkcí a), b). Z grafů odvoďte vlastnosti daných funkcí. –3 –2–10123 a) b) 9410 x y 149 hodnoty klesajíhodnoty narůstají VRCHOL:V=[0;0] nejmenší ze všech hodnot hodnoty stejné –3 –2–10123 –9–4–10 x y –4–9 hodnoty narůstajíhodnoty klesají VRCHOL:V=[0;0] největší ze všech hodnot hodnoty stejné

DfHfDfHf 0 y x 0 y x V=[0;0] a > 0: KONVEXNÍ parabolaa < 0: KONKÁVNÍ parabola DfHfDfHf 1 V=[0;0] 1–1 1 Funkce je na celém D f sudá

Závěr: Je-li, pak je tato funkce pro Příklad: Sestrojte do jedné souř. soustavy grafy funkcí: a) b) c) V=[0;0] 0 y x / – – –11x 1x V=[0;0] –1 V –2 –1/ /2 –1 –2 –1/2 „štíhlejší“ „širší“

Vrchol kvadratická funkce beze změny znaménka se změnou znaménka x y

V = [m;n] NB: změňte znaménko neměňte znaménko

„To, co přidám, musím zase odebrat!“ Příklad : Určete vrchol kvadratické funkce. 1)2)

Příklad : Určete vrchol kvadratické funkce. 1)2)

3)4)

Příklad : Určete extrémy kvadratické funkce. Návod: Extrémní hodnotu ( y ) nabývá kvadratická funkce ve vrcholu. Pro konvexní parabolu představuje vrchol nejmenší hodnotu, pro konkávní parabolu představuje vrchol největší hodnotu. (konvexní) min max (konkávní) min max = – 2... nelze určit = 3

min max = 6... nelze určit min max... nelze určit = – 3 min max = – 1... nelze určit

min = – 4,max = nelze určit min = – 5/4,max = nelze určit min = nelze určit,max = 3

min = – 41,max = nelze určit min = nelze určit,max = – 3 min = 5, max = nelze určit

min = – 3,max = nelze určit min = nelze určit,max = 0 min = 2,5, max = nelze určit

min = nelze určit,max = 13 min = – 6,25,max = nelze určit min = nelze určit, max = 1

min = nelze určit,max = 4 min = – 18,max = nelze určit min = 2, max = nelze určit

min = – 1,max = nelze určit min = – 31,max = nelze určit min = – 7, max = nelze určit

min = nelze určit,max = – 1/2 min = nelze určit,max = 37/4 min = – 5, max = nelze určit

Příklad: Sestrojte graf funkce (šablona). Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Vyznačte v grafu a výpočtem potvrďte průsečíky se souřadnými osami. kvadratická funkce  graf parabola – šablona  určete pouze a) vrchol b) konvexní, konkávní c) „základní, štíhlejší, širší“ x y 0 –1 1 zákl.

2 12 štíhl. y 0 x

–2 širší y 0 x –4

DÚ:Pokud máte zájem, přijďte si jej zkontrolovat.

Příklad: Určete předpis funkce dané grafem. x y –1  kvadratická funkce parabola  hledáme předpis:

Příklad: Určete předpis kvadrat. funkce f, jestliže platí 1)[1;3], [–1;9], [–2;18]  f

2)[1; –2], [2;–4], [–3;–14]  f

x Celý výraz, kterým je funkce předepsána, je v AH například: Kvadratická funkce v AH  Postupujeme stejně jako tomu bylo v témže případě u lineární funkce: najdeme pomocnou funkci y* (předpis bez AH),  část nad o x včetně P x ponecháme  část, pod o x přeneseme symetricky nad o x. y 0 y y

y* = x 2 – 1 Příklad: Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor a obor hodnot funkce. Vyznačte v grafu a výpočtem potvrďte průsečíky se souřadnými osami.  ; „zákl.“; V * [0;–1] –1 0 x y V*V* f 1

y* = – 2x 2 – 1  ; „štíhl..“; V * [0;–1] –1 0 x y V*V* f 1 nelze rozložit  P x neexist.

 ; „širší“; V * [–1;2] –30 x y V*V* f 3/2 2 –1 –2 1

DÚ:Pokud máte zájem, přijďte si jej zkontrolovat.